Teorema lui Dandelin

În geometrie , conicele ( elipsa , parabola și hiperbola ) definite ca secțiuni plane ale unui con , sunt studiate inițial în spațiu ca curbe „solide”. Cu toate acestea, cele mai utilizate definiții sunt cele ale geometriei plane.

Legătura simplă și sugestivă dintre teoria planului și teoria „solidă” a fost stabilită în 1822 de matematicianul franco-belgian Germinal Pierre Dandelin .

În acest sens, reamintim sferele Dandelin , care ne permit să analizăm mai detaliat acest link.

Bile de Dandelin

Același subiect în detaliu: Sferele Dandelin .

O secțiune conică nedegenerată, cifră obținută din intersecția unui plan cu un con, are una sau două sfere Dandelin caracterizate prin proprietatea:

O sferă Dandelin atinge fără a intersecta atât planul, cât și conul.

Fiecare secțiune conică are o sferă Dandelin asociată cu fiecare dintre focarele sale.

O elipsă are două sfere Dandelin, ambele tangente la același pas al conului.
O hiperbolă are două sfere Dandelin care ating părțile opuse ale conului.
O parabolă are o singură sferă Dandelin.

Interesul pentru sferele Dandelin derivă din faptul că o demonstrație elegantă a matematicianului belgian Dandelin este cunoscută a echivalenței dintre definiția conicii dată de Apollonius și definiția conicii ca proprietate locus geometrică satisfăcătoare a unui caracter metric. Importanța dovezii acestei teoreme nu poate fi trecută cu vederea, deoarece este posibil să vorbim despre conici și să le studiem în timp ce rămânem în plan.

Teorema lui Dandelin pe elipsă

Construcția geometrică a focarelor unei conice (considerată ca o secțiune plană a unui con rotund nedefinit).

Focurile elipsei, obținute prin intersecția unui con rotund cu un plan, sunt punctele de contact ale celor două sfere tangente la plan și tangente (intern) la suprafața conică.

Dovadă: Luați în considerare ilustrația care descrie un plan care intersectează un con într-o elipsă și prezintă cele două sfere Dandelin. Fie g orice generatoare a conului și să fie:

P punctul în care g taie elipsa,
P 'punctul în care g taie circumferința de contact cu conul sferei de centru O' tangentă în F 'la plan,
P "punctul în care g taie circumferința de contact cu conul sferei de centru O" tangentă în F "la plan.

Din construcție, este evident că punctul P este exterior celor două sfere . Cele două segmente PF 'și PP' sunt egale deoarece sunt segmente tangente conduse de la un punct extern la aceeași sferă. În mod similar, va fi și PF "= PP". Adăugând membru la membru cele două egalități găsite avem relația:

PF '

+

${\ displaystyle +}$ $+$ PF "= P'P" = constantă .

Ceea ce constituie, de fapt, definiția elipsei considerată ca locusul punctelor planului pentru care suma distanțelor de la două puncte fixe numite focare este constantă.

În mod similar, se poate observa că Dandelin nu numai că a dovedit echivalența dintre teoria solidelor și teoria planului elipsei, ci și a hiperbolei și parabolei. Să analizăm cazul demonstrației focarelor hiperbolei:

Teorema lui Dandelin asupra hiperbolei

Focarele hiperbolei, obținute prin intersecția unui con rotund cu un plan, sunt punctele de contact ale celor două sfere tangente la plan și tangente (intern) la suprafața conică.

Dovadă: Luați în considerare ilustrația care descrie un plan care intersectează un con într-o hiperbolă și prezintă cele două sfere Dandelin. Fie g orice generatoare a conului și să fie:

P punctul în care g taie hiperbola,
P 'punctul în care g taie circumferința de contact cu conul sferei de centru O' tangentă în F 'la plan,
P "punctul în care g taie circumferința de contact cu conul sferei de centru O" tangentă în F "la plan.

Din construcție, este evident că punctul P este exterior celor două sfere . Cele două segmente PF 'și PP' sunt egale deoarece sunt segmente tangente conduse de la un punct extern la aceeași sferă. În mod similar, va fi și PF "= PP". Scăzând membru cu membru cele două egalități găsite avem relația:

PF '

-

${\ displaystyle -}$ $-$ PF "= P'P - P''P = constantă

Ceea ce constituie, de fapt, definiția hiperbolei considerată ca locusul punctelor planului pentru care diferența distanțelor față de două puncte fixe numite focare este constantă.

Să analizăm acum cazul dovezii de foc a parabolei:

Teorema lui Dandelin pe parabolă

Focusul parabolei, obținut prin intersecția unui con rotund cu un plan, este punctul de contact al sferei tangente la plan și tangente (intern) la suprafața conică. Directrixul parabolei este intersecția planului menționat mai sus cu cea în care se află circumferința de contact dintre con și sferă.

Dovadă: Luați în considerare ilustrația care descrie un plan care intersectează un con într-o parabolă și prezintă o sferă Dandelin. Fie g orice generatoare a conului și să fie:

V vârful parabolei,
A, punctul de intersecție dintre direcția paralelă cu planul secant și circumferința de contact dintre con și sferă,
P punctul în care g taie parabola,
P 'punctul în care g întâlnește circumferința de contact dintre con și sferă,
P "proiecția lui P pe directrice.

Din construcție, este evident că punctul P este extern sferei . Prin urmare, pentru proprietatea cunoscută a tangențelor la o sferă condusă dintr-un punct extern, aceasta va fi:

PP '= PF.

Mai mult, cele trei puncte A, P 'și P "sunt aliniate pe măsură ce se află pe intersecția planului în care circumferința de contact dintre con și sferă se află cu planul determinat de cele două linii AV și PP" (ambele paralele la axa parabolei). Din construcție se observă că cele două triunghiuri AVP 'și P'PP "sunt similare și, din moment ce primul este isoscel, al doilea va fi și el. Prin urmare, vom avea:

PP '= PP ".

Proprietatea tranzitivă, aplicată celor două egalități găsite, ne permite să concluzionăm că va fi:

PF = PP "

relație care constituie, de fapt, definiția parabolei ca locus al punctelor planului echidistant de la un punct fix numit focus și de la o linie fixă numită directrix.

Observații

În concluzie, din analiza dovezilor teoremei lui Dandelin asupra hiperbolei și parabolei, se poate observa că:

demonstrația focarelor hiperbolei este analogă cu cea a elipsei, cu excepția faptului că în loc să adăugați egalitățile găsite, este necesar să le scădem, obținându-se astfel definiția clasică a hiperbolei ;
demonstrarea focalizării parabolei, pe de altă parte, necesită încă câteva observații asupra figurii pentru a obține definiția clasică a unei parabole .

O dovadă unificată a teoremei lui Dandelin

O definiție compactă a secțiunii conice (nedegenerată) se referă la punctele unui plan care se află într-o anumită relație cu un punct specific numit focalizare și o linie dreaptă specifică care nu trece prin focalizarea numită directoare : se numește secțiunea conică definită de pereche (focus, directrix) locusul punctelor pentru care relația dintre distanța de la focus și distanța de la directrix este constantă. Echivalența dintre această definiție și cea a intersecției unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful său este dată de o formulare validă pentru orice conică a teoremei lui Dandelin .

Demonstrație

Să considerăm un con circular circular nedefinit K cu vârful V și un plan de intersecție Π care nu trece prin V ; noi sunam:

$\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ conica $K\cap \Pi$ ${\ displaystyle K \ cap \ Pi}$ $K \ cap \ Pi$ ;
$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ unghiul format de o generatoare a conului cu axa sa;
$\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ unghiul acut pe care îl formează planul de intersecție cu axa conului.

Considerăm S una dintre cele două sfere Dandelin tangente la con și la Π sau singura sferă Dandelin dacă este $\alpha =\beta$ ${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ $\ alpha = \ beta$ . Numim F punctul în care sfera este tangentă la planul de intersecție, C circumferința $K\cap S$ ${\ displaystyle K \ cap S}$ $K \ cap S$ și d este linia de intersecție a lui Π și planul care conține C.

Ne referim la următoarea figură care, în acest caz, se referă la cazul unei elipse. Pentru o mai mare claritate, am evitat vizualizarea celei de-a doua sfere a lui Dandelin și a conului am desenat doar câteva generații.

Propunem să arătăm că F reprezintă un (focalizarea) conicii Γ și că linia d este directoarea sa. Mai concret, demonstrăm că deține următoarea proprietate:

{\frac {PF}{PD}}=e

{\ displaystyle {\ frac {PF} {PD}} = e}

{\ frac {PF} {PD}} = e

.

unde P este orice punct al conicii, PD denotă perpendiculară pe dreapta d care trece prin punctul P și lungimea acestuia, adică distanța punctului P de linia d și e este o constantă (care reprezintă excentricitatea ), astfel încât, prin definiție, setul de puncte P să constituie o secțiune conică. Dovada pe care o vedem acum se aplică tuturor celor trei tipuri de conice.

Sunt:

Q punctul de intersecție dintre linia dreaptă care trece prin P și paralelă cu axa conului cu planul lui C ;
A punctul de intersecție dintre generatoarea care trece prin P și circumferința C.

PA și PF reprezintă, prin urmare, două segmente tangente la sferă, conduse de același punct P și, prin urmare, au aceeași lungime:

PA~=~PF

{\ displaystyle PA ~ = ~ PF}

PA ~ = ~ PF

.

În triunghiul dreptunghiular PQA avem:

PQ~=~PA\cos \alpha

{\ displaystyle PQ ~ = ~ PA \ cos \ alpha}

PQ ~ = ~ PA \ cos \ alpha

în timp ce în triunghiul unghiular PQD ,

PQ~=~PD\cos \beta

{\ displaystyle PQ ~ = ~ PD \ cos \ beta}

PQ ~ = ~ PD \ cos \ beta

.

Prin combinarea celor trei ecuații anterioare și simplificarea, obținem:

PA\cos \alpha ~=~PD\cos \beta

{\ displaystyle PA \ cos \ alpha ~ = ~ PD \ cos \ beta}

PA \ cos \ alpha ~ = ~ PD \ cos \ beta

PF\cos \alpha ~=~PD\cos \beta

{\ displaystyle PF \ cos \ alpha ~ = ~ PD \ cos \ beta}

PF \ cos \ alpha ~ = ~ PD \ cos \ beta

prin urmare

{\frac {PF}{PD}}={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}=:e

{\ displaystyle {\ frac {PF} {PD}} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ cos \ alpha}} =: e}

{\ frac {PF} {PD}} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ cos \ alpha}} =: și

.

Acest lucru coincide tocmai cu definiția conicii ca locus al punctelor pe un plan pentru care relația dintre distanța unui punct generic de focar și directoare este constantă și coincide cu excentricitatea sa.

Elemente conexe

Bile de Dandelin

linkuri externe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică