Lema lui Euclid

Lema lui Euclid este o generalizare a Propoziției 30 din Cartea VII a Elementelor lui Euclid . Lema afirmă că

Dacă un număr n , un număr întreg pozitiv , împarte produsul a două numere a și b , numere întregi pozitive și este coprimă cu unul dintre cele două (de exemplu, a ), atunci este divizor al celuilalt (de exemplu, b ).

Folosind notațiile matematice uzuale, aceasta poate fi scrisă după cum urmează:

Dacă n | ab și GCD ( n , a ) = 1 apoi n | b .

Propoziția 30, cunoscută și sub numele de Prima Teoremă a lui Euclid , afirmă:

Dacă un număr prim împarte produsul a două numere întregi pozitive, atunci numărul prim împarte cel puțin unul dintre cele două numere întregi pozitive.

Acest lucru poate fi scris ca:

Dacă p | ab apoi p | a sau p | b .

Desigur, acest rezultat poate fi dedus imediat din lema lui Euclid, deoarece un număr prim este coprimă cu un număr întreg dacă și numai dacă nu îl împarte.

Propoziția 30 este adesea numită lema lui Euclid în locul generalizării menționate mai sus. O aplicație foarte obișnuită a lemei lui Euclid în manualele de matematică este demonstrarea teoremei fundamentale a aritmeticii care, în plus, poate fi dovedită fără a o folosi.

Dovada propunerii 30

Fie p un factor prim al lui ab și să presupunem că nu este un divizor al lui a . Atunci $rp=ab$ ${\ displaystyle rp = ab}$ ${\ displaystyle rp = ab}$ pentru un întreg r adecvat. Deoarece p este prim și nu împarte a , a și p sunt coprimi. Prin urmare, pentru identitatea Bézout există două numere întregi x și y astfel încât $1=px+ay$ ${\ displaystyle 1 = px + ay}$ ${\ displaystyle 1 = px + ay}$ . Înmulțind ambele părți cu b :

b=b(px+ay)

{\ displaystyle b = b (px + ay)}

{\ displaystyle b = b (px + ay)}

b=bpx+bay.

{\ displaystyle b = bpx + bay.}

{\ displaystyle b = bpx + bay.}

Amintindu-mi asta $rp=ab$ ${\ displaystyle rp = ab}$ ${\ displaystyle rp = ab}$ , urmează:

b=bpx+rpy

{\ displaystyle b = bpx + rpy}

{\ displaystyle b = bpx + rpy}

b=p(bx+ry).

{\ displaystyle b = p (bx + ry).}

{\ displaystyle b = p (bx + ry).}

În consecință, p este un divizor al lui b . Deci p divide în mod necesar a sau b (sau ambele). QED

Aceeași dovadă se potrivește cu ușurință pentru lema mai generală.

Exemplu

Fie N = 42 și p = 7. Deoarece 42 = 7 · 6, 7 împarte 42. Observând că, de exemplu, N = 3 · 14, pentru lema lui Euclid trebuie să apară în mod necesar că 7 împarte 14 sau că 7 împarte 3. În în acest caz, prima relație este evident adevărată, fiind 14 = 7 · 2.

Bibliografie

Trygve Nagell, Introducere în teoria numerelor , ediția a II-a, New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9 .
Tom M. Apostol, Introducere în teoria numerelor analitice , New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică