Identitatea lui Bézout

În matematică , în special în teoria numerelor , identitatea Bézout (sau lema Bézout sau identitatea Bachet-Bézout ) afirmă că, dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numere întregi (nu ambele nule) și cel mai mare divizor comun al lor este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , atunci există două numere întregi $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ astfel încât

ax+by=d.

{\ displaystyle ax + by = d.}

{\ displaystyle ax + by = d.}

Astfel de perechi de numere $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ pot fi determinate cu algoritmul extins al lui Euclid , dar nu sunt determinate în mod unic.

De exemplu, cel mai mare factor comun al $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ Și $42$ ${\ displaystyle 42}$ $42$ Și $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ , și putem scrie

(-3)\cdot 12+1\cdot 42=6,

{\ displaystyle (-3) \ cdot 12 + 1 \ cdot 42 = 6,}

{\ displaystyle (-3) \ cdot 12 + 1 \ cdot 42 = 6,}

dar deasemenea

4\cdot 12+(-1)\cdot 42=6.

{\ displaystyle 4 \ cdot 12 + (- 1) \ cdot 42 = 6.}

{\ displaystyle 4 \ cdot 12 + (- 1) \ cdot 42 = 6.}

De fapt, pornind de la o soluție $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ se arată, prin lema lui Euclid , că setul de soluții este format din elemente de tip

a\left(x_{0}-k{\frac {b}{d}}\right)+b\left(y_{0}+k{\frac {a}{d}}\right)=d,\quad {\text{ per }}k\in \mathbb {Z} .

{\ displaystyle a \ left (x_ {0} -k {\ frac {b} {d}} \ right) + b \ left (y_ {0} + k {\ frac {a} {d}} \ right) = d, \ quad {\ text {for}} k \ in \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle a \ left (x_ {0} -k {\ frac {b} {d}} \ right) + b \ left (y_ {0} + k {\ frac {a} {d}} \ right) = d, \ quad {\ text {for}} k \ in \ mathbb {Z}.}

Identitatea lui Bézout este echivalentă cu afirmația că congruența liniară $ax\equiv d\mod b$ ${\ displaystyle ax \ equiv d \ mod b}$ ${\ displaystyle ax \ equiv d \ mod b}$ (unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este cel mai mare factor comun al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ) admite o soluție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ modul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Identitatea este valabilă nu numai în inelul întregilor, ci mai general în orice alt domeniu cu idealuri principale . Explicit, dacă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este un domeniu cu idealuri principale, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt elemente ale $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este cel mai mare factor comun al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , apoi există elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ astfel încât $ax+by=d$ ${\ displaystyle ax + by = d}$ ${\ displaystyle ax + by = d}$ . Mai mult, cei mai mari divizori comuni ai $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt toți și singuri generatorii idealului $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .

Identitatea lui Bézout este numită astfel în onoarea matematicianului francez Étienne Bézout (1730-1783); este, de asemenea, asociat cu numele matematicianului lui Savoy Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autorul celei mai faimoase traduceri latine a 'Aritmeticii lui Diofant.

Generalizări

Mai multe numere

Aceeași proprietate este valabilă pentru o cantitate arbitrară de numere: date $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n})}$ , de sine $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este cel mai mare divizor comun al lor, există unul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -upla $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})$ astfel încât

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d.

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = d.}

{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = d.}

Polinomiale

Identitatea Bézout există și pentru polinoame cu coeficienți într-un câmp : de fapt, dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp, inelul $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ este un inel euclidian și, prin urmare, un inel cu idealuri principale . De exemplu, această proprietate păstrează $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ si in $\mathbb {R} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x]}$ .