Funcția enumerativă a primului

Graficul primelor 60 de valori ale funcției.

Funcția enumerativă a primelor sau funcția pi pe pozitive se asociază cu fiecare număr pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numărul numerelor prime care nu depășesc $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , o valoare care este de obicei notată cu $\pi (n)$ ${\ displaystyle \ pi (n)}$ ${\ displaystyle \ pi (n)}$ .

Ca o succesiune de numere întregi este prezentată în OEIS în corespondență cu acronimul A000720 .

Primele valori

Primele valori asumate de funcție în corespondența numerelor întregi $n=1,2,\ldots ,100$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ ldots, 100}$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ ldots, 100}$ sunt următoarele:

$\pi (n)$ ${\ displaystyle \ pi (n)}$ ${\ displaystyle \ pi (n)}$	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12	+13	+14	+15	+16	+17	+18	+19	+20
0+	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	5	5	6	6	6	6	7	7	8	8
Peste 20 de ani	8	8	9	9	9	9	9	9	10	10	11	11	11	11	11	11	12	12	12	12
Peste 40 de ani	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	17	17
Peste 60 de ani	18	18	18	18	18	18	19	19	19	19	20	20	21	21	21	21	21	21	22	22
Peste 80 de ani	22	22	23	23	23	23	23	23	24	24	24	24	24	24	24	24	25	25	25	25

Estimări asimptotice

Același subiect în detaliu: teorema numărului prim .

Studiul asimptoticului $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ constituie unul dintre principalele argumente ale teoriei numerelor analitice . În 1896, Hadamard și de la Vallée Poussin au dovedit asta

\pi (x)\sim {\rm {Li}}(x),

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ rm {Li}} (x),}

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ rm {Li}} (x),}

unde este ${\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln {t}}}\,dt$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {1} {\ ln {t}}} \, dt}$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {1} {\ ln {t}}} \, dt}$ este logaritmul integral, confirmând ceea ce a fost ipotezat de Legendre și Gauss . Ipoteza Riemann prezice că o versiune mai precisă a acestui rezultat deține: