Bile de Dandelin
În geometrie, o secțiune conică nedegenerată, o figură considerată ca fiind obținută din intersecția unui plan cu un con, are una sau două sfere Dandelin caracterizate prin proprietatea:
- o sferă Dandelin este tangentă atât la plan cât și la con.
Fiecare secțiune conică nedegenerată are o sferă Dandelin asociată cu fiecare dintre cele două focare sau focalizarea sa unică.
- O elipsă are două sfere Dandelin, ambele tangente la același pas al conului.
- O hiperbolă are două sfere Dandelin care ating părțile opuse ale conului.
- O parabolă are o singură sferă Dandelin.
Teorema lui Dandelin
Interesul pentru sferele Dandelin provine din următoarea teoremă:
- punctul în care o sferă atinge planul este un focar al secțiunii conice.
Dovadă: Luați în considerare ilustrația care prezintă un plan care intersectează un con într-o elipsă și care arată, de asemenea, cele două sfere Dandelin. Fiecare sferă atinge conul în punctele unei circumferințe. Fiecare sferă atinge planul într-un punct. Notăm aceste două puncte cu F 1 și F 2 . Fie P un punct generic pe elipsă. Propunem să dovedim că suma distanțelor d ( F 1 , P ) + d ( F 2 , P ) rămâne constantă pe măsură ce punctul P se mișcă de-a lungul curbei. Linia care trece prin P și vârful conului intersectează cele două cercuri în două puncte pe care le notăm cu P 1 și P 2 . Când P se mișcă pe elipsă, P 1 și P 2 se mișcă pe o circumferință. Distanța dintre F i și P este egală cu distanța dintre P i și P , deoarece ambele segmente aparțin liniilor tangente aceleiași sfere . În consecință, suma distanțelor d ( F 1 , P ) + d ( F 2 , P ) este egală cu suma distanțelor d ( P 1 , P ) + d ( P 2 , P ). lungimea segmentului dintre P 1 și P 2 . Deoarece P este pe linia pentru P 1 și P 2 , suma anterioară este egală cu ( P 1 , P 2 ) și aceasta rămâne constantă deoarece P variază pe elipsă; aceasta arată că F i sunt focarele elipsei.
Acest argument poate fi adaptat la hiperbole și parabole considerate intersecții ale unui plan cu un con. O altă potrivire funcționează pentru o elipsă obținută ca intersecție a unui plan cu un cilindru circular drept.
Consecințele teoremei și dovezii acesteia
Dacă, așa cum se face adesea, definiția elipsei se presupune a fi locusul punctelor P astfel încât d ( F 1 , P ) + d ( F 2 , P ) = o constantă pozitivă, atunci argumentul anterior demonstrează că Intersecția unui plan cu un con este doar o elipsă. Că intersecția planului cu conul este simetrică față de axa segmentului având ca capete F 1 și F 2 poate să nu fie intuitivă, dar argumentul anterior îl clarifică.
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre sferele Dandelin
linkuri externe
- Pagina Dandelin Spheres de Hop David , pe clowder.net .
- Sferele Dandelin în MathWorld
- Sferele lui Dandelin , pagina Academiei de matematică
- Applet Java JDandelin , pe un site dedicat „prelegerii pierdute” a lui Richard Feynman
