Director

În geometria descriptivă , conducătorul este o curbă utilizată pentru construcția geometrică a altor curbe și suprafețe; definiția exactă variază în funcție de tipul de construcție utilizat.

Lider și secțiuni conice

Același subiect în detaliu: secțiunea conică .

Directrix (linia albastră) a unei parabole: distanța dintre orice punct P , aparținând parabolei și directrixul este egală cu distanța dintre focar și punctul P în sine .

Cel mai cunoscut regizor intervine în construcția secțiunilor conice . Aceste curbe pot fi definite ca locusul punctelor pentru care raportul dintre distanța de la un punct fix ( focalizare ) și distanța de la o linie dreaptă, numită directrix, își asumă o valoare constantă, numită excentricitate . Valoarea excentricității $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ caracterizează secțiunea conică, conform următoarei scheme:

Derivarea ecuației canonice a secțiunilor conice

Focalizare fixă $F(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle F (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle F (x_ {0}, y_ {0})}$ și directorul generic $r:\,ax+by+c=0$ ${\ displaystyle r: \, ax + by + c = 0}$ ${\ displaystyle r: \, ax + by + c = 0}$ , secțiunea conică este definită ca locusul punctelor $P(x,y)$ ${\ displaystyle P (x, y)}$ $P (x, y)$ pentru care se aplică:

{\frac {d(P,F)}{d(P,r)}}=e\iff d(P,F)=e\cdot d(P,r)

{\ displaystyle {\ frac {d (P, F)} {d (P, r)}} = e \ iff d (P, F) = e \ cdot d (P, r)}

{\ displaystyle {\ frac {d (P, F)} {d (P, r)}} = e \ iff d (P, F) = e \ cdot d (P, r)}

,

unde este $d(P,F)$ ${\ displaystyle d (P, F)}$ ${\ displaystyle d (P, F)}$ Și $d(P,r)$ ${\ displaystyle d (P, r)}$ ${\ displaystyle d (P, r)}$ reprezintă distanța respectivă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de la foc și regizor. Folosind formulele binecunoscute ale geometriei analitice pentru distanța unui punct , obținem:

{\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}=e{\frac {|ax+by+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ left (x-x_ {0} \ right) ^ {2} + \ left (y-y_ {0} \ right) ^ {2}}} = e {\ frac {| ax + de + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ left (x-x_ {0} \ right) ^ {2} + \ left (y-y_ {0} \ right) ^ {2}}} = e {\ frac {| ax + de + c |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}

.

Prin pătrarea ecuației de mai sus, simplificarea și colectarea termenilor comuni puterilor lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ primesti:

$\left(1-e^{2}{\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right)x^{2}-e^{2}{\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}xy+\left(1-e^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right)y^{2}+-2\left(x_{0}+e^{2}{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\right)x-2\left(y_{0}+e^{2}{\frac {bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)y+\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-e^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right)=0$ ${\ displaystyle \ left (1-e ^ {2} {\ frac {a ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) x ^ {2} -e ^ {2 } {\ frac {2ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}} xy + \ left (1-e ^ {2} {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) y ^ {2} + - 2 \ left (x_ {0} + e ^ {2} {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}} } \ right) x-2 \ left (y_ {0} + e ^ {2} {\ frac {bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) y + \ left (x_ { 0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} -e ^ {2} {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) = 0 }$ ${\ displaystyle \ left (1-e ^ {2} {\ frac {a ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) x ^ {2} -e ^ {2 } {\ frac {2ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}} xy + \ left (1-e ^ {2} {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) y ^ {2} + - 2 \ left (x_ {0} + e ^ {2} {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}} } \ right) x-2 \ left (y_ {0} + e ^ {2} {\ frac {bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) y + \ left (x_ { 0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} -e ^ {2} {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) = 0 }$ .

Coeficienții pot fi redenumiți pentru a scrie ecuația generală a conicelor :

{\begin{aligned}&A=1-e^{2}{\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\&B=-e^{2}{\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}\\&C=1-e^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\&D=-2\left(x_{0}+e^{2}{\frac {ac}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\&E=-2\left(y_{0}+e^{2}{\frac {bc}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\&F=\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+e^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & A = 1-e ^ {2} {\ frac {a ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & B = -e ^ {2} {\ frac {2ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & C = 1-e ^ {2} {\ frac {b ^ {2}} {a ^ { 2} + b ^ {2}}} \\ & D = -2 \ left (x_ {0} + e ^ {2} {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \ \ & E ​​= -2 \ left (y_ {0} + e ^ {2} {\ frac {bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \\ & F = \ left (x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + e ^ {2} {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2 }}} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & A = 1-e ^ {2} {\ frac {a ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & B = -e ^ {2} {\ frac {2ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \\ & C = 1-e ^ {2} {\ frac {b ^ {2}} {a ^ { 2} + b ^ {2}}} \\ & D = -2 \ left (x_ {0} + e ^ {2} {\ frac {ac} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \ \ & E ​​= -2 \ left (y_ {0} + e ^ {2} {\ frac {bc} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) \\ & F = \ left (x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + e ^ {2} {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2 }}} \ right) \ end {align}}}

Tipologia secțiunii conice este determinată de forma pătratică asociată cu termenii de gradul doi al ecuației.

Discriminantul formei pătratice este $\Delta =B^{2}-4AC=4(e^{2}-1)$ ${\ displaystyle \ Delta = B ^ {2} -4AC = 4 (e ^ {2} -1)}$ ${\ displaystyle \ Delta = B ^ {2} -4AC = 4 (e ^ {2} -1)}$ și avem asta:

$Δ$ $<$ $0$ {\ displaystyle \ Delta <0} $\ Delta <0$
- $e=0\implies$ ${\ displaystyle e = 0 \ implică}$ ${\ displaystyle e = 0 \ implică}$ curba este o circumferință
- $0<e<1\implies$ ${\ displaystyle 0 <e <1 \ implică}$ ${\ displaystyle 0 <e <1 \ implică}$ curba este o elipsă
$\Delta =0\iff e=1\implies$ ${\ displaystyle \ Delta = 0 \ if e = 1 \ implică}$ ${\ displaystyle \ Delta = 0 \ if e = 1 \ implică}$ curba este o parabolă
$\Delta >0\iff e>1\implies$ ${\ displaystyle \ Delta> 0 \ if e> 1 \ implică}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0 \ if e> 1 \ implică}$ curba este o hiperbolă

Conducător și suprafețe conduse

Același subiect în detaliu: suprafața guvernată .

O linie care se mișcă de-a lungul unei curbe date generează o suprafață reglată; curba de pornire se numește curba de bază sau curba de bază ; suprafața poate fi parametrizată ca:

\mathbf {s} (u,v)=\mathbf {p} (u)+v\,\mathbf {q} (u)

{\ displaystyle \ mathbf {s} (u, v) = \ mathbf {p} (u) + v \, \ mathbf {q} (u)}

{\ displaystyle \ mathbf {s} (u, v) = \ mathbf {p} (u) + v \, \ mathbf {q} (u)}

,

unde este $u\in I\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u \ in I \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u \ in I \ subseteq \ mathbb {R}}$ , $v\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R}}$ sunt parametrii reali, $\mathbf {s}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ , $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ , $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ mathbf {q}}$ sunt funcții cu valoare vectorială. Liderul este curba descrisă de $\mathbf {p} (u)$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} (u)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} (u)}$ .

Dacă conducătorul este o curbă închisă și linia are o direcție inversată după ce parcurge un întreg circuit, atunci suprafața este neorientabilă .

Elemente conexe

Foc (geometrie)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică