Discriminator

În matematică , discriminantul unui polinom este o cantitate care oferă informații despre rădăcinile sale și, în cadrul teoriei Galois , despre grupul Galois al polinomului.

Ca un caz particular, discriminantul ecuației de gradul doi $ax^{2}+bx+c=0$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ $ax ^ {2} + bx + c = 0$ Și $b^{2}-4ac$ ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$ $b ^ {2} -4ac$ , iar această cantitate este direct prezentă în formula soluției ecuației.

Definiție și calcul

Fie f ( x ) un polinom pe un câmp F de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu coeficient de director $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , și ei sunt $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ $\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n}$ rădăcinile sale în propriul său câmp de rupere . Discriminantul lui f este

D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

{\ displaystyle D (f) = a_ {n} ^ {2n-2} \ prod _ {i <j} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}}

D (f) = a_ {n} ^ {{2n-2}} \ prod _ {{i <j}} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}

Din definiție rezultă imediat că D ( f ) = 0 dacă și numai dacă f are rădăcini multiple; mai mult, deoarece D este o funcție simetrică a rădăcinilor, D ( f ) poate fi exprimat în termeni ai coeficienților lui f și, prin urmare, aparține lui F. O definiție echivalentă este

D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}\prod _{i=1}^{n}f'(\alpha _{i})

{\ displaystyle D (f) = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} \ prod _ {i = 1} ^ {n} f '(\ alpha _ {i})}

D (f) = (- 1) ^ {{n (n-1) / 2}} \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} f '(\ alpha _ {i})

unde este $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ este derivata lui f (sau mai exact, deoarece F nu trebuie să fie un subset de numere complexe , derivatul său formal ).

În majoritatea cazurilor, însă, definiția nu permite calcularea explicită a discriminantului, deoarece necesită cunoașterea deja a rădăcinilor polinomului. O metodă de calcul direct a discriminantului pornind de la coeficienți este prin conceptul de rezultant între două polinoame, adică determinantul matricei Sylvester asociate. În special, discriminantul este, până la un factor, egal cu rezultatul lui f și f ' : s și $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ ${\ displaystyle f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$ $f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a _ {{n-1}} x ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}$ , asa de

D(f)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}\det {\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle D (f) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} n (n-1)} {\ frac {1} {a_ {n}}} \ det {\ begin { pmatrix} a_ {n} & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ ldots & a_ {1} & a_ {0} & 0 \ ldots & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {n} & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ ldots & a_ {1} & a_ {0} & 0 \ ldots & 0 \\\ vdots \ &&&&&&&&& vdots \\ 0 & \ ldots \ & 0 & a_ {n} & a_ {n-1} & a_ {n-2} & \ ldots & a_ {1} & a_ {0} \\ na_ {n} & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ ldots \ & a_ {1} & 0 & \ ldots & \ ldots & 0 \\ 0 & na_ {n} & (n-1) a_ {n-1 } & (n-2) a_ {n-2} & \ ldots \ & a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\\ vdots \ &&&&&&&&&& vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & na_ { n} & (n-1) a_ {n-1} & (n-2) a_ {n-2} & \ ldots \ & a_ {1} \\\ end {pmatrix}}.}

D (f) = (- 1) ^ {{{\ frac {1} {2}} n (n-1)}} {\ frac {1} {a_ {n}}} \ det {\ begin {pmatrix } a_ {n} & a _ {{n-1}} & a _ {{n-2}} & \ ldots & a_ {1} & a_ {0} & 0 \ ldots & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {n} & a _ {{n- 1}} & a _ {{n-2}} & \ ldots & a_ {1} & a_ {0} & 0 \ ldots & 0 \\\ vdots \ &&&&&&&& \ vdots \\ 0 & \ ldots \ & 0 & a_ {n} & a _ {{n-1}} & a _ {{n-2}} & \ ldots & a_ {1} & a_ {0} \ \ na_ {n} & (n-1) a _ {{n-1}} & (n-2) a _ {{n-2}} & \ ldots \ & a_ {1} & 0 & \ ldots & \ ldots & 0 \\ 0 & na_ {n} & (n-1) a _ {{n-1}} & (n-2) a _ {{n -2}} & \ ldots \ & a_ {1 } & 0 & \ ldots & 0 \\\ vdots \ &&&&&&&& \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & 0 & na_ {n} & (n-1) a _ {{n-1}} & (n - 2) a _ {{n-2}} & \ ldots \ & a_ {1} \\\ end {pmatrix}}.

Exemple

Pentru un polinom de gradul doi $ax^{2}+bx+c$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$ $ax ^ {2} + bx + c$ , discriminantul coincide cu cantitatea $b^{2}-4ac$ ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$ $b ^ {2} -4ac$ care apare în formula soluției

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

x _ {{1,2}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}

În special, dacă discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale, dacă este negativă are două complexe nereale și dacă este nulă rădăcinile coincid.

Pentru ecuațiile celui de-al treilea grad (care poate fi asumat în forma redusă $x^{3}+px+q$ ${\ displaystyle x ^ {3} + px + q}$ $x ^ {3} + px + q$ ), discriminantul este $-4p^{3}-27q^{2}$ ${\ displaystyle -4p ^ {3} -27q ^ {2}}$ $-4p ^ {3} -27q ^ {2}$ care apare sub rădăcină (în forma $q^{3}/4+p^{2}/27$ ${\ displaystyle q ^ {3} / 4 + p ^ {2} / 27}$ $q ^ {3} / 4 + p ^ {2} / 27$ ) în formulele lui Cardano pentru rezolvarea lor.

Alte polinoame al căror discriminant este ușor de calculat sunt p -th polinoame ciclotomice , pentru p număr prim : pentru ele avem: $D(f)=(-1)^{(p-1)/2}p^{p}$ ${\ displaystyle D (f) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} p ^ {p}}$ $D (f) = (- 1) ^ {{(p-1) / 2}} p ^ {p}$

Rădăcina grupului discriminant și Galois

O cantitate importantă, în contextul teoriei lui Galois , pentru studiul câmpurilor de divizare a polinoamelor, este rădăcina pătrată a discriminantului, adică cantitatea

\delta (f)=\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})

{\ displaystyle \ delta (f) = \ prod _ {i <j} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j})}

\ delta (f) = \ prod _ {{i <j}} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j})

Deoarece acest număr este o funcție rațională a rădăcinilor polinomului, acesta aparține cu siguranță câmpului de divizare; mai mult, deoarece pătratul său este în F , $F(\delta )$ ${\ displaystyle F (\ delta)}$ $F (\ delta)$ este o extensie la cel mai pătratic al lui F. δ este, de asemenea, fixat de toate permutările uniforme (deoarece fiecare permutare nu poate face altceva decât să schimbe semnul lui δ) și, prin urmare, este câmpul fix al $G\cap A_{n}$ ${\ displaystyle G \ cap A_ {n}}$ $G \ cap A_ {n}$ , unde G este grupul Galois al lui f pe F și A _n este grupul alternativ : în special, G este conținut în A _n dacă și numai dacă δ aparține lui F.

Acest lucru permite, de exemplu, clasificarea completă a câmpurilor de divizare a polinoamelor de gradul III ireductibile : dacă discriminantul este negativ δ nu este real și, prin urmare, nici câmpul de divizare nu este, iar grupul Galois este S ₃ ; dacă, pe de altă parte, discriminantul este pozitiv, câmpul de rupere este real și grupul Galois este A ₃ (adică grupul ciclic cu trei elemente) sau S _3, în funcție de dacă discriminantul este sau nu un pătrat în $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

Bibliografie

Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .
James S. Milne, Fields and Galois Theory (v.4.21), 2008

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Discriminating in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică