Funcția quadratică

În algebră , o funcție pătratică este o funcție în una sau mai multe variabile definite explicit printr-un polinom de gradul doi. De exemplu, o funcție pătratică în variabilele x , y , z are următoarea formă generală: $f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j}$ cu cel puțin unul între $la, b, c, d, Și, f$ ${\ displaystyle a, b, c, d, e, f}$ ${\ displaystyle a, b, c, d, e, f}$ diferit de 0.

O funcție pătratică într-o variabilă are forma ^[1] : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

Graficul său este o parabolă cu axa de simetrie paralelă cu axa y . Echivalând o funcție pătratică la zero obținem o ecuație de gradul doi ; soluțiile ecuației de gradul doi se numesc rădăcinile polinomului asociat.

Grafic al unei funcții pătratice definită de un polinom de gradul doi cu două rădăcini reale și fără rădăcini complexe

O funcție pătratică în două variabile are forma: $f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$ ${\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f}$ ${\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f}$ cu $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ nu simultan nul. Graficul unei funcții pătratice este, în general, o suprafață numită cvadrică . Subsetul de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ descris de $f(x,y)=0$ ${\ displaystyle f (x, y) = 0}$ $f (x, y) = 0$ este o secțiune conică ( elipsă , circumferință , parabola , hiperbolă ).

Coeficienții polinomului care definește funcția pot fi reali sau complexe , deoarece un polinom poate fi definit pe orice inel . În cazul în care toți coeficienții termenilor de gradul doi sunt egali cu zero, vorbim despre cazul degenerat al funcției.

Polinoamele de gradul II (și deci și funcțiile pătratice) sunt generalizate pe spații vectoriale prin conceptul de formă pătratică .

Etimologie

Adjectivul pătratic derivă din latinescul quadratum (pătrat). Un termen de gradul doi $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ se numește pătrat pentru că reprezintă aria unui pătrat de pe fiecare parte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Forme în cazul într-o variabilă

O funcție pătratică într-o variabilă poate fi exprimată în trei forme:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ , formă normală;
$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ${\ displaystyle f (x) = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$ ${\ displaystyle f (x) = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2})}$ , formă factorizată, cu $x_{1},x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ rădăcinile polinomului asociat;
$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ ${\ displaystyle f (x) = a (xh) ^ {2} + k}$ ${\ displaystyle f (x) = a (x-h) ^ {2} + k}$ , forma vârfului, unde $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ sunt coordonatele carteziene ale vârfului parabolei date de grafic.

Conversia de la forma normală la cea factorizată se face prin calcularea rădăcinilor polinomului; conversia de la forma normală la cea a vârfului se realizează prin completarea pătratului ; forma normală se obține de la celelalte două prin efectuarea operațiunilor indicate.

Graficul funcției într-o singură variabilă

f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} | _ {a = \ {0.1,0.3,1,3 \}} \!}

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} | _ {a = \ {0.1,0.3,1,3 \}} \!}

f(x)=ax^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx | _ {b = \ {1,2,3,4 \}} \!}

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx | _ {b = \ {1,2,3,4 \}} \!}

f(x)=ax^{2}-bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} -bx | _ {b = \ {1,2,3,4 \}} \!}

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} -bx | _ {b = \ {1,2,3,4 \}} \!}

Indiferent de forma expresiei, graficul unei funcții pătratice într-o variabilă $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ este o parabolă . Din aceasta avem, în mod echivalent, că o parabolă poate fi descrisă ca ${(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=ax^{2}+bx+c}$ ${\ displaystyle {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = ax ^ {2} + bx + c}}$ ${\ displaystyle {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = ax ^ {2} + bx + c}}$ .

De sine $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ , parabola întoarce concavitatea în sus ; de sine $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ , parabola întoarce concavitatea în jos .

Coeficientul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ verificați curbura graficului: cu cât valoarea sa absolută este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă. Coeficienții $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt de acord să definiți poziția axei de simetrie a parabolei , deci coordonatele $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a vârfului , dat de $x_{0}=-{\frac {b}{2a}}$ ${\ displaystyle x_ {0} = - {\ frac {b} {2a}}}$ ${\ displaystyle x_ {0} = - {\ frac {b} {2a}}}$ . Coeficientul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ verificați înălțimea vasului; în special interceptează axa y în punctul de coordonate $(0,c)$ ${\ displaystyle (0, c)}$ ${\ displaystyle (0, c)}$ .

Vârf

Vârful este maximul sau minimul absolut al parabolei. Dacă funcția are forma vârfului, coordonatele sale sunt $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ .

Prin completarea pătratului , forma normală

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

poate fi transformat în

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ ${\ displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}}$ ${\ displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}}$ ;

plasarea $\Delta =b^{2}-4ac$ ${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}$ ${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}$ ( discriminator )

atunci vârful are coordonate $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, - {\ frac {\ Delta} {4a}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, - {\ frac {\ Delta} {4a}} \ right)}$

atunci axa de simetrie trece prin vârf.

Dacă funcția este într-o formă factorizată, exploatând simetria parabolei, se arată că coordonatele vârfului pot fi calculate echivalent ca $\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}}, f \ left ({\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} \ right) \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}}, f \ left ({\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} \ right) \ dreapta)}$ .

Deoarece punctul de vârf este un maxim sau un minim al funcției pătratice, acesta poate fi găsit prin teoremele analizei matematice . Prin urmare, punctul de vârf trebuie să fie rădăcina derivatei :

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \ Rightarrow f '(x) = 2ax + b \ Rightarrow x = - {\ frac {b} {2a}}}$ ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c \ Rightarrow f '(x) = 2ax + b \ Rightarrow x = - {\ frac {b} {2a}}}$

în acest moment funcția se menține

$f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}}$ ${\ displaystyle f \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) = a \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + b \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) + c = - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} = - {\ frac {\ Delta} {4a}}}$ ${\ displaystyle f \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) = a \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + b \ left (- {\ frac {b} {2a}} \ right) + c = - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}} = - {\ frac {\ Delta} {4a}}}$

prin urmare, coordonatele vârfului sunt:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, - {\ frac {\ Delta} {4a}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, - {\ frac {\ Delta} {4a}} \ right)}$

în conformitate cu cele constatate mai devreme.

Rădăcinile funcției într-o variabilă

Același subiect în detaliu: ecuația de gradul II .

Graficul unei funcții pătratice cu discriminant pozitiv cu: * Rădăcini și intersecții cu axa y în roșu * Vertex și axă de simetrie în albastru * Focus și lider în roz

Vizualizarea rădăcinilor complexe ale unei funcții pătratice: parabola este rotită cu 180 ° în jurul vârfului său ( portocaliu ). Intersecțiile sale cu axa x sunt rotite cu 90 ° în jurul punctului lor mediu și planul cartezian este interpretat ca plan complex ^[2]

Rădăcinile (sau zerourile) unei funcții dintr-o variabilă sunt valorile lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ . Pentru teorema fundamentală a algebrei pentru o funcție pătratică rădăcinile sunt două (posibil coincidente). Prin finalizarea pătratului , constatăm că:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$ ${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$ .

Prin urmare, în funcție de semnul discriminantului, pot exista trei cazuri:

$\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ două rădăcini reale și distincte,
$\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ două rădăcini reale și coincidente, cu $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$ ${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}}}$ ${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}}}$ ,
$\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ două rădăcini complexe distincte.

Modulul rădăcinilor nu poate fi mai mare decât $\phi \left({\frac {max\{|a|,|b|,|c|\}}{|a|}}\right)$ ${\ displaystyle \ phi \ left ({\ frac {max \ {| a |, | b |, | c | \}} {| a |}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ left ({\ frac {max \ {| a |, | b |, | c | \}} {| a |}} \ right)}$ ^[3] , unde $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ $\ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}$ este secțiunea aurie .

Rădăcina pătrată a funcției într-o variabilă

Funcția dată de rădăcina pătrată a unei funcții pătratice într-o variabilă are formă $f(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}$ și are ca grafic o elipsă sau o hiperbolă .

De sine $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ graficul este hiperbolă. Direcția axei hiperbolei este determinată de ordonata vârfului: dacă este negativă, axa transversală este verticală, dacă este negativă, axa transversală este orizontală.

De sine $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ graficul este o elipsă dacă există două rădăcini reale și distincte; altfel este un punct (rădăcini coincidente), sau nu există nici un grafic pe plan cartezian (rădăcini complexe).

Repetare

Iterarea unei funcții înseamnă aplicarea acesteia în mod repetat, înlocuirea variabilei independente cu valoarea funcției găsite în iterația anterioară. A noua iterație este indicată cu $f^{(n)}(x)$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x)}$ ; notația poate fi extinsă la numere negative dacă este posibil să se itereze funcția inversă (dacă există) a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Nu este întotdeauna posibil să scriem expresia analitică a $f^{(n)}(x)$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x)}$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (x)}$ . Două cazuri de funcții pătratice iterate sunt discutate mai jos, în care forma analitică poate fi scrisă în mod explicit.

Pentru funcție $f(x)=a(x-c)^{2}+c$ ${\ displaystyle f (x) = a (xc) ^ {2} + c}$ ${\ displaystyle f (x) = a (x-c) ^ {2} + c}$ (cu $la, c$ ${\ displaystyle a, c}$ ${\ displaystyle a, c}$ parametri reali) forma iterată este

$x_{n+1}=a(x_{n}-c)^{2}+c$ ${\ displaystyle x_ {n + 1} = a (x_ {n} -c) ^ {2} + c}$ ${\ displaystyle x_ {n + 1} = a (x_ {n} -c) ^ {2} + c}$

plasarea $g(x)=ax^{2}h(x)=x-c$ ${\ displaystyle g (x) = ax ^ {2} h (x) = xc}$ ${\ displaystyle g (x) = ax ^ {2} h (x) = x-c}$

asa de $f(x)=h^{-1}(g(h(x))$ ${\ displaystyle f (x) = h ^ {- 1} (g (h (x))}$ ${\ displaystyle f (x) = h ^ {- 1} (g (h (x))}$

apoi prin inducție $f(x)=h^{-1}(g^{n}(h(x))$ ${\ displaystyle f (x) = h ^ {- 1} (g ^ {n} (h (x))}$ ${\ displaystyle f (x) = h ^ {- 1} (g ^ {n} (h (x))}$

întotdeauna prin inducție avem asta $g^{n}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}$ ${\ displaystyle g ^ {n} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} x ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ displaystyle g ^ {n} (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} x ^ {2 ^ {n}}}$

asa de $f(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c$ ${\ displaystyle f (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} (xc) ^ {2 ^ {n}} + c}$ ${\ displaystyle f (x) = a ^ {2 ^ {n} -1} (x-c) ^ {2 ^ {n}} + c}$ este soluția explicită.

Harta logistică $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})0\leq x_{o}<1$ ${\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}) 0 \ leq x_ {o} <1}$ ${\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}) 0 \ leq x_ {o} <1}$ cu parametru $r\in [2,4]$ ${\ displaystyle r \ in [2,4]}$ ${\ displaystyle r \ in [2,4]}$ poate fi rezolvat doar în câteva cazuri, dintre care cel puțin unul este haotic și altul nu. În cazul haotic $r=4$ ${\ displaystyle r = 4}$ $r = 4$ soluția este

$x_{n}=sin^{2}(2^{n}\theta \pi )$ ${\ displaystyle x_ {n} = sin ^ {2} (2 ^ {n} \ theta \ pi)}$ ${\ displaystyle x_ {n} = sin ^ {2} (2 ^ {n} \ theta \ pi)}$ unde condiția inițială $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este dat de $\theta ={\frac {1}{\pi }}sin^{-1}({\sqrt {x_{0}}})$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {\ pi}} sin ^ {- 1} ({\ sqrt {x_ {0}}})}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {\ pi}} sin ^ {- 1} ({\ sqrt {x_ {0}}})}$ . Pentru $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ rațional , după un număr finit de iterații, $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ intră într-o succesiune periodică. Pentru $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ iraţional $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ nu se repetă niciodată cu o dependență sensibilă de condițiile inițiale ; ca majoritatea $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este irațional, comportamentul este haotic.

Soluția de hartă logistică cu $r=2$ ${\ displaystyle r = 2}$ $r = 2$ Și $x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} (1-2x_ {0}) ^ {2 ^ {n}}}$ pentru $x_{0}\in [0,1)$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in [0,1)}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in [0,1)}$ .

De sine $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ ${\ displaystyle (1-2x_ {0}) \ in (-1,1)}$ ${\ displaystyle (1-2x_ {0}) \ in (-1,1)}$ , pentru fiecare valoare de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ altul decât valoarea instabilă, termenul $(1-2x_{0})\rightarrow 0$ ${\ displaystyle (1-2x_ {0}) \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle (1-2x_ {0}) \ rightarrow 0}$ pentru $n\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow + \ infty}$ ${\ displaystyle n \ rightarrow + \ infty}$ , asa de $x_{n}\rightarrow {\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ rightarrow {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ rightarrow {\ frac {1} {2}}}$ .

Funcția quadratică în două variabile

Același subiect în detaliu: formă cvadrică și cuadratică .

O funcție pătratică în două variabile este o funcție definită de un polinom de gradul II de formă:

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$ ${\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f}$ ${\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f}$

unde este $la, b, c, d, Și, f$ ${\ displaystyle a, b, c, d, e, f}$ ${\ displaystyle a, b, c, d, e, f}$ sunt constante și $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ nu sunt simultan nul. Graficul acestei funcții este o suprafață ( cvadrică ). Setul descris de $f(x,y)=0$ ${\ displaystyle f (x, y) = 0}$ $f (x, y) = 0$ este intersecția dintre suprafață și plan $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ aceasta este o secțiune conică .

Maxime și minime

De sine $4ab-e^{2}<0$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2} <0}$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2} <0}$ funcția nu are maxime sau minime; graficul este un paraboloid hiperbolic.

De sine $4ab-e^{2}>0$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2}> 0}$ funcția are un punct maxim ( $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ ) sau minim ( $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ ); graficul său este un paraboloid eliptic . Coordonatele punctului maxim sau minim sunt $\left({\frac {de-2bc}{4ab-e^{2}}},{\frac {ce-2ad}{4ab-e^{2}}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {de-2bc} {4ab-e ^ {2}}}, {\ frac {ce-2ad} {4ab-e ^ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {de-2bc} {4ab-e ^ {2}}}, {\ frac {ce-2ad} {4ab-e ^ {2}}} \ right)}$ .

De sine $4ab-e^{2}=0$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2} = 0}$ Și $de-2cb=2ad-ce\neq 0$ ${\ displaystyle de-2cb = 2ad-ce \ neq 0}$ ${\ displaystyle de-2cb = 2ad-ce \ neq 0}$ funcția nu are maxime sau minime; graficul său este un cilindru parabolic .

De sine $4ab-e^{2}=0$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle 4ab-e ^ {2} = 0}$ Și $de-2cb=2ad-ce=0$ ${\ displaystyle de-2cb = 2ad-ce = 0}$ ${\ displaystyle de-2cb = 2ad-ce = 0}$ funcția atinge un punct maxim ( $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ ) sau minim ( $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ ); graficul său este un cilindru parabolic.

Notă

^ Roberto Ferrauto, Maurizio Campitelli, Armando Ferrauto și Albero Lanzara, Numere și funcții , vol. 2, Roma, Editura Dante Aligieri, 2007, p. 95, ISBN 9788853406705 .
^ Rădăcini complexe făcute vizibile - Fapte de distracție matematică , la math.hmc.edu . Adus la 1 octombrie 2016 (arhivat din original la 17 aprilie 2016) .
^ (EN) Nick Lord, Golden bound pentru rădăcinile ecuației pătratice în Mathematical Gazette, n. 91, noiembrie 2007, p. 549.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcție pătratică

Controlul autorității	GND ( DE ) 4343047-8

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Roberto Ferrauto, Maurizio Campitelli, Armando Ferrauto și Albero Lanzara, Numere și funcții , vol. 2, Roma, Editura Dante Aligieri, 2007, p. 95, ISBN 9788853406705 .

[2] Rădăcini complexe făcute vizibile - Fapte de distracție matematică , la math.hmc.edu . Adus la 1 octombrie 2016 (arhivat din original la 17 aprilie 2016) .

[3] (EN) Nick Lord, Golden bound pentru rădăcinile ecuației pătratice în Mathematical Gazette, n. 91, noiembrie 2007, p. 549.

[1]

[2]

[3]