Funcția Möbius

Funcția Möbius , notată cu $\mu (n)$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$ $\ mu (n)$ , este o funcție care este utilizată în teoria numerelor pentru a clasifica numerele întregi pozitive într-una din cele trei categorii posibile în funcție de factorizare . Funcția introduce o formulă importantă de inversare .

Definiție clasică

Funcția este definită prin atribuirea μ ( n ) a următoarelor valori:

−1 dacă n se descompune într-un număr impar de factori primi distincti. De exemplu μ (435) = −1 deoarece 435 = 3 × 5 × 29, are trei factori primi. În sensul acestei funcții, un număr prim este considerat a avea un factor prim, în sine, deci μ (p) = -1.
0 dacă are unul sau mai mulți factori primi repetați. De exemplu μ (436) = 0 deoarece 436 = 2 ² × 109 = 2 × 2 × 109, deoarece exponenții înseamnă că un factor se întâmplă de două ori sau mai mult în factorizare.
+1 dacă poate fi împărțit într-un număr par de factori primi distincti. De exemplu μ (437) = 1 deoarece 437 = 19 × 23. De asemenea, se presupune că μ (1) = 1, considerând că are o descompunere în 0 factori primi.

În mod clar este o funcție aritmetică multiplicativă , adică astfel încât

dacă hek sunt numere întregi coprimă pozitive, atunci

\mu (h\cdot k)=\mu (h)\cdot \mu (k)

{\ displaystyle \ mu (h \ cdot k) = \ mu (h) \ cdot \ mu (k)}

\ mu (h \ cdot k) = \ mu (h) \ cdot \ mu (k)

.

Funcția a fost introdusă de August Ferdinand Möbius în 1832 ; notația $\mu (n)$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$ $\ mu (n)$ a fost introdus de Franz Mertens în 1874 .

Ca o succesiune de numere întregi, funcția Möbius poate fi găsită în arhiva OEIS sub acronimul A008683 .

Funcția Möbius este o funcție încorporată în sistemul de calcul Mathematica ; este invocat cu o cerere de forma MoebiusMu[n] .

Valorile pe care funcția le asumă în corespondență cu primele 100 de numere întregi pozitive sunt:

$\mu (n)$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$ $\ mu (n)$	+1	+2	+3	+5	+6	+7	+9	+10	+11	+13	+14	+15	+17	+18	+19
0+	1	−1	−1	−1	1	−1	0	1	−1	−1	1	1	−1	0	−1
Peste 20 de ani	1	1	−1	0	1	0	−1	−1	−1	1	1	1	−1	1	1
Peste 40 de ani	−1	−1	−1	0	1	−1	0	0	1	−1	0	1	1	1	−1
Peste 60 de ani	−1	1	0	1	−1	−1	1	−1	−1	−1	1	0	1	−1	−1
Peste 80 de ani	0	1	−1	1	1	1	−1	0	1	1	1	1	−1	0	0

Relația cu formula de inversare

Suma tuturor valorilor funcției Möbius pe toți divizorii unui număr întreg n este 0 cu excepția n = 1, în care 1 este egal:

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1\mathrm {~se~} n=1\\0\mathrm {~se~} n>1\\\end{cases}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ mu (d) = {\ begin {cases} 1 \ mathrm {~ se ~} n = 1 \\ 0 \ mathrm {~ se ~} n> 1 \\\ sfârșit {cazuri}}}$ $\ sum _ {{d | n}} \ mu (d) = {\ begin {cases} 1 {\ mathrm {~ se ~}} n = 1 \\ 0 {\ mathrm {~ se ~}} n> 1 \\\ end {cases}}$

Această proprietate este utilizată în dovada formulei de inversare Möbius .

Funcția Mertens

O funcție aritmetică legată de funcția Möbius este funcția Mertens , definită ca

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)$ ${\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}$ $M (n) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ mu (k)$

Această funcție este legată de zerourile funcției zeta Riemann și de ipoteza Riemann .

Generalizare de Gian-Carlo Rota

Funcția Möbius poate fi considerată o reprezentare concisă a unei funcții a două variabile întregi pozitive h și k pe care le numim funcția Möbius pentru divizibilitatea definită de

\mu (h,k):=\left\{{\begin{matrix}\mu (k/h)\ {\mbox{se}}\ h\ {\mbox{divide}}\ k\\0\ {\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ mu (h, k): = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mu (k / h) \ {\ mbox {se}} \ h \ {\ mbox {divide}} \ k \ \ 0 \ {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.}

\ mu (h, k): = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mu (k / h) \ {\ mbox {se}} \ h \ {\ mbox {divide}} \ k \\ 0 \ {\ mbox {altfel}} \ end {matrix}} \ right.

Se consideră că variabilele h și k corespund nodurilor rețelei de divizibilitate și funcției μ ( h , k ) ca matrice cu indicii care rulează pe un anumit set parțial ordonat ale cărui intervale sunt finite: în rețeaua de divizibilitate intervalele au forma [ h , k ] cu k multiplu al lui h sunt mulțimile întregi multipli ai lui h și submultiplii lui k . În acest moment este adecvat să se considere μ ( h , k ) ca o generalizare a matricilor pătrate obișnuite cu indici care variază pe mulțimea ordonată simplă de numere întregi variind de la 1 la un anumit n număr întreg pozitiv (lanț pozitiv).

Dintre matricile cu indicii de pe poziție, se disting două matrici care sunt inversă (caz n = 4)

{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\qquad \qquad {\begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ qquad \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} }}

{\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ qquad \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & end {bmatrix}}

A doua este funcția Möbius a lanțului pozet și se menține următoarea formulă de inversare de bază

${\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\\s_{4}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\\s_{4}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} s_ {1} \\ s_ {2} \\ s_ {3} \\ s_ {4} \ end {bmatrix}}: = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2 } \\ a_ {3} \\ a_ {4} \ end {bmatrix}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} s_ {1} \\ s_ {2} \\ s_ {3} \\ s_ {4} \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} s_ {1} \\ s_ {2} \\ s_ {3} \\ s_ {4} \ end {bmatrix}}: = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ \ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \ end {bmatrix}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} s_ {1} \\ s_ {2} \\ s_ {3} \\ s_ {4} \ end {bmatrix}}$

Această formulă nu ne spune altceva decât să cunoaștem sumele parțiale ale unei secvențe de addende, putem obține prin diferență addendele în sine. Poate fi clar pentru a asocia formula de inversiune anterioară cu ceea ce putem numi formula fundamentală a calculului infinitesimal :

$S(x):=\int _{0}^{x}dyA(y)\quad \Rightarrow \quad A(x)dx=dS(x)$ ${\ displaystyle S (x): = \ int _ {0} ^ {x} dyA (y) \ quad \ Rightarrow \ quad A (x) dx = dS (x)}$ $S (x): = \ int _ {0} ^ {x} dyA (y) \ quad \ Rightarrow \ quad A (x) dx = dS (x)$

Formula clasică de inversare Möbius poate fi considerată analogă cu formula matricială anterioară și un caz special al formulei de inversare Möbius-Rota .

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (capitolul 2.2).
Gian-Carlo Rota (1964): Despre fundamentele teoriei combinatorii I: Teoria funcțiilor Möbius ; Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete; vol. 2 pp. 340–368.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția Mobius

linkuri externe

( FR ) www.les-sciences.be , pe les-sciences.be . Adus la 18 iulie 2007 (arhivat din original la 9 octombrie 2007) .
( EN ) Funcția Möbius , articol în MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică