Funcția multiplicativă

În teoria numerelor , o funcție multiplicativă este o funcție aritmetică f ( n ) a numerelor întregi pozitive n cu proprietatea că f (1) = 1 și, dacă a și b sunt coprimă , atunci

f(ab)=f(a)f(b)

{\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

{\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

Se spune că o funcție aritmetică f ( n ) este complet (total) multiplicativă dacă f (1) = 1 și f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) pentru toate numerele întregi pozitive a și b , chiar dacă acestea nu sunt coprimă.

În afara teoriei numerelor, termenul multiplicativ este de obicei folosit pentru funcții cu proprietatea că f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) pentru toate valorile lui a și b ; aceasta înseamnă că fie f (1) = 1 este valid, fie că f ( a ) = 0 pentru toate a, cu excepția a = 1. În restul articolului ne vom ocupa doar de funcții multiplicative în teoria numerelor.

Exemple

Multe funcții importante din teoria numerelor sunt multiplicative. Cateva exemple:

$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ( n ): funcția phi a lui Euler sau funcția totiente, care numără numere pozitive coprimă (dar nu mai mari de) n .
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ( n ): funcția Möbius , legată de numărul factorilor primi ai numerelor fără pătrate .
GCD ( n , k ): cel mai mare divizor comun al lui n și k , unde k este un număr întreg fix.
d ( n ): Numărul divizorilor pozitivi ai lui n .
$\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ( n ): suma tuturor divizorilor pozitivi ai lui n .
$σ$ {\ displaystyle \ sigma} $\ sigma$ _k ( n ): funcția divizor , dată de suma puterilor k- a tuturor divizorilor pozitivi ai lui n (unde k poate fi orice număr complex ). Ca cazuri speciale,
- $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ₀ ( n ) = d ( n ) e
- $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ₁ ( n ) = $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ( n ).
1 ( n ): funcția constantă, definită de 1 ( n ) = 1 pentru fiecare n (complet multiplicativ).
Id ( n ): funcția de identitate , definită de Id ( n ) = n (complet multiplicativă).
Id _k ( n ): funcția de putere, definită de Id _k ( n ) = n ^k pentru orice număr natural (sau chiar complex) k (complet multiplicativ). Ca cazuri speciale avem
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) e
- Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
$\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ( n ): funcția definită de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ( n ) = 1 dacă n = 1 și = 0 dacă n > 1; această funcție este uneori numită o unitate multiplicativă de către convoluția Dirichlet sau pur și simplu o funcție de unitate ; uneori este scris ca u ( n ), nu trebuie confundat cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ( n ). (complet multiplicativ).
( n / p ), simbolul lui Legendre , unde p este un număr prim fix (complet multiplicativ).
$\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ( n ): funcția Liouville , legată de numărul de factori primi care împart n (complet multiplicativ).
$\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ ( n ), definit prin $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ ( n ) = (- 1) $\omega$ ^{${\ displaystyle \ omega}$} ^{$\omega$ (n)} , unde funcția aditivă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ ( n ) este numărul primilor distincti care împart n .

Un exemplu de funcție non- multiplicativă este funcția aritmetică r ₂ ( n ) - numărul reprezentărilor lui n ca suma a pătratelor a două numere întregi, pozitive, negative sau zero , unde în numărarea reprezentărilor este permis să modificați ordinea completărilor. De exemplu,

1 = 1 ² + 0 ² = (-1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (-1) ²

și, prin urmare, r ₂ (1) = 4 ≠ 1, ceea ce dovedește că funcția nu este multiplicativă. Cu toate acestea, r ₂ ( n ) / 4 este multiplicativ.

Vezi funcția aritmetică pentru alte exemple de funcții non-multiplicative.

Proprietate

O funcție multiplicativă este complet determinată de valorile pe care și le asumă pentru puterile numerelor prime , ca o consecință a teoremei fundamentale a aritmeticii . Prin urmare, dacă n poate fi reprezentat ca un produs al puterilor numerelor prime sub forma n = p ^a q ^b ..., atunci f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Această proprietate reduce semnificativ costul de calcul pentru a obține valorile funcțiilor, așa cum se poate vedea în următoarele exemple pentru n = 144 = 2 ⁴ 3 ² :

d (144) =

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

₀ (144) =

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

₀ (2 ⁴ )

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5 3 = 15,

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

(144) =

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

₁ (144) =

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

₁ (2 ⁴ )

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 3113 = 403,

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

^* (144) =

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

^* (2 ⁴ )

\sigma

{\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 10 = 170.

În mod similar avem

\phi

{\ displaystyle \ phi}

\ phi

(144) =

\phi

{\ displaystyle \ phi}

\ phi

(2 ⁴ )

\phi

{\ displaystyle \ phi}

\ phi

(3 ² ) = 8 6 = 48

În general, dacă f ( n ) este o funcție multiplicativă, iar a , b sunt oricare două numere întregi pozitive, atunci

f ( a ) f ( b ) = f ( GCD ( a , b )) f ( mcm ( a , b )).

Toate funcțiile complet multiplicative sunt omomorfisme ale monoizilor și sunt determinate în mod unic de valorile pe care le asumă în corespondență cu numerele prime.

Convoluţie

Dacă f și g sunt două funcții multiplicative, putem defini o nouă funcție multiplicativă, convoluția Dirichlet a lui f și g , notată ca f * g , după cum urmează:

(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)

{\ displaystyle (f * g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) g (n / d)}

{\ displaystyle (f * g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) g (n / d)}

unde suma se face pe toți divizorii pozitivi d de n . În ceea ce privește această operație, ansamblul tuturor funcțiilor multiplicative devine un grup abelian ; elementul identitar este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Iată câteva relații convoluționale între funcțiile multiplicative enumerate mai sus:

$\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ = $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ * 1 ( formula inversiunii Möbius )
$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ = $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ * Id
d = 1 * 1
$\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ = Id * 1 = $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ * d
$\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ _k = Id _k * 1
Id = $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ * 1 = $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ * $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$
Id _k = $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ _k * $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$

Convoluția Dirichlet poate fi definită pentru funcții aritmetice generice, caz în care dă o structură inelară , inelul Dirichlet .

Bibliografie

Tom M. Apostol , Introducere în teoria numerelor analitice , (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (capitolul 2)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică