Funcția aritmetică

În matematică , în special în teoria numerelor , o funcție aritmetică f ( n ) este o funcție definită pentru toate numerele naturale pozitive și care are numere reale sau complexe ca valori care „exprimă unele proprietăți aritmetice ale lui n ”. Cu alte cuvinte: o funcție aritmetică nu este altceva decât o succesiune de numere reale sau complexe cu proprietăți aritmetice particulare.

Cele mai importante funcții aritmetice sunt cele aditive și multiplicative .

O operație importantă cu funcții aritmetice este convoluția Dirichlet .

Proprietate

O funcție aritmetică f poate fi:

aditiv , dacă f (nm) = f (n) + f (m) pentru toate n , m numere naturale coprimă ;
complet aditiv , dacă f (nm) = f (n) + f (m) pentru toate n , m numere naturale;
multiplicativ , dacă f (nm) = f (n) f (m) pentru toate n , m numere naturale coprimă;
complet multiplicativ , dacă f (nm) = f (n) f (m) pentru toate n , m numere naturale.

Funcții aditive

ω ( n ) - divizori primi distincti

Funcția ω ( n ) indică numărul primilor distincti care împart n

\omega (n)=k,

{\ displaystyle \ omega (n) = k,}

{\ displaystyle \ omega (n) = k,}

de sine $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {a_ {i}}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {a_ {i}}}$ , Cu amorse distincte p și numere întregi _pozitive.

Funcții complet aditive

Ω ( n ) - divizori primi

Funcția Ω ( n ) dă numărul de factori primi ai lui n numărate cu multiplicitate

\Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}a_{i},

{\ displaystyle \ Omega (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i},}

{\ displaystyle \ Omega (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i},}

de sine $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {a_ {i}}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {a_ {i}}}$ , Cu amorse distincte p și numere întregi _pozitive.

ν _p ( n ) - divizori de putere ai primilor

Funcția de evaluare p-adic ν _p ( n ) indică cel mai mare exponent la care p împarte n

\nu _{p_{j}}(n)=a_{j},

{\ displaystyle \ nu _ {p_ {j}} (n) = a_ {j},}

{\ displaystyle \ nu _ {p_ {j}} (n) = a_ {j},}

de sine $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {a_ {i}}}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {a_ {i}}}$ , Cu amorse distincte p și numere întregi _pozitive.

Funcții multiplicative

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - sume ale divizorilor

Funcția σ _k ( n ) este suma puterilor k - a divizorilor pozitivi ai lui n , inclusiv 1 și n , unde k este un număr complex .

\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} {\ frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) k} - 1} {p_ {i} ^ {k} -1}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} \ left (1 + p_ {i} ^ {k} + p_ {i} ^ {2k} + \ cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} k} \ right).}

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} {\ frac {p_ {i} ^ {(a_ {i} +1) k} - 1} {p_ {i} ^ {k} -1}} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} \ left (1 + p_ {i} ^ {k} + p_ {i} ^ {2k} + \ cdots + p_ {i} ^ {a_ {i} k} \ right).}

În cazul particular k = 0, funcția σ ₀ ( n ) este pur și simplu numărul de divizori (pozitivi) n ; și este de obicei notat pur și simplu cu d ( n ) sau τ ( n ) (din germanul Teiler = divizor).

Înlocuind k = 0 în al doilea produs pe care îl avem

\tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).

{\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1 + a_ {1}) (1 + a_ {2}) \ cdots (1 + a _ {\ omega (n)}).}

{\ displaystyle \ tau (n) = d (n) = (1 + a_ {1}) (1 + a_ {2}) \ cdots (1 + a _ {\ omega (n)}).}

În cazul particular k = 1, funcția σ ₁ ( n ) este pur și simplu suma divizorilor (pozitivi) ai lui n și este de obicei notată pur și simplu prin σ ( n ) .

φ ( n ) - funcția Euler tozient

Funcția tozientă Euler φ ( n ) este numărul de numere întregi pozitive mai mic decât n coprimă cu n .

\varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).

{\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p | n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} - 1} {p_ {1}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ right) \ ldots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} - 1} {p _ {\ omega (n)}}} \ right).}

{\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p | n} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) = n \ left ({\ frac {p_ {1} - 1} {p_ {1}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} -1} {p_ {2}}} \ right) \ ldots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} - 1} {p _ {\ omega (n)}}} \ right).}

J _k ( n ) - Iordania funcție tozient

Funcția tozient Jordan J _k ( n ) este numărul de k- ple de numere întregi pozitive mai mici sau egale cu n care formează un ( k + 1) -plex al numerelor coprimă împreună cu n .

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).

{\ displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} \ prod _ {p | n} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {k}}} \ right) = n ^ { k} \ left ({\ frac {p_ {1} ^ {k} -1} {p_ {1} ^ {k}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} ^ {k} - 1} {p_ {2} ^ {k}}} \ right) \ ldots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} ^ {k} -1} {p _ {\ omega (n) } ^ {k}}} \ right).}

{\ displaystyle J_ {k} (n) = n ^ {k} \ prod _ {p | n} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {k}}} \ right) = n ^ { k} \ left ({\ frac {p_ {1} ^ {k} -1} {p_ {1} ^ {k}}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {2} ^ {k} - 1} {p_ {2} ^ {k}}} \ right) \ ldots \ left ({\ frac {p _ {\ omega (n)} ^ {k} -1} {p _ {\ omega (n) } ^ {k}}} \ right).}

În cazul particular k = 1 obținem funcția tozientă Euler J ₁ ( n ) = φ ( n ).

μ ( n ) - funcția Möbius

Funcția Möbius μ ( n ) este importantă datorită formulei de inversare Möbius .

\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}

{\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {cases} (- 1) ^ {\ omega (n)} = (- 1) ^ {\ Omega (n)} & {\ mbox {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ mbox {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mu (n) = {\ begin {cases} (- 1) ^ {\ omega (n)} = (- 1) ^ {\ Omega (n)} & {\ mbox {if}} \; \ omega (n) = \ Omega (n) \\ 0 & {\ mbox {if}} \; \ omega (n) \ neq \ Omega (n). \ end {cases}}}

Funcții complet multiplicative

λ ( n ) - funcția Liouville

Funcția Liouville λ ( n ) este definită de

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.

{\ displaystyle \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)}.}

{\ displaystyle \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)}.}

χ ( n ) - caractere

Toate caracterele Dirichlet χ ( n ) sunt complet multiplicative.

Caracterul pătratic (mod n ) este notat cu simbolul Jacobi pentru n impar (nu este definit pentru n par):

{\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.

{\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right) ^ {a_ {1}} \ left ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ right) ^ {a_ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}} \ dreapta) ^ {a _ {\ omega (n)}}.}

{\ displaystyle {\ Bigg (} {\ frac {a} {n}} {\ Bigg)} = \ left ({\ frac {a} {p_ {1}}} \ right) ^ {a_ {1}} \ left ({\ frac {a} {p_ {2}}} \ right) ^ {a_ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {a} {p _ {\ omega (n)}}} \ dreapta) ^ {a _ {\ omega (n)}}.}

În această formulă $({\tfrac {a}{p}})$ ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$ ${\ displaystyle ({\ tfrac {a} {p}})}$ este simbolul Legendre , definit pentru fiecare număr întreg a și pentru fiecare prim p da

\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\mbox{ if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\mbox{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\mbox{ if there is no such }}x.\end{cases}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 {\ mbox {if}} a \ equiv 0 {\ pmod {p} } \\ + 1 {\ mbox {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ mbox {și pentru un număr întreg}} x, \; a \ equiv x ^ {2} {\ pmod {p}} \\ - 1 {\ mbox {dacă nu există astfel de}} x. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 {\ mbox {if}} a \ equiv 0 {\ pmod {p} } \\ + 1 {\ mbox {if}} a \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}} {\ mbox {și pentru un număr întreg}} x, \; a \ equiv x ^ {2} {\ pmod {p}} \\ - 1 {\ mbox {dacă nu există astfel de}} x. \ end {cases}}}

după convenția obișnuită a produsului gol pe care îl avem $\left({\frac {a}{1}}\right)=1.$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1.}$

Nici funcții aditive, nici multiplicative

π ( x ) - enumerarea primilor

Spre deosebire de celelalte funcții enumerate în acest articol, aceasta este definită pentru valori reale non-negative (nu doar întregi).

Funcția primară enumerativă π ( x ) este numărul de numere prime mai mici sau egale cu x .

\pi (x)=\sum _{p\leq x}1

{\ displaystyle \ pi (x) = \ sum _ {p \ leq x} 1}

{\ displaystyle \ pi (x) = \ sum _ {p \ leq x} 1}

De exemplu, avem că π (1) = 0 și π (10) = 4 (primele mai mici de 10 sunt 2, 3, 5 și 7).

Λ ( n ) - funcția von Mangoldt

Funcția von Mangoldt Λ ( n ) este definită

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ is a prime power}}\\0&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not a prime power}}.\end{cases}}

{\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ log p & {\ mbox {if}} n = p ^ {k} {\ mbox {is a prime power}} \\ 0 & {\ mbox {if}} n {\ mbox {nu este o putere principală}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ log p & {\ mbox {if}} n = p ^ {k} {\ mbox {is a prime power}} \\ 0 & {\ mbox {if}} n {\ mbox {nu este o putere principală}}. \ end {cases}}}

p ( n ) - funcția de partiție

Funcția p ( n ) indică numărul de moduri de a reprezenta n ca suma întregilor pozitivi (fără a lua în considerare ordinea adunărilor):

p(n)=|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.

{\ displaystyle p (n) = | \ left \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ ldots \ leq a_ {k} \; \ land \; n = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {k} \ right \} |.}

{\ displaystyle p (n) = | \ left \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots a_ {k}): 0 <a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq \ ldots \ leq a_ {k} \; \ land \; n = a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {k} \ right \} |.}

r _k ( n ) - suma pătratelor

Funcția r _k ( n ) indică numărul de ori în care n poate fi reprezentat ca suma a k pătrate (unde ordinea addendelor și semnul sunt diferite)

r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|.

{\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}): n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {k} ^ {2} \} |.}

{\ displaystyle r_ {k} (n) = | \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {k}): n = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots + a_ {k} ^ {2} \} |.}

De exemplu, r ₄ ( n ) este numărul de moduri în care n poate fi exprimat ca suma a 4 pătrate de numere non-negative. De exemplu

1=(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2},

{\ displaystyle 1 = (\ pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 0 ^ {2} + (\ pm 1) ^ {2} +0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + (\ pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2} = 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + (\ pm 1) ^ {2},}

{\ displaystyle 1 = (\ pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 0 ^ {2} + (\ pm 1) ^ {2} +0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + (\ pm 1) ^ {2} + 0 ^ {2} = 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + (\ pm 1) ^ {2},}

deci r ₄ (1) = 8.

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Capitolul 2).

Elemente conexe

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00571752

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor

Funcția aritmetică

Proprietate

Funcții aditive

ω ( n ) - divizori primi distincti

Funcții complet aditive

Ω ( n ) - divizori primi

ν p ( n ) - divizori de putere ai primilor

Funcții multiplicative

σ k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - sume ale divizorilor

φ ( n ) - funcția Euler tozient

J k ( n ) - Iordania funcție tozient

μ ( n ) - funcția Möbius

Funcții complet multiplicative

λ ( n ) - funcția Liouville

χ ( n ) - caractere

Nici funcții aditive, nici multiplicative

π ( x ) - enumerarea primilor

Λ ( n ) - funcția von Mangoldt

p ( n ) - funcția de partiție

r k ( n ) - suma pătratelor

Bibliografie

Elemente conexe

ν _p ( n ) - divizori de putere ai primilor

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - sume ale divizorilor

J _k ( n ) - Iordania funcție tozient

r _k ( n ) - suma pătratelor