Polinom

Calcul literal

În matematică un polinom este o expresie compusă din constante și variabile combinate folosind doar adunarea , scăderea și multiplicarea , exponenții variabilelor sunt numere întregi non-negative. Cu alte cuvinte, un polinom tipic, adică redus la forma normală, este suma algebrică a unor monomii care nu sunt similare între ele, adică cu părți literale diferite. De exemplu:

x+3y-z^{2}

{\ displaystyle x + 3y-z ^ {2}}

{\ displaystyle x + 3y-z ^ {2}}

este suma a trei monomii. Fiecare monomiu se numește termenul polinomului.

Constantele se mai numesc „coeficienți” și sunt toate elemente ale aceluiași set numeric sau inel .

Când sunt evaluate într-un domeniu adecvat, polinoamele pot fi interpretate ca funcții . De exemplu, polinomul

p(x)=x^{2}-3x+2

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -3x + 2}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -3x + 2}

definește o funcție reală a unei variabile reale.

Când acest lucru are sens, rădăcinile polinomului sunt definite ca ansamblul acelor valori care, substituite variabilelor, dau expresiei polinomiale valoarea nulă. De exemplu, $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ are ca rădăcini valori $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , din moment ce le înlocuim în expresia polinomului pe care îl avem

1^{2}-3\times 1+2=0

{\ displaystyle 1 ^ {2} -3 \ times 1 + 2 = 0}

{\ displaystyle 1 ^ {2} -3 \ times 1 + 2 = 0}

2^{2}-3\times 2+2=0

{\ displaystyle 2 ^ {2} -3 \ times 2 + 2 = 0}

{\ displaystyle 2 ^ {2} -3 \ times 2 + 2 = 0}

Polinoamele sunt obiecte matematice de importanță fundamentală, la baza mai presus de toate a algebrei , dar și a analizei și geometriei analitice .

Nomenclatură

Se spune un polinom:

redusă în formă normală , când a fost simplificată, termenii săi similari au fost fuzionați și orice monomi nuli au fost eliminați. De exemplu:

x+3y+28z-2y-28z

{\ displaystyle x + 3y + 28z-2y-28z}

{\ displaystyle x + 3y + 28z-2y-28z}

redusă în formă normală devine

x+y,

{\ displaystyle x + y,}

{\ displaystyle x + y,}

nul , dacă este format doar din zero.
monomial , binomial , trinomial , cvadrinomial ... dacă este suma unui, doi, trei, respectiv patru ... monomii.
omogen dacă este suma monomiilor de același grad. De exemplu:
$x^{2}+3y^{2}-xz$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3y ^ {2} -xz}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3y ^ {2} -xz}$
este omogen ca grad $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .
complet cu privire la o variabilă, dacă se respectă toți termenii polinomului acelei anumite variabile și pornind de la termenul de grad superior față de acea variabilă, polinomul conține toți termenii de grad inferior până la zero. Exemplu de polinom complet cu privire la $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ : $xz^{3}+3yz^{2}+z-2.$ ${\ displaystyle xz ^ {3} + 3yz ^ {2} + z-2.}$ ${\ displaystyle xz ^ {3} + 3yz ^ {2} + z-2.}$

Două polinoame sunt considerate egale dacă, după ce au fost reduse la forma normală, au aceiași termeni, cu excepția ordinii. Deci, următoarele polinoame sunt egale:

x+3y+28z-2y-28z,\ x+y,\ y+x.

{\ displaystyle x + 3y + 28z-2y-28z, \ x + y, \ y + x.}

x + 3y + 28z-2y-28z, \ x + y, \ y + x.

Gradul unui polinom diferit de zero și redus în formă normală este gradul maxim al monomiilor acestuia, în timp ce gradul parțial față de o variabilă este gradul rezultat, văzând toate celelalte variabile ca coeficienți. Prin urmare

2+xy+y

{\ displaystyle 2 + xy + y}

{\ displaystyle 2 + xy + y}

are gradul doi, în timp ce are grade parțiale unul față de ambele a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ că a $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Coeficienții unui polinom sunt coeficienții termenilor săi unici. De aici și coeficienții $2+xy+y$ ${\ displaystyle 2 + xy + y}$ ${\ displaystyle 2 + xy + y}$ sunt respectiv $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ : coeficientul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ într-un monomiu este de obicei implicat.

Termenul cunoscut al unui polinom redus în formă normală este singurul monomiu (dacă există) de grad zero, adică nu conține variabile. Dacă nu există un astfel de monomiu, termenul cunoscut este considerat în general inexistent sau egal cu zero, în funcție de context. De exemplu, în

x^{2}+y^{3}+x+5

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {3} + x + 5}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {3} + x + 5}

termenul cunoscut este ultimul monomial: $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ .

Operații cu polinoame

Două polinoame pot fi adăugate, scăzute și înmulțite folosind proprietățile obișnuite comutative , asociative și distributive ale adunării și ale operațiilor produsului. De exemplu, dacă

p(x)=x^{2}-x,

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -x,}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -x,}

q(x)=x+2,

{\ displaystyle q (x) = x + 2,}

{\ displaystyle q (x) = x + 2,}

apoi suma și produsul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sunt respectiv

p(x)+q(x)=(x^{2}-x)+(x+2)=x^{2}+2;

{\ displaystyle p (x) + q (x) = (x ^ {2} -x) + (x + 2) = x ^ {2} +2;}

{\ displaystyle p (x) + q (x) = (x ^ {2} -x) + (x + 2) = x ^ {2} +2;}

p(x)q(x)=(x^{2}-x)(x+2)=x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x=x^{3}+x^{2}-2x.

{\ displaystyle p (x) q (x) = (x ^ {2} -x) (x + 2) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -x ^ {2} -2x = x ^ { 3} + x ^ {2} -2x.}

{\ displaystyle p (x) q (x) = (x ^ {2} -x) (x + 2) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -x ^ {2} -2x = x ^ { 3} + x ^ {2} -2x.}

Sumele și produsele polinoamelor duc la un nou polinom.

Suma a două polinoame

Gradul ( gradul ) sumei (sau diferenței) a două polinoame este mai mic sau egal cu polinomul de grad major. Este întotdeauna egal cu maximul celor două, când cele două polinoame au grade diferite:

\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q));

{\ displaystyle \ deg (P + Q) \ leq \ max (\ deg (P), \ deg (Q));}

{\ displaystyle \ deg (P + Q) \ leq \ max (\ deg (P), \ deg (Q));}

\deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q)).

{\ displaystyle \ deg (PQ) \ leq \ max (\ deg (P), \ deg (Q)).}

{\ displaystyle \ deg (P-Q) \ leq \ max (\ deg (P), \ deg (Q)).}

Exemple:

Gradul de $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) + (x ^ {2} +1) = x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) + (x ^ {2} +1) = x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}$ este 3. Rețineți că 3 ≤ max (3, 2)
Gradul de $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) - (x ^ {3} + x ^ {2}) = - x ^ {2} + x}$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) - (x ^ {3} + x ^ {2}) = - x ^ {2} + x}$ este 2. Rețineți că 2 ≤ max (3, 3)

Produs al unui polinom de către un scalar

Gradul produsului unui polinom de un număr scalar (diferit de zero) este egal cu gradul polinomului:

\deg(cP)=\deg(P).

{\ displaystyle \ deg (cP) = \ deg (P).}

{\ displaystyle \ deg (cP) = \ deg (P).}

Exemplu:

Gradul de $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ ${\ displaystyle 2 (x ^ {2} + 3x-2) = 2x ^ {2} + 6x-4}$ ${\ displaystyle 2 (x ^ {2} + 3x-2) = 2x ^ {2} + 6x-4}$ este 2, care este exact egal cu gradul de $x^{2}+3x-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-2}$ .

Rețineți că acest lucru nu este întotdeauna adevărat pentru polinoamele definite pe un inel care conține un divizor de zero. De exemplu, în $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 4 \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 4 \ mathbf {Z}}$ , $\deg(1+2x)=1$ ${\ displaystyle \ deg (1 + 2x) = 1}$ ${\ displaystyle \ deg (1 + 2x) = 1}$ , dar $\deg(2(1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ ${\ displaystyle \ deg (2 (1 + 2x)) = \ deg (2 + 4x) = \ deg (2) = 0}$ ${\ displaystyle \ deg (2 (1 + 2x)) = \ deg (2 + 4x) = \ deg (2) = 0}$ . Setul de polinoame având coeficienți dintr-un câmp dat F și un grad mai mic sau egal cu n, formează un spațiu vectorial (acest set nu este un inel și nu este închis, așa cum se arată mai sus).

Înmulțirea a două polinoame

Gradul produsului a două polinoame definite pe un câmp - (obiect în care sunt definite operațiile de sumă și produs, cu anumite proprietăți) - sau pe un domeniu de integritate , este egal cu suma gradelor celor două polinoame:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q).

{\ displaystyle \ deg (PQ) = \ deg (P) + \ deg (Q).}

{\ displaystyle \ deg (PQ) = \ deg (P) + \ deg (Q).}

Exemplu:

Gradul de $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) (x ^ {2} +1) = x ^ {5} + 2x ^ {3} + x}$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) (x ^ {2} +1) = x ^ {5} + 2x ^ {3} + x}$ Și $3+2=5$ ${\ displaystyle 3 + 2 = 5}$ ${\ displaystyle 3 + 2 = 5}$ .

Rețineți că acest lucru nu este întotdeauna adevărat pentru polinoamele definite pe un inel arbitrar. De exemplu, în $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 4 \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 4 \ mathbf {Z}}$ , $\deg(2x)+\deg(1+2x)=1+1=2$ ${\ displaystyle \ deg (2x) + \ deg (1 + 2x) = 1 + 1 = 2}$ ${\ displaystyle \ deg (2x) + \ deg (1 + 2x) = 1 + 1 = 2}$ , dar $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ ${\ displaystyle \ deg (2x (1 + 2x)) = \ deg (2x) = 1}$ ${\ displaystyle \ deg (2x (1 + 2x)) = \ deg (2x) = 1}$ .

Compoziția a două polinoame

Gradul de compoziție a două polinoame $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ cu coeficienți neconstanți este egal cu produsul gradelor respective:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).

{\ displaystyle \ deg (P \ circ Q) = \ deg (P) \ deg (Q).}

{\ displaystyle \ deg (P \ circ Q) = \ deg (P) \ deg (Q).}

Exemplu:

De sine $P=(x^{3}+x)$ ${\ displaystyle P = (x ^ {3} + x)}$ ${\ displaystyle P = (x ^ {3} + x)}$ , $Q=(x^{2}+1)$ ${\ displaystyle Q = (x ^ {2} +1)}$ ${\ displaystyle Q = (x ^ {2} +1)}$ , asa de $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$ ${\ displaystyle P \ circ Q = P \ circ (x ^ {2} +1) = (x ^ {2} +1) ^ {3} + (x ^ {2} +1) = x ^ {6} + 3x ^ {4} + 4x ^ {2} +2}$ ${\ displaystyle P \ circ Q = P \ circ (x ^ {2} +1) = (x ^ {2} +1) ^ {3} + (x ^ {2} +1) = x ^ {6} + 3x ^ {4} + 4x ^ {2} +2}$ , care are gradul d 6.

Rețineți că acest lucru nu este întotdeauna adevărat pentru polinoamele definite pe un inel arbitrar. De exemplu, în $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 4 \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 4 \ mathbf {Z}}$ , $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$ ${\ displaystyle \ deg (2x) \ deg (1 + 2x) = 1 \ cdot 1 = 1}$ ${\ displaystyle \ deg (2x) \ deg (1 + 2x) = 1 \ cdot 1 = 1}$ , dar $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ ${\ displaystyle \ deg (2x \ circ (1 + 2x)) = \ deg (2 + 4x) = \ deg (2) = 0}$ ${\ displaystyle \ deg (2x \ circ (1 + 2x)) = \ deg (2 + 4x) = \ deg (2) = 0}$ .

Gradul polinomului zero

Putem afirma corect atât că gradul polinomului zero este nedefinit, cât și că gradul polinomului zero poate fi definit cu un număr negativ (prin convenție -1 sau −∞). ^[1]

Ca orice valoare constantă, valoarea zero poate fi considerată ca un polinom (constant), numit polinom nul. Acest polinom nu are termeni care să nu fie nuli și, prin urmare, în mod corect, nu are un grad, adică gradul său este nedefinit.

Propozițiile anterioare privind gradul sumei, produsului și compoziției polinoamelor nu se aplică dacă unul dintre cele două este, de asemenea, un polinom nul. ^[2]

Formulele sunt valabile dacă sunt introduse unele extensii adecvate. Prin urmare, este util să se definească gradul unui polinom zero, egal cu „minus infinit”, $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , și apoi introduceți aceste reguli aritmetice ^[3]

\max(a,-\infty )=a,

{\ displaystyle \ max (a, - \ infty) = a,}

{\ displaystyle \ max (a, - \ infty) = a,}

Și

a+-\infty =-\infty .

{\ displaystyle a + - \ infty = - \ infty.}

{\ displaystyle a + - \ infty = - \ infty.}

Următoarele exemple ilustrează modul în care această extensie satisface cele ale sumei, produsului și compoziției a două polinoame:

Gradul sumei $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) + (0) = x ^ {3} + x}$ ${\ displaystyle (x ^ {3} + x) + (0) = x ^ {3} + x}$ este 3. Aceasta satisface rezultatul scontat, adică $3\leq \max(3,-\infty )$ ${\ displaystyle 3 \ leq \ max (3, - \ infty)}$ ${\ displaystyle 3 \ leq \ max (3, - \ infty)}$ .
Gradul de diferență $(x)-(x)=0$ ${\ displaystyle (x) - (x) = 0}$ ${\ displaystyle (x) - (x) = 0}$ Și $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ . Și, de fapt, este adevărat că: $-\infty \leq \max(1,1)$ ${\ displaystyle - \ infty \ leq \ max (1,1)}$ ${\ displaystyle - \ infty \ leq \ max (1,1)}$ .
Calitatea produsului $(0)(x^{2}+1)=0$ ${\ displaystyle (0) (x ^ {2} +1) = 0}$ ${\ displaystyle (0) (x ^ {2} +1) = 0}$ Și $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ . Și, de fapt, este adevărat că: $-\infty =-\infty +2$ ${\ displaystyle - \ infty = - \ infty +2}$ ${\ displaystyle - \ infty = - \ infty +2}$ .

Reducerea variabilelor

Într-un polinom, este adesea util să considerăm unele variabile ca constante. De exemplu, polinomul

p=x^{2}+y+2

{\ displaystyle p = x ^ {2} + y + 2}

{\ displaystyle p = x ^ {2} + y + 2}

poate fi considerat și ca polinom în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ numai, dăruind $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ rolul unei valori constante. Alternativ, poate fi văzut ca un polinom în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ numai. Proprietățile polinoamelor rezultate pot fi foarte diferite între ele: aici, de exemplu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ are grad $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ în comparație cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , este singur $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în comparație cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . De exemplu, polinomul

x^{2}y^{3}+z^{4}

{\ displaystyle x ^ {2} y ^ {3} + z ^ {4}}

{\ displaystyle x ^ {2} y ^ {3} + z ^ {4}}

este gradat $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ , dar când este vizualizat numai în variabile unice $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sau $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sau $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ are grad respectiv $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ Și $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ .

Polinoame ale unei singure variabile

Un polinom generic cu o singură variabilă poate fi reprezentat cu următoarea scriere:

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n},

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dots + a_ {n} x ^ {n},}

a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dots + a_ {n} x ^ {n},

cu $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ non-zero. Cu această scriere, $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ este binecunoscutul termen și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este gradul. $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ se numește coeficientul directorului .

Un astfel de polinom este:

monico , dacă $a_{n}=1$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ $a_ {n} = 1$ ;
complet , dacă totul $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt diferite de zero, totuși $0\leq i\leq n$ ${\ displaystyle 0 \ leq i \ leq n}$ $0 \ leq i \ leq n$ .

Rădăcinile unui polinom

Același subiect în detaliu: Rădăcină (matematică) .

O rădăcină a unui polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ într-o singură variabilă este un număr $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât

p(b)=0,

{\ displaystyle p (b) = 0,}

{\ displaystyle p (b) = 0,}

adică astfel încât, înlocuit cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , face expresia nulă. Astfel, dacă

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n},

{\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dots + a_ {n} x ^ {n},}

{\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dots + a_ {n} x ^ {n},}

numarul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este rădăcină dacă

p(b)=a_{0}+a_{1}b+a_{2}b^{2}+\ldots +a_{n}b^{n}=0.

{\ displaystyle p (b) = a_ {0} + a_ {1} b + a_ {2} b ^ {2} + \ ldots + a_ {n} b ^ {n} = 0.}

{\ displaystyle p (b) = a_ {0} + a_ {1} b + a_ {2} b ^ {2} + \ ldots + a_ {n} b ^ {n} = 0.}

În cazul polinoamelor cu coeficienți reali, ansamblul rădăcinilor reale ale unui polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ poate fi vizualizat pe plan cartezian ca intersecție a graficului funcției polinomiale $y=p(x)$ ${\ displaystyle y = p (x)}$ $y = p (x)$ cu axa absciselor.

Într-un domeniu, un polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ poate avea cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini distincte. Există polinoame fără rădăcini reale, cum ar fi

x^{2}+1,

{\ displaystyle x ^ {2} +1,}

x ^ {2} +1,

atâta timp cât $b^{2}+1>0$ ${\ displaystyle b ^ {2} +1> 0}$ $b ^ {2} +1> 0$ pentru fiecare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ real. Pe de altă parte, prin teorema fundamentală a algebrei, fiecare polinom complex are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini complexe , numărate cu multiplicitate .

În școală, formulele sunt predate pentru a găsi rădăcinile polinoamelor de gradul I și II. Există formule analoage pentru a exprima rădăcinile unui polinom de gradul III și IV în ceea ce privește coeficienții, folosind doar cele patru operații și extracții de rădăcini (așa-numita rezoluție de radicali ). Pe de altă parte, s-a arătat în teoria lui Galois că nu există o formulă generală de acest tip pentru polinoame de la gradul cinci în sus.

Funcții polinomiale

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel. Pentru un polinom

f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},

{\ displaystyle f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {n} x ^ {n},}

f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {n} x ^ {n},

un coeficienți în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ puteți asocia o funcție polinomială , care este funcția din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în sine definit de

b\mapsto f(b)=a_{0}+a_{1}b+a_{2}b^{2}+\ldots +a_{n}b^{n},

{\ displaystyle b \ mapsto f (b) = a_ {0} + a_ {1} b + a_ {2} b ^ {2} + \ ldots + a_ {n} b ^ {n},}

b \ mapsto f (b) = a_ {0} + a_ {1} b + a_ {2} b ^ {2} + \ ldots + a_ {n} b ^ {n},

pentru $b\in A$ ${\ displaystyle b \ în A}$ $b \ în A$ . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este finit , apoi polinoame diferite pot da naștere aceleiași funcții. De exemplu dacă $A=\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle A = \ mathbb {Z} _ {p} = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $A = \ mathbb {Z} _ {p} = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ este câmpul cu număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ de elemente, apoi la polinomul nul și la polinom $x^{p}-x$ ${\ displaystyle x ^ {p} -x}$ $x ^ {p} -x$ totuși, prin mica teoremă a lui Fermat , funcția care trimite fiecărui element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în zero. Același lucru poate fi adevărat dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este infinit , dar nu este un domeniu , de exemplu dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o algebră externă infinită, în care se ține $x^{2}=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} = 0}$ $x ^ {2} = 0$ pentru fiecare $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ .

Dacă în schimb $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu infinit, apoi urmează următorul principiu de identitate al polinoamelor , care afirmă că diferite funcții polinomiale sunt asociate cu polinoame diferite (adică funcția descrisă mai sus care asociază o funcție polinomială cu un polinom este injectivă ):

două polinoame

p

${\ displaystyle p}$ $p$ Și

q

${\ displaystyle q}$ $q$ un coeficienți într-un domeniu

LA

${\ displaystyle A}$ $LA$ infinit astfel încât

p(x)=q(x)

${\ displaystyle p (x) = q (x)}$ $p (x) = q (x)$ pentru fiecare

x\in A

${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ sunt egali.

Acest lucru depinde de faptul că într-un domeniu un polinom diferit de zero are doar un număr finit de rădăcini.

În exemplele de mai jos, ne holbăm $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ egal cu câmpul numerelor reale. În funcție de notă,

un polinom de grad este o funcție constantă ,

un polinom de grad

1

{\ displaystyle 1}

1

este o funcție liniară ,

un polinom de grad

2

{\ displaystyle 2}

2

este o funcție pătratică sau conică ,

un polinom de grad

3

{\ displaystyle 3}

3

este o funcție cubică .

Exemple

Polinomul de gradul 2: f ( x ) = x ² - x - 2 = ( x +1) ( x -2)	Polinom de gradul 3: f ( x ) = x ^3/5 + 4 x ^2/5 - 7 x / 5 - 2 = 1/5 ( x +5) ( x +1) ( x -2)
Polinom de gradul 4: f ( x ) = 1/14 ( x +4) ( x +1) ( x -1) ( x -3) + 0,5	Polinom de gradul 5: f ( x ) = 1/20 ( x +4) ( x +2) ( x +1) ( x -1) ( x -3) + 2

Derivat

O funcție polinomială cu coeficienți reali

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},

{\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {n} x ^ {n},}

p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ ldots + a_ {n} x ^ {n},

este diferențiat și derivatul său este încă un polinom,

p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots +na_{n}x^{n-1}.

{\ displaystyle p '(x) = a_ {1} + 2a_ {2} x + \ ldots + na_ {n} x ^ {n-1}.}

p '(x) = a_ {1} + 2a_ {2} x + \ ldots + na_ {n} x ^ {n-1}.

Prin urmare, raționând inductiv , putem afirma că funcțiile polinomiale sunt infinit diferențiabile (sau netede ) și că derivata ( n +1) -th a unui polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este funcția nulă. În realitate, ele sunt și funcții analitice .

Inel de polinoame

Același subiect în detaliu: inelul polinomial .

Dat un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , simbolul

A[x_{1},\ldots ,x_{n}]

{\ displaystyle A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]

denotă mulțimea tuturor polinoamelor din variabile $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ ldots, x_ {n}$ cu coeficienți în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De exemplu, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi un câmp ca cel al numerelor reale sau complexe .

Întregul $A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ $A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]$ se dovedește a fi și un inel, inelul polinoamelor din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile cu coeficienți în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Studiul proprietăților acestui inel este o parte importantă a algebrei și geometriei algebrice .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un câmp, inelul polinomial este o su algebră $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și atunci când $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ este, de asemenea, un inel euclidian , în sensul că polinoamele pot fi împărțite cu coeficientul și restul ca numere întregi (dacă $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ acest lucru nu este adevărat deoarece inelul polinomial nu este un domeniu cu idealuri principale ).

Exemple

$\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ $\ mathbb {Z} [x]$ nu este o dominație cu idealuri principale și, prin urmare, nici măcar un inel euclidian. Într-adevăr idealul $(2,x)$ ${\ displaystyle (2, x)}$ $(2, x)$ generate de polinoame $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu este principal .
$\mathbb {R} [x,y]$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x, y]}$ $\ mathbb {R} [x, y]$ nu este o dominație cu idealuri principale și, prin urmare, nici măcar un inel euclidian. Într-adevăr idealul $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ generate de polinoame $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ nu este principal.
$K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ , de sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp , este un domeniu euclidian.
Principiul identității polinoamelor se aplică numai pe domenii infinite. De exemplu, dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul finit cu două elemente, și anume $K\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ ${\ displaystyle K \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle K \ cong \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z},}$ apoi polinomul $f(x)=x+x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x + x ^ {2}}$ ${\ displaystyle f (x) = x + x ^ {2}}$ este astfel încât $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ pentru fiecare $x\in K$ ${\ displaystyle x \ în K}$ $x \ în K$ în (adică $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ), deși nu este polinomul nul.

Derivat formal

Același subiect în detaliu: Algebră diferențială .

Calculul derivatei unui polinom se extinde ca definiție a derivatei (numită derivată formală ) în cazul în care polinomul are coeficienți într-un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , chiar și în absența calculului infinitesimal . Multe dintre proprietățile derivatei se extind și la derivata formală.

Sume de puteri ale rădăcinilor

Lasa-i sa fie $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ $\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}$ rădăcinile n ale unui polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , și așa să fie $s_{k}=\lambda _{1}^{k}+\ldots +\lambda _{n}^{k}$ ${\ displaystyle s_ {k} = \ lambda _ {1} ^ {k} + \ ldots + \ lambda _ {n} ^ {k}}$ $s_ {k} = \ lambda _ {1} ^ {k} + \ ldots + \ lambda _ {n} ^ {k}$ . Atunci

de sine $1\leq k\leq n$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ $1 \ leq k \ leq n$ avem asta $s_{k}+a_{k-1}s_{k-1}+\ldots +a_{n-k+1}s_{1}+a_{n-k}\cdot n=0;$ ${\ displaystyle s_ {k} + a_ {k-1} s_ {k-1} + \ ldots + a_ {n-k + 1} s_ {1} + a_ {nk} \ cdot n = 0;}$ ${\ displaystyle s_ {k} + a_ {k-1} s_ {k-1} + \ ldots + a_ {n-k + 1} s_ {1} + a_ {n-k} \ cdot n = 0;}$
de sine $k>n$ ${\ displaystyle k> n}$ $k> n$ avem asta $s_{k}+a_{n-1}s_{k-1}+\ldots +a_{1}s_{k-n+1}+a_{0}s_{k-n}=0.$ ${\ displaystyle s_ {k} + a_ {n-1} s_ {k-1} + \ ldots + a_ {1} s_ {k-n + 1} + a_ {0} s_ {kn} = 0.}$ ${\ displaystyle s_ {k} + a_ {n-1} s_ {k-1} + \ ldots + a_ {1} s_ {k-n + 1} + a_ {0} s_ {k-n} = 0.}$

Cazuri speciale

Caz special $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$

Pentru relațiile dintre rădăcini și coeficienți , se poate scrie sub formă un polinom de gradul doi

x^{2}-Sx+P,

{\ displaystyle x ^ {2} -Sx + P,}

{\ displaystyle x ^ {2} -Sx + P,}

unde este

$S=\lambda _{1}+\lambda _{2},$ ${\ displaystyle S = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2},}$ ${\ displaystyle S = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2},}$
$P=\lambda _{1}\lambda _{2}.$ ${\ displaystyle P = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}.}$ ${\ displaystyle P = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}.}$

Atunci

$s_{1}=\lambda _{1}+\lambda _{2}=S,$ ${\ displaystyle s_ {1} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = S,}$ ${\ displaystyle s_ {1} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = S,}$
$s_{2}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}=S^{2}-2P.$ ${\ displaystyle s_ {2} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} = S ^ {2} -2P.}$ ${\ displaystyle s_ {2} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} = S ^ {2} -2P.}$

Caz special $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$

Pentru relațiile dintre rădăcini și coeficienți se poate scrie sub formă un polinom de gradul III

x^{3}-Sx^{2}+Qx-P,

{\ displaystyle x ^ {3} -Sx ^ {2} + Qx-P,}

{\ displaystyle x ^ {3} -Sx ^ {2} + Qx-P,}

unde este

$S=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3},$ ${\ displaystyle S = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3},}$ ${\ displaystyle S = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3},}$
$Q=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1},$ ${\ displaystyle Q = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} + \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} + \ lambda _ {3} \ lambda _ {1},}$ ${\ displaystyle Q = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} + \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} + \ lambda _ {3} \ lambda _ {1},}$
$P=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}.$ ${\ displaystyle P = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3}.}$ ${\ displaystyle P = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3}.}$

Atunci

$s_{1}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=S,$ ${\ displaystyle s_ {1} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = S,}$ ${\ displaystyle s_ {1} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3} = S,}$
$s_{2}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=S^{2}-2Q,$ ${\ displaystyle s_ {2} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = S ^ {2} -2Q,}$ ${\ displaystyle s_ {2} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = S ^ {2} -2Q,}$
$s_{3}=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=S^{3}-3SQ+3P.$ ${\ displaystyle s_ {3} = \ lambda _ {1} ^ {3} + \ lambda _ {2} ^ {3} + \ lambda _ {3} ^ {3} = S ^ {3} -3SQ + 3P .}$ ${\ displaystyle s_ {3} = \ lambda _ {1} ^ {3} + \ lambda _ {2} ^ {3} + \ lambda _ {3} ^ {3} = S ^ {3} -3SQ + 3P .}$

Notă

^ Shafarevich (2003) afirmă cu privire la polinomul zero: "În acest caz, considerăm că gradul polinomului nu este definit." (pag. 27)
Childs (1995) folosește −1. (pag. 233)
Childs (2009) folosește −∞ (p. 287), totuși exclude polinomul zero în Propoziția sa 1 (p. 288) și explică mai târziu că această propoziție 1 conduce la introducerea polinomului zero „cu presupunerea rezonabilă că $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ + m = $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ pentru orice număr întreg m sau m = $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ".
Axler (1997) folosește −∞. (pag. 64)
Grillet (2007) afirmă: „Gradul polinomului zero nu este uneori definibil, alteori este definit în diferite moduri ca −1 ∈ ℤ sau ca $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , ca deg 0 <deg A pentru fiecare A ≠ 0. "(unde A este un polinom.). Cu toate acestea, autorul exclude polinomul zero din Propoziția 5.3. (p. 121)
^ (EN) Eric W. Weisstein, Polinom , în MathWorld , Wolfram Research.
^ Axler (1997) oferă aceste reguli și afirmă: „Polinomul 0 este declarat a avea grad $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ astfel încât să nu fie necesare excepții pentru diferite rezultate rezonabile. "(p. 64)

Bibliografie

( EN ) Peter Borwein și Tamás Erdélyi, Polynomials and polynomial Inequalities , Berlin , Springer , 1995, ISBN 0-387-94509-1 .
( EN ) EJ Barbeau, Polynomials , Springer, 2003, ISBN 978-0-387-40627-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe polinom

linkuri externe

( EN ) Polynomial , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 21918 · LCCN ( EN ) sh85104702 · BNF ( FR ) cb119786822 (data) · NDL ( EN , JA ) 00572625

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Shafarevich (2003) afirmă cu privire la polinomul zero: "În acest caz, considerăm că gradul polinomului nu este definit." (pag. 27)
Childs (1995) folosește −1. (pag. 233)
Childs (2009) folosește −∞ (p. 287), totuși exclude polinomul zero în Propoziția sa 1 (p. 288) și explică mai târziu că această propoziție 1 conduce la introducerea polinomului zero „cu presupunerea rezonabilă că $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ + m = $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ pentru orice număr întreg m sau m = $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ ".
Axler (1997) folosește −∞. (pag. 64)
Grillet (2007) afirmă: „Gradul polinomului zero nu este uneori definibil, alteori este definit în diferite moduri ca −1 ∈ ℤ sau ca $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , ca deg 0 <deg A pentru fiecare A ≠ 0. "(unde A este un polinom.). Cu toate acestea, autorul exclude polinomul zero din Propoziția 5.3. (p. 121)

[2] (EN) Eric W. Weisstein, Polinom , în MathWorld , Wolfram Research.

[3] Axler (1997) oferă aceste reguli și afirmă: „Polinomul 0 este declarat a avea grad $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ astfel încât să nu fie necesare excepții pentru diferite rezultate rezonabile. "(p. 64)

[1]

[2]

[3]

Polinom

Nomenclatură

Operații cu polinoame

Suma a două polinoame

Produs al unui polinom de către un scalar

Înmulțirea a două polinoame

Compoziția a două polinoame

Gradul polinomului zero

Reducerea variabilelor

Polinoame ale unei singure variabile

Rădăcinile unui polinom

Funcții polinomiale

Exemple

Derivat

Inel de polinoame

Exemple

Derivat formal

Sume de puteri ale rădăcinilor

Cazuri speciale

Caz special n = 2 {\ displaystyle n = 2}

Caz special n = 3 {\ displaystyle n = 3}

Notă

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Caz special $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$

Caz special $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$