Funcția Mertens

Tendința funcției Mertens de la 1 la 10000

Tendința funcției Mertens de la 1 la 10000000

Funcția Mertens este o funcție care asociază fiecărui număr întreg pozitiv n întregul notat cu M ( n ) obținut ca suma valorilor asumate de funcția Möbius la numerele între 1 și n :

M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)

{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}

M (n) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} \ mu (k)

,

unde μ (k) denotă funcția Möbius.

A fost studiat de matematicianul german Franz Mertens (1840-1924).

Ca o succesiune de numere întregi, funcția Mertens apare în OEIS în corespondență cu acronimul A002321 .

Deoarece funcția Möbius ia doar trei valori posibile (-1, 0 și +1), funcția Mertens, care este integrala sa discretă , trebuie să satisfacă următoarea inegalitate

\left|M(n)\right|\leq n

{\ displaystyle \ left | M (n) \ right | \ leq n}

{\ displaystyle \ left | M (n) \ right | \ leq n}

De fapt, valorile sale, atunci când n variază, au o tendință oscilantă și variații reduse, au multe intervale de staționaritate și traversări frecvente ale axei absciselor.

Unele valori

Primele valori sunt date în tabelul următor

$M(n)$ ${\ displaystyle M (n)}$ ${\ displaystyle M (n)}$	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12	+13	+14	+15	+16	+17	+18	+19	+20
0+	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
Peste 20 de ani	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
Peste 40 de ani	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
Peste 60 de ani	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
Peste 80 de ani	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1

O idee despre creșterea lentă a intervalului M ( n ) pe măsură ce n crește este dată de primii termeni ai secvenței de valori $M(10^{k})$ ${\ displaystyle M (10 ^ {k})}$ ${\ displaystyle M (10 ^ {k})}$ , secvență disponibilă în OEIS în corespondență cu codul A084237 ale cărui valori pentru k = 0, 1, ..., 16 sunt

$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$M(10^{k})$ ${\ displaystyle M (10 ^ {k})}$ ${\ displaystyle M (10 ^ {k})}$	1	-1	1	2	-23	-48	212	1037	1928	-222	-33722	-87856	62366	599582	-875575	-3216373	-3195437	-21830254	-46758740	899990187	461113106	3395895277	-2061910120

Alte proprietăți

Graficul reprezintă funcția Mertens M ( n ) și rădăcinile pătrate ± √ n pentru n mai puțin de 10000. După verificarea acestor valori, Mertens a presupus că funcția M ( n ) a fost întotdeauna între cele două rădăcini. Această ipoteză, cunoscută sub numele de conjectura Mertens, s-a dovedit a fi falsă în 1985 , la aproape un secol după formularea sa.

Mertens în 1897 a avansat ipoteza că inegalitatea este valabilă

\left|M(n)\right|\leq {\sqrt {n}}

{\ displaystyle \ left | M (n) \ right | \ leq {\ sqrt {n}}}

{\ displaystyle \ left | M (n) \ right | \ leq {\ sqrt {n}}}

,

după verificarea faptului că este satisfăcut pentru n <10000.

Cu toate acestea, în 1985 AM Odlyzko și HJJ te Riele au dovedit că această presupunere este greșită, cu o dovadă care necesită o înțelegere a calculului avansat și nu oferă un contraexemplu. Cea mai mică valoare x care falsifică conjectura este încă necunoscută, totuși s-a dovedit a fi între 10 ¹² și 10 ⁶⁵ .

O altă presupunere a lui Odlyzko și a lui Riele încă deschisă ar afirma că

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|M(n)\right|}{\sqrt {n}}}=\infty

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ left | M (n) \ right |} {\ sqrt {n}}} = \ infty}

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ left | M (n) \ right |} {\ sqrt {n}}} = \ infty}

Al n-lea termen al secvenței Mertens dă valoarea determinantului matricei Redheffer n × n .

Bibliografie

AM Odlyzko , HJJ te Riele (1985): Disproof of the Mertens conjecture , J. reine angew. Mat., 357 pp. 138-160. (vezi PDF
Funcția Mertens în MathWorld

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) Funcția Mertens în Mathworld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică