Rezultant (polinoame)

În matematică , rezultatul a două polinoame $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , cu coeficienți de monomii de grad maxim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ respectiv, este definit ca produs

\mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}q^{\deg P}\prod _{(x,y):\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),

{\ displaystyle \ mathrm {res} (P, Q) = p ^ {\ deg Q} q ^ {\ deg P} \ prod _ {(x, y): \, P (x) = 0, \, Q (y) = 0} (xy),}

{\ displaystyle \ mathrm {res} (P, Q) = p ^ {\ deg Q} q ^ {\ deg P} \ prod _ {(x, y): \, P (x) = 0, \, Q (y) = 0} (xy),}

a diferențelor dintre rădăcinile lor într-o închidere algebrică a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , considerate cu multiplicitățile lor ca rădăcini ale polinoamelor și ale puterilor adecvate ale coeficienților $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ .

Aspecte computaționale

Pentru un polinom fix $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , produsul de mai sus poate fi rescris ca

\mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}\prod _{P(x)=0}Q(x),

{\ displaystyle \ mathrm {res} (P, Q) = p ^ {\ deg Q} \ prod _ {P (x) = 0} Q (x),}

{\ displaystyle \ mathrm {res} (P, Q) = p ^ {\ deg Q} \ prod _ {P (x) = 0} Q (x),}

și de aceea depinde polinomial de coeficienții lui

Î

{\ displaystyle Q}

Î

. Un alt mod de a vedea acest lucru este de a observa asta

res(P,Q)

{\ displaystyle res (P, Q)}

{\ displaystyle res (P, Q)}

depinde polinomial (cu coeficienți întregi) de rădăcinile lui

P.

{\ displaystyle P}

P.

Și

Î

{\ displaystyle Q}

Î

, și este invariant sub orice permutare a acestor rădăcini.

Mai concret, rezultatul este determinantul matricei Sylvester asociat cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

Expresia

\mathrm {res} (P,Q)=p^{\deg Q}\prod _{P(x)=0}Q(x)

{\ displaystyle \ mathrm {res} (P, Q) = p ^ {\ deg Q} \ prod _ {P (x) = 0} Q (x)}

{\ displaystyle \ mathrm {res} (P, Q) = p ^ {\ deg Q} \ prod _ {P (x) = 0} Q (x)}

nu se schimbă dacă

Î

{\ displaystyle Q}

Î

este formă redusă

P.

{\ displaystyle P}

P.

.

Este $P'=P\mod Q$ ${\ displaystyle P '= P \ mod Q}$ ${\ displaystyle P '= P \ mod Q}$ . Apoi, ideea de mai sus poate fi iterată prin schimbarea rolurilor ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Rezultatul poate fi deci calculat folosind o variantă a algoritmului lui Euclid .

Proprietate

Deoarece rezultanta este un polinom cu coeficienți întregi în coeficienții lui $P.$ {\ displaystyle P} $P.$ Și $Î$ {\ displaystyle Q} $Î$ , avem asta
- Rezultatul este bine definit pentru polinoame pe orice inel comutativ .
- Dacă h este un omomorfism al inelului coeficient într-un alt inel comutativ, care păstrează gradele de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , apoi rezultatul imaginii prin h di $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este imaginea prin h a rezultatului din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .
Rezultatul a două polinoame cu coeficienți într-un domeniu de integritate este zero dacă și numai dacă au cel mai mare factor comun de grad pozitiv.

Aplicații

Discriminantul unui polinom este definit (până la semn) drept coeficientul rezultantului dintre polinom și derivatul său cu coeficientul monomiului său de grad maxim.

Rezultatele pot fi utilizate în geometrie algebrică pentru anumite intersecții. De exemplu, sunt

f(x,y)=0

{\ displaystyle f (x, y) = 0}

f (x, y) = 0

Și

g(x,y)=0

{\ displaystyle g (x, y) = 0}

g (x, y) = 0

curbe algebrice în

\mathbb {A} _{k}^{2}

{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2}}

. De sine

f

{\ displaystyle f}

f

Și

g

{\ displaystyle g}

g

sunt văzute ca polinoame în

X

{\ displaystyle x}

X

un coeficienți în

k[y]

{\ displaystyle k [y]}

{\ displaystyle k [y]}

, apoi rezultatul

f

{\ displaystyle f}

f

Și

g

{\ displaystyle g}

g

este un polinom în

y

{\ displaystyle y}

y

ale căror rădăcini sunt coordonatele

y

{\ displaystyle y}

y

a intersecțiilor dintre curbe și a asimptotelor comune paralele cu axa lui

X

{\ displaystyle x}

X

.

Bibliografie

(EN) Eric W. Weisstein, rezultat , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică