Hiperbola (geometrie)

În matematică și în special în geometrie , hiperbola (din greaca veche : ὑπερβολή , hyperbolḗ , „exces”) este una dintre secțiunile conice .

Graficul unei hiperbole echilaterale se referă la asimptotele sale

y={\tfrac {1}{x}}

{\ displaystyle y = {\ tfrac {1} {x}}}

y = {\ tfrac {1} {x}}

.

Definiții

În geometria proiectivă este definită ca intersecția unui con circular drept cu un plan care taie conul în ambele clape.
În geometria descriptivă , sunt fixate două elipse omotetice $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ Și $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ pe același plan și nu intern unul față de celălalt, hiperbola este definită ca locusul centrelor elipselor omotetice la cele două elipse date $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ Și $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ și astfel încât să le fie tangente $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ Și $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ .

hiperbola ca locus al centrelor elipselor tangente la două elipse date

În geometria euclidiană , este definit ca locusul geometric al punctelor de pe plan astfel încât diferența de distanță față de două puncte fixe numite focare este constantă.
În geometria analitică , o hiperbolă este o curbă plană cartesiană definită printr-o ecuație de tip

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

{\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}

Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,

astfel încât $B^{2}>4AC$ ${\ displaystyle B ^ {2}> 4AC}$ $B ^ {2}> 4AC$ , unde toți coeficienții sunt reali și unde există mai multe soluții care definesc o pereche $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ de puncte ale hiperbolei.

Ecuația generală a hiperbolei se specializează și simplifică în unele cazuri particulare.

Dacă hiperbola îndeplinește următoarele condiții:

axele sale coincid cu axele planului cartezian;
își are centrul în origine;
intersectează axa absciselor;

atunci ecuația sa va arăta astfel:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,

dacă în schimb hiperbola îndeplinește primele două condiții menționate mai sus, dar intersectează axa ordonată, va avea o ecuație ca:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1.

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = - 1.}

{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = - 1.

În ambele cazuri asimptotele hiperbolei au ecuație $y=\pm {\frac {b}{a}}x$ ${\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} x}$ $y = \ pm {\ frac {b} {a}} x$ .

Dacă asimptotele sunt perpendiculare (și, prin urmare, în cazul hiperbolei având axele coincidente cu axele carteziene, dacă $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ ), hiperbola se numește hiperbolă echilaterală . Dacă hiperbola are asimptote perpendiculare, dar nu coincide cu axele, atunci va fi definită de o funcție omografică . Având în vedere o hiperbolă echilaterală, de asimptote $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ și $y=b$ ${\ displaystyle y = b}$ $y = b$ , limita funcției sale pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care tinde spre $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , va fi infinit, adică grafic, hiperbola nu are punct de intersecție cu asimptotele sale, dacă nu infinit.

Dacă o hiperbolă echilaterală se referă la propriile asimptote (adică dacă asimptotele hiperbolei coincid cu axele carteziene), atunci ecuația sa ia o formă foarte simplă:

xy=k.

{\ displaystyle xy = k.}

xy = k.

De sine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este diferit de zero, funcția de proporționalitate inversă este asociată cu această curbă $y={\frac {k}{x}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {k} {x}}}$ $y = {\ frac {k} {x}}$ .

De sine $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ curba degenerează ca un întreg format din cele două axe cartesiene, identificate prin ecuație $xy=0$ ${\ displaystyle xy = 0}$ $xy = 0$ .

Diferitele elemente asociate cu o hiperbolă sunt:

focare = două puncte fixe din care toate punctele hiperbolei au distanțe în care valoarea absolută a diferenței este constantă;
vârfuri = intersecții ale segmentului care unește focarele cu cele două ramuri ale hiperbolei;
asimptote = două linii care sunt definite ca „tangente la infinitul hiperbolei”, adică o pereche de linii care intersectează hiperbola într-un punct la infinit .

Ecuații

Ecuații carteziene

Hiperbola care intersectează axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și centrat în punct $C(x_{c},y_{c})$ ${\ displaystyle C (x_ {c}, y_ {c})}$ $C (x_ {c}, y_ {c})$ , (astfel tradus) are ecuație

{\frac {\left(x-x_{c}\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-y_{c}\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

{\ displaystyle {\ frac {\ left (x-x_ {c} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (y-y_ {c} \ right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

{\ frac {\ left (x-x_ {c} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (y-y_ {c} \ right) ^ {2} } {b ^ {2}}} = 1.

Dacă aplicăm o rotație a axei de 90 de grade, obținem ecuația:

{\frac {\left(y-y_{c}\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-x_{c}\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

{\ displaystyle {\ frac {\ left (y-y_ {c} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (x-x_ {c} \ right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

{\ frac {\ left (y-y_ {c} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (x-x_ {c} \ right) ^ {2} } {b ^ {2}}} = 1.

În ambele formule $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ se numește semiax transvers sau semiax major; este la jumătate din distanța dintre cele două ramuri; $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ se numește semiaxe non-transversă sau semiaxe minoră. Rețineți că, dacă se utilizează nume de mijloc, $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ poate fi mai mare decât $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ; această inconsecvență este rezolvată de unele texte prin inversarea constantelor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . În acest caz, ecuația hiperbolei care intersectează axa lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este scris ca:

{\frac {\left(x-x_{c}\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-y_{c}\right)^{2}}{b^{2}}}=-1

{\ displaystyle {\ frac {\ left (x-x_ {c} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (y-y_ {c} \ right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = - 1}

{\ frac {\ left (x-x_ {c} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {\ left (y-y_ {c} \ right) ^ {2} } {b ^ {2}}} = - 1

Distanța dintre cele două focare este egală cu $2c$ ${\ displaystyle 2c}$ $2c$ unde este:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

{\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.

Excentricitatea hiperbolei poate fi definită prin:

e={\frac {c}{a}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.

{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {a ^ {2}}}} = {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}.}

e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {{\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {a ^ {2}}}}} = {\ sqrt {1+ {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}.

Tangente la o hiperbolă

Coeficienții unghiulari ai tangențelor la o hiperbolă $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ : ${\frac {(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}}=\pm 1$ ${\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {C}) ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {(y-y_ {C}) ^ {2}} {b ^ { 2}}} = \ pm 1}$ ${\ frac {(x-x_ {C}) ^ {{2}}} {a ^ {{2}}}} - {\ frac {(y-y_ {C}) ^ {{2}}} { b ^ {{2}}}} = \ pm 1$ conduse dintr-un punct $P(x_{P},y_{P})$ ${\ displaystyle P (x_ {P}, y_ {P})}$ $P (x_ {P}, y_ {P})$ externe acesteia se obțin rezolvând următoarea ecuație de gradul doi:

\left(x_{i}^{2}\mp a^{2}\right)m^{2}-2x_{i}y_{i}m+y_{i}^{2}\pm b^{2}=0,

{\ displaystyle \ left (x_ {i} ^ {2} \ mp a ^ {2} \ right) m ^ {2} -2x_ {i} y_ {i} m + y_ {i} ^ {2} \ pm b ^ {2} = 0,}

\ left (x_ {i} ^ {{2}} \ mp a ^ {{2}} \ right) m ^ {{2}} - 2x_ {i} y_ {i} m + y_ {i} ^ {{ 2}} \ pm b ^ {{2}} = 0,

cu $x_{i}=x_{P}-x_{C}$ ${\ displaystyle x_ {i} = x_ {P} -x_ {C}}$ $x_ {i} = x_ {P} -x_ {C}$ Și $y_{i}=y_{P}-y_{C}$ ${\ displaystyle y_ {i} = y_ {P} -y_ {C}}$ $y_ {i} = y_ {P} -y_ {C}$ .

Hiperbola echilaterală

Hiperbola echilaterală cu centrul în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ are ecuație $xy=k$ ${\ displaystyle xy = k}$ ${\ displaystyle xy = k}$ . Cazul general al unei hiperbole echilaterale traduse este descris de un caz particular al așa-numitei funcții omografice a ecuației $y={\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ $y = {\ frac {ax + b} {cx + d}}$ . are centrul în $O\left(-{\frac {d}{c}};{\frac {a}{c}}\right)$ ${\ displaystyle O \ left (- {\ frac {d} {c}}; {\ frac {a} {c}} \ right)}$ $O \ left (- {\ frac {d} {c}}; {\ frac {a} {c}} \ right)$ (centrul funcției omografice). mai mult, asimptotele acestei curbe au ecuație $x=-{\frac {d}{c}}$ ${\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}}}$ ${\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}}}$ (în ceea ce privește asimptota verticală) e $y={\frac {a}{c}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {a} {c}}}$ $y = {\ frac {a} {c}}$ pentru asimptota orizontală.

Ecuații polare

r^{2}=a\sec 2t

{\ displaystyle r ^ {2} = a \ sec 2t}

r ^ {2} = a \ sec 2t

r^{2}=-a\sec 2t

{\ displaystyle r ^ {2} = - a \ sec 2t}

r ^ {2} = - a \ sec 2t

r^{2}=a\csc 2t

{\ displaystyle r ^ {2} = a \ csc 2t}

r ^ {2} = a \ csc 2t

r^{2}=-a\csc 2t

{\ displaystyle r ^ {2} = - a \ csc 2t}

r ^ {2} = - a \ csc 2t

Ecuații parametrice hiperbolice

Ramura dreaptă are ecuații:

{\begin{cases}x=a\cosh s\\y=b\sinh s.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cosh s \\ y = b \ sinh s. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cosh s \\ y = b \ sinh s. \ end {cases}}}

Ramura din stânga are ecuații:

{\begin{cases}x=-a\cosh s\\y=\ \ \ b\sinh s.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = -a \ cosh s \\ y = \ \ \ b \ sinh s. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = -a \ cosh s \\ y = \ \ \ b \ sinh s. \ end {cases}}}

În ambele $s\in (-\infty ,+\infty )$ ${\ displaystyle s \ in (- \ infty, + \ infty)}$ ${\ displaystyle s \ in (- \ infty, + \ infty)}$ și reprezintă sectorul hiperbolic.

Aceste două parametrizări pot fi obținute geometric în felul următor: luăm în considerare toate liniile paralele cu asimptota $y=-{\frac {b}{a}}x$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {b} {a}} x}$ $y = - {\ frac {b} {a}} x$ , excluzând-o. Fiecare linie a acestui fascicul va intersecta cealaltă asimptotă într-un punct generic de coordonate $(at,bt)$ ${\ displaystyle (at, bt)}$ ${\ displaystyle (at, bt)}$ . Un astfel de pachet necorespunzător de linii va avea ecuație $y=-{\frac {b}{a}}x+2bt$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {b} {a}} x + 2bt}$ ${\ displaystyle y = - {\ frac {b} {a}} x + 2bt}$ , cu $t\not =0$ ${\ displaystyle t \ not = 0}$ ${\ displaystyle t \ not = 0}$ . Intersectându-l cu hiperbolă canonică ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ai înțeles $\left(a\left(t+{\frac {1}{4t}}\right),b\left(t-{\frac {1}{4t}}\right)\right)$ ${\ displaystyle \ left (a \ left (t + {\ frac {1} {4t}} \ right), b \ left (t - {\ frac {1} {4t}} \ right) \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (a \ left (t + {\ frac {1} {4t}} \ right), b \ left (t - {\ frac {1} {4t}} \ right) \ right)}$ .

Prin alegere $t={\frac {e^{s}}{2}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {e ^ {s}} {2}}}$ $t = {\ frac {e ^ {s}} {2}}$ noi obținem $(a\cosh s,b\sinh s)$ ${\ displaystyle (a \ cosh s, b \ sinh s)}$ ${\ displaystyle (a \ cosh s, b \ sinh s)}$ , în timp ce plasează $t=-{\frac {e^{-s}}{2}}$ ${\ displaystyle t = - {\ frac {e ^ {- s}} {2}}}$ ${\ displaystyle t = - {\ frac {e ^ {- s}} {2}}}$ al doilea este găsit $(-a\cosh s,b\sinh s)$ ${\ displaystyle (-a \ cosh s, b \ sinh s)}$ ${\ displaystyle (-a \ cosh s, b \ sinh s)}$ .

Ecuația parametrică trigonometrică

La fel ca elipsa, hiperbola are și funcții parametrice trigonometrice. Pentru un punct $P(x,y)$ ${\ displaystyle P (x, y)}$ $P (x, y)$ hiperbola ^[1] sunt:

{\begin{cases}x=a\sec \alpha \\y=b\tan \alpha \end{cases}}\quad \alpha \in {\Bigl (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}\cup {\Bigl (}{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}{\Bigr )}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ sec \ alpha \\ y = b \ tan \ alpha \ end {cases}} \ quad \ alpha \ in {\ Bigl (} - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} {\ Bigr)} \ cup {\ Bigl (} {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {3 \ pi} {2 }} {\ Bigr)}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ sec \ alpha \\ y = b \ tan \ alpha \ end {cases}} \ quad \ alpha \ in {\ Bigl (} - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} {\ Bigr)} \ cup {\ Bigl (} {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {3 \ pi} {2 }} {\ Bigr)}}

.

Pentru $\alpha \in {\Bigl (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ Bigl (} - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} {\ Bigr)}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ Bigl (} - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} {\ Bigr)}}$ avem ramura dreaptă a hiperbolei, în timp ce pentru $\alpha \in {\Bigl (}{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}{\Bigr )}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ Bigl (} {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {3 \ pi} {2}} {\ Bigr)}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in {\ Bigl (} {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {3 \ pi} {2}} {\ Bigr)}}$ îl avem pe cel stâng.

Demonstrație

{\begin{cases}x=a\sec \alpha \\y=b\tan \alpha \end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}x\cos \alpha =a\\y={\dfrac {bx\sin \alpha }{a}}\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}bx\cos \alpha =ba\\bx\sin \alpha =ay\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ sec \ alpha \\ y = b \ tan \ alpha \ end {cases}} \ Longrightarrow {\ begin {cases} x \ cos \ alpha = a \\ y = {\ dfrac {bx \ sin \ alpha} {a}} \ end {cases}} \ Longrightarrow {\ begin {cases} bx \ cos \ alpha = ba \\ bx \ sin \ alpha = ay \ end {cases}} }

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ sec \ alpha \\ y = b \ tan \ alpha \ end {cases}} \ Longrightarrow {\ begin {cases} x \ cos \ alpha = a \\ y = {\ dfrac {bx \ sin \ alpha} {a}} \ end {cases}} \ Longrightarrow {\ begin {cases} bx \ cos \ alpha = ba \\ bx \ sin \ alpha = ay \ end {cases}} }

pătrat și adăugând:

b^{2}x^{2}=b^{2}a^{2}+a^{2}y^{2}\Longrightarrow b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},

{\ displaystyle b ^ {2} x ^ {2} = b ^ {2} a ^ {2} + a ^ {2} y ^ {2} \ Longrightarrow b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2} y ^ {2} = a ^ {2} b ^ {2},}

{\ displaystyle b ^ {2} x ^ {2} = b ^ {2} a ^ {2} + a ^ {2} y ^ {2} \ Longrightarrow b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2} y ^ {2} = a ^ {2} b ^ {2},}

unde ultima expresie este ecuația canonică a hiperbolei.

Spre deosebire de ecuațiile parametrice hiperbolice (care necesită două parametrizări diferite pentru a reprezenta ambele ramuri), folosind ecuația trigonometrică aveți nevoie de o singură parametrizare pentru a putea desena întreaga hiperbolă.

Unghiurile ecuației conice și ecuației parametrice au o legătură:

{y \over x}=\tan \beta ={b \over a}\sin \alpha .

{\ displaystyle {y \ over x} = \ tan \ beta = {b \ over a} \ sin \ alpha.}

{\ displaystyle {y \ over x} = \ tan \ beta = {b \ over a} \ sin \ alpha.}

Ecuația generală a hiperbolilor

Ecuația generală a hiperbolilor cu axă semi-majoră $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ unde focurile sunt plasate într-o poziție generică pe plită și sunt $F_{1}(x_{F_{1}},y_{F_{1}})$ ${\ displaystyle F_ {1} (x_ {F_ {1}}, y_ {F_ {1}})}$ $F_ {1} (x _ {{F_ {1}}}, y _ {{F_ {1}}})$ și $F_{2}(x_{F_{2}},y_{F_{2}})$ ${\ displaystyle F_ {2} (x_ {F_ {2}}, y_ {F_ {2}})}$ $F_ {2} (x _ {{F_ {2}}}, y _ {{F_ {2}}})$ este reprezentată de următoarea ecuație conică:

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.

{\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0.}

Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0.

Parametrii sunt dați de următoarele valori:

A=16a^{2}-4(x_{F_{1}}-x_{F_{2}})^{2}

{\ displaystyle A = 16a ^ {2} -4 (x_ {F_ {1}} - x_ {F_ {2}}) ^ {2}}

{\ displaystyle A = 16a ^ {2} -4 (x_ {F_ {1}} - x_ {F_ {2}}) ^ {2}}

B=-8(x_{F_{1}}-x_{F_{2}})(y_{F_{1}}-y_{F_{2}})

{\ displaystyle B = -8 (x_ {F_ {1}} - x_ {F_ {2}}) (y_ {F_ {1}} - y_ {F_ {2}})}

{\ displaystyle B = -8 (x_ {F_ {1}} - x_ {F_ {2}}) (y_ {F_ {1}} - y_ {F_ {2}})}

C=16a^{2}-4(y_{F_{1}}-y_{F_{2}})^{2}

{\ displaystyle C = 16a ^ {2} -4 (y_ {F_ {1}} - y_ {F_ {2}}) ^ {2}}

{\ displaystyle C = 16a ^ {2} -4 (y_ {F_ {1}} - y_ {F_ {2}}) ^ {2}}

D=4(x_{F_{1}}-x_{F_{2}})(x_{F_{1}}^{2}-x_{F_{2}}^{2}+y_{F_{1}}^{2}-y_{F_{2}}^{2})-16a^{2}(x_{F_{1}}+x_{F_{2}})

{\ displaystyle D = 4 (x_ {F_ {1}} - x_ {F_ {2}}) (x_ {F_ {1}} ^ {2} -x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ { F_ {1}} ^ {2} -y_ {F_ {2}} ^ {2}) - 16th ^ {2} (x_ {F_ {1}} + x_ {F_ {2}})}

{\ displaystyle D = 4 (x_ {F_ {1}} - x_ {F_ {2}}) (x_ {F_ {1}} ^ {2} -x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ { F_ {1}} ^ {2} -y_ {F_ {2}} ^ {2}) - 16th ^ {2} (x_ {F_ {1}} + x_ {F_ {2}})}

E=4(y_{F_{1}}-y_{F_{2}})(x_{F_{1}}^{2}-x_{F_{2}}^{2}+y_{F_{1}}^{2}-y_{F_{2}}^{2})-16a^{2}(y_{F_{1}}+y_{F_{2}})

{\ displaystyle E = 4 (y_ {F_ {1}} - y_ {F_ {2}}) (x_ {F_ {1}} ^ {2} -x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ { F_ {1}} ^ {2} -y_ {F_ {2}} ^ {2}) - 16th ^ {2} (y_ {F_ {1}} + y_ {F_ {2}})}

{\ displaystyle E = 4 (y_ {F_ {1}} - y_ {F_ {2}}) (x_ {F_ {1}} ^ {2} -x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ { F_ {1}} ^ {2} -y_ {F_ {2}} ^ {2}) - 16th ^ {2} (y_ {F_ {1}} + y_ {F_ {2}})}

F=4(x_{F_{1}}^{2}+y_{F_{1}}^{2})(x_{F_{2}}^{2}+y_{F_{2}}^{2})-(x_{F_{1}}^{2}+x_{F_{2}}^{2}+y_{F_{1}}^{2}+y_{F_{2}}^{2}-4a^{2})^{2}

{\ displaystyle F = 4 (x_ {F_ {1}} ^ {2} + y_ {F_ {1}} ^ {2}) (x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ {F_ {2} } ^ {2}) - (x_ {F_ {1}} ^ {2} + x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ {F_ {1}} ^ {2} + y_ {F_ {2} } ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {2}}

{\ displaystyle F = 4 (x_ {F_ {1}} ^ {2} + y_ {F_ {1}} ^ {2}) (x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ {F_ {2} } ^ {2}) - (x_ {F_ {1}} ^ {2} + x_ {F_ {2}} ^ {2} + y_ {F_ {1}} ^ {2} + y_ {F_ {2} } ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {2}}

Aceste ecuații sunt obținute din definiția metrică a hiperbolei: locusul geometric al punctelor planului astfel încât valoarea absolută a diferenței distanțelor de la două puncte fixe ( $F_{1}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ Și $F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ $F_ {2}$ ) este constantă și egală cu $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ .

\left|{\sqrt {(x-x_{F_{1}})^{2}+(y-y_{F_{1}})^{2}}}-{\sqrt {(x-x_{F_{2}})^{2}+(y-y_{F_{2}})^{2}}}\right|=2a

{\ displaystyle \ left | {\ sqrt {(x-x_ {F_ {1}}) ^ {2} + (y-y_ {F_ {1}}) ^ {2}}} - {\ sqrt {(x -x_ {F_ {2}}) ^ {2} + (y-y_ {F_ {2}}) ^ {2}}} \ right | = 2a}

{\ displaystyle \ left | {\ sqrt {(x-x_ {F_ {1}}) ^ {2} + (y-y_ {F_ {1}}) ^ {2}}} - {\ sqrt {(x -x_ {F_ {2}}) ^ {2} + (y-y_ {F_ {2}}) ^ {2}}} \ right | = 2a}

Din ecuația anterioară cele două rădăcini sunt eliminate cu două pătrate și în cele din urmă coeficienții sunt egaliți cu cei ai ecuației generale a conicelor. În această definiție, pentru a obține în mod eficient o hiperbolă nedegenerată, trebuie să se solicite acest lucru $0<2a<d(F_{1},F_{2})$ ${\ displaystyle 0 <2a <d (F_ {1}, F_ {2})}$ ${\ displaystyle 0 <2a <d (F_ {1}, F_ {2})}$ . Pentru $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ se obține axa segmentului $F_{1}F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ , în timp ce pentru $a=d(F_{1},F_{2})$ ${\ displaystyle a = d (F_ {1}, F_ {2})}$ ${\ displaystyle a = d (F_ {1}, F_ {2})}$ se identifică întregul plan constând din linia dreaptă care trece $F_{1}F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ minus segmentul privat al extremelor $F_{1}F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ .