Excentricitate (matematică)

Excentricitatea în matematică este un parametru numeric non-negativ $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ care caracterizează secțiunile conice, cu excepția cazului în care similitudine : elipse pentru $e<1$ ${\ displaystyle e <1}$ ${\ displaystyle e <1}$ , pilde pentru $e=1$ ${\ displaystyle e = 1}$ ${\ displaystyle e = 1}$ , hiperbolă pentru $e>1$ ${\ displaystyle e> 1}$ ${\ displaystyle e> 1}$ . Excentricitatea poate fi interpretată ca o măsură a cât de departe este o secțiune conică de a fi o circumferință.

Excentricitatea poate fi definită ca un parametru care intervine în construcția unei conici sau ca o funcție a unghiurilor conului și a planului care îl taie, în raport cu axa de rotație a conului. Deoarece „tipul” conicului ( clasa sa de similitudine ) și caracteristicile sale sunt definite ca o funcție a excentricității, acest lucru poate fi derivat indirect din formule.

Definiție

Construcție geometrică

Construcția geometrică a parabolei (e = 1)

Setați o linie dreaptă în plan $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ( regizor ) și un punct $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ( foc ) extern a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , o conică de excentricitate $e>0$ ${\ displaystyle e> 0}$ ${\ displaystyle e> 0}$ este locul punctelor $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ care au o distanță de focalizare egală cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ de ori distanța lor de regizor:

d(P,F)=e\cdot d(P,r).

{\ displaystyle d (P, F) = e \ cdot d (P, r).}

{\ displaystyle d (P, F) = e \ cdot d (P, r).}

Secțiune conică

Setați un con circular circular de deschidere în spațiu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ (unghiul dintre axa de rotație și linia generatoare a conului) și un plan care nu trece prin vârf, care formează un unghi $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ cu axa de rotație a conului; excentricitatea secțiunii conice este definită ca:

e={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }},\quad 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \beta \leq {\frac {\pi }{2}}.

{\ displaystyle e = {\ frac {\ cos \ beta} {\ cos \ alpha}}, \ quad 0 <\ alpha <{\ frac {\ pi} {2}}, \ 0 \ leq \ beta \ leq { \ frac {\ pi} {2}}.}

{\ displaystyle e = {\ frac {\ cos \ beta} {\ cos \ alpha}}, \ quad 0 <\ alpha <{\ frac {\ pi} {2}}, \ 0 \ leq \ beta \ leq { \ frac {\ pi} {2}}.}

Clasificare

Elipsă

Pentru $e<1$ ${\ displaystyle e <1}$ ${\ displaystyle e <1}$ , adică $\beta >\alpha$ ${\ displaystyle \ beta> \ alpha}$ $\ beta> \ alfa$ , avem o elipsă, care are $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ca unul dintre cele două focuri.

Scrierea ecuației elipsei în formă canonică

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1,}

\ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1,

excentricitate $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , axa majoră $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ , axa minoră $2b$ ${\ displaystyle 2b}$ $2b$ și distanța interfeței $2c$ ${\ displaystyle 2c}$ $2c$ sunt legate între ele prin formule

a^{2}=b^{2}+c^{2},

{\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2},}

{\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2},}

b^{2}=(1-e^{2})a^{2},

{\ displaystyle b ^ {2} = (1-e ^ {2}) a ^ {2},}

{\ displaystyle b ^ {2} = (1-e ^ {2}) a ^ {2},}

c=ea.

{\ displaystyle c = ea.}

{\ displaystyle c = ea.}

Prin inversarea formulelor, excentricitatea poate fi exprimată ca

e={\sqrt {1-\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},

{\ displaystyle e = {\ sqrt {1- \ left ({\ tfrac {b} {a}} \ right) ^ {2}}},}

{\ displaystyle e = {\ sqrt {1- \ left ({\ tfrac {b} {a}} \ right) ^ {2}}},}

e={\frac {c}{a}}.

{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}.}

e = {\ frac {c} {a}}.

Prin urmare, excentricitatea oferă o măsură a cât de „zdrobită” este elipsa, deși într-un mod mai puțin direct decât raportul $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ între arborii de transmisie. În special pentru $e=0$ ${\ displaystyle e = 0}$ ${\ displaystyle e = 0}$ , adică $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ , elipsa devine o circumferință (doar ca secțiune conică: cu construcția geometrică se obține doar punctul $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ).

Parabolă

Pentru $e=1$ ${\ displaystyle e = 1}$ ${\ displaystyle e = 1}$ , adică $\beta =\alpha$ ${\ displaystyle \ beta = \ alpha}$ $\ beta = \ alfa$ primești o parabolă având foc $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și director $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ : este locusul punctelor echidistant de la $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și din $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Hiperbolă

Pentru $e>1$ ${\ displaystyle e> 1}$ ${\ displaystyle e> 1}$ , adică $\beta <\alpha$ ${\ displaystyle \ beta <\ alpha}$ $\ beta <\ alpha$ , unul are o hiperbolă, unul dintre ale cărui două focare este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

Scrierea ecuației hiperbolei în formă canonică

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1,

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1,}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1,}

cu asimptote

y=\pm {\frac {b}{a}}x,

{\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} x,}

{\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} x,}

excentricitate $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , distanța dintre vârfuri $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ , coeficienții unghiulari $\pm b/a$ ${\ displaystyle \ pm b / a}$ ${\ displaystyle \ pm b / a}$ a asimptotelor și a distanței interfocale $2c$ ${\ displaystyle 2c}$ $2c$ sunt legate între ele prin formule

a^{2}+b^{2}=c^{2},\qquad b^{2}=(e^{2}-1)a^{2},\qquad c=ea.

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}, \ qquad b ^ {2} = (e ^ {2} -1) a ^ {2}, \ qquad c = ea. }

a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}, \ qquad b ^ {2} = (e ^ {2} -1) a ^ {2}, \ qquad c = ea.

Prin inversarea formulelor, excentricitatea poate fi exprimată ca

e={\sqrt {1+\left({\tfrac {b}{a}}\right)^{2}}},\qquad e={\frac {c}{a}}.

{\ displaystyle e = {\ sqrt {1+ \ left ({\ tfrac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}, \ qquad e = {\ frac {c} {a}}.}

e = {\ sqrt {1+ \ left ({\ tfrac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}, \ qquad e = {\ frac {c} {a}}.

Prin urmare, excentricitatea oferă o măsură a cât de mult hiperbola este „zdrobită”, deși într-un mod mai puțin direct decât coeficienții unghiulari $\pm a/b$ ${\ displaystyle \ pm a / b}$ ${\ displaystyle \ pm a / b}$ a asimptotelor.

În special pentru $e={\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle e = {\ sqrt {2}}}$ $e = {\ sqrt {2}}$ , adică atunci când hiperbola este echilaterală (adică $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ ), acest lucru este posibil numai dacă

{\cos \alpha }={\frac {\cos \beta }{\sqrt {2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}},

{\ displaystyle {\ cos \ alpha} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ sqrt {2}}} \ leq {\ frac {1} {\ sqrt {2}}},}

{\ displaystyle {\ cos \ alpha} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ sqrt {2}}} \ leq {\ frac {1} {\ sqrt {2}}},}

adică numai dacă ${\alpha }\geq {\frac {\pi }{4}}$ ${\ displaystyle {\ alpha} \ geq {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ alpha} \ geq {\ frac {\ pi} {4}}}$ , din punct de vedere geometric, acest lucru apare numai atunci când unghiul format de secțiunea axială a conului depășește un unghi drept.