Matricea Sylvester

În matematică , o matrice Sylvester este o matrice asociată cu două polinoame care vă permite să oferiți câteva informații despre polinoamele în sine. Numele este legat de matematicianul James Joseph Sylvester .

Definiție

Fie p și q două polinoame având, respectiv, gradele pozitive m și n pe care le scriem:

p(z)\,=\,p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m}

{\ displaystyle p (z) \, = \, p_ {0} + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + \ cdots + p_ {m} z ^ {m}}

{\ displaystyle p (z) \, = \, p_ {0} + p_ {1} z + p_ {2} z ^ {2} + \ cdots + p_ {m} z ^ {m}}

q(z)\,=\,q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}

{\ displaystyle q (z) \, = \, q_ {0} + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + \ cdots + q_ {n} z ^ {n}}

{\ displaystyle q (z) \, = \, q_ {0} + q_ {1} z + q_ {2} z ^ {2} + \ cdots + q_ {n} z ^ {n}}

.

Matricea Sylvester asociată cu p și q , pe care o notăm cu S _{p, q} este matricea aspectului $(n+m)\times (n+m)$ ${\ displaystyle (n + m) \ times (n + m)}$ ${\ displaystyle (n + m) \ times (n + m)}$ obținut după cum urmează:

prima linie este:

{\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p_ {m} & p_ {m-1} & \ cdots & p_ {1} & p_ {0} & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p_ {m} & p_ {m-1} & \ cdots & p_ {1} & p_ {0} & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}

;

al doilea rând se obține din primul permutându-l circular în dreapta unei coloane (prima componentă a rândului este zero).

următoarele linii (m-2) sunt obținute în același mod, permutând linia anterioară în dreapta unei poziții;

rândul (m + 1) -a este:

{\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} q_ {n} & q_ {n-1} & \ cdots & q_ {1} & q_ {0} & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} q_ {n} & q_ {n-1} & \ cdots & q_ {1} & q_ {0} & 0 & \ cdots & 0 \ end {pmatrix}}}

;

următoarele linii sunt obținute ca înainte prin intermediul rotațiilor din dreapta liniei care le precedă.

De exemplu, dacă setăm m = 4 și n = 3, matricea căutată se dovedește a fi:

S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle S_ {p, q} = {\ begin {pmatrix} p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 & 0 \\ 0 & p_ { 4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 \\ 0 & 0 & p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} \\ q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_ {3} & q_ { 2} & q_ {1} & q_ {0} \\\ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle S_ {p, q} = {\ begin {pmatrix} p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 & 0 \\ 0 & p_ { 4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} & 0 \\ 0 & 0 & p_ {4} & p_ {3} & p_ {2} & p_ {1} & p_ {0} \\ q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_ {3} & q_ {2} & q_ {1} & q_ {0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_ {3} & q_ { 2} & q_ {1} & q_ {0} \\\ end {pmatrix}}.}

Aplicații

Matricele Sylvester sunt utilizate în algebra comutativă , pentru a verifica dacă două polinoame au un factor comun (neconstant). În realitate, în acest caz, determinantul matricei Sylvester asociate, care se numește rezultanta celor două polinoame , este egal cu zero. Conversa este, de asemenea, adevărată.

Soluția ecuațiilor liniare:

{S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {S_ {p, q}} ^ {\ mathrm {T}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {S_ {p, q}} ^ {\ mathrm {T}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

,

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un vector de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este de dimensiune $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , conduce la toate și numai polinoamele x și y , având gradele n - 1 și respectiv m - 1, care satisfac identitatea polinomului

x\cdot p+y\cdot q=0

{\ displaystyle x \ cdot p + y \ cdot q = 0}

{\ displaystyle x \ cdot p + y \ cdot q = 0}

.

Aceasta înseamnă că nucleul matricei Sylvester transpuse oferă toate soluțiile teoremei Bézout unde $\deg \,x<\deg \,q$ ${\ displaystyle \ deg \, x <\ deg \, q}$ ${\ displaystyle \ deg \, x <\ deg \, q}$ Și $\deg \,y<\deg \,p$ ${\ displaystyle \ deg \, y <\ deg \, p}$ ${\ displaystyle \ deg \, y <\ deg \, p}$ .

În consecință, rangul matricei Sylvester determină gradul celui mai mare divizor comun al $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ .

\deg({\mbox{MCD}}(p,q))=m+n-\mathrm {rank} \left(S_{p,q}\right)

{\ displaystyle \ deg ({\ mbox {MCD}} (p, q)) = m + n- \ mathrm {rank} \ left (S_ {p, q} \ right)}

{\ displaystyle \ deg ({\ mbox {MCD}} (p, q)) = m + n- \ mathrm {rank} \ left (S_ {p, q} \ right)}

.

linkuri externe

Eric W. Weisstein, Sylvester Matrix în MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică