Geometrie descriptivă

Cazuri de intersecție între suprafețele de rotație.

Geometria descriptivă este știința care permite, prin anumite construcții geometrice , să reprezinte fără echivoc, pe unul sau mai multe planuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale. Reprezentarea poate avea ca scop vizualizarea obiectelor deja existente, ca în relieful (mai ales arhitectural), obiectele concepute mental, ca și în proiectarea artefactelor tridimensionale. ^[1]

Metodele de reprezentare (de perspectivă , axonometrie și Monge ) ale geometriei descriptive se bazează în principal pe două operații fundamentale, numite operații de proiecție și secțiuni . ^[2] Axiomele geometriei descriptive elementare sunt în mod substanțial postulatele lui Euclid , cu adăugarea noțiunii de entitate necorespunzătoare ( punct , linie și plan ), conform unei construcții similare cu cea a geometriei proiective .

Istorie

Gaspard Monge

De la vechea civilizație egipteană , o utilizare corectă a proiecțiilor ortogonale ^[3] a fost demonstrată prin descoperirea de desene care ilustrează învelișul eliptic al mormintelor , chiar dacă nu sunt corelate între ele, deoarece va fi doar mai târziu datorită lui Gaspard Monge . Între primul secol î.Hr.și primul secol d.Hr. Vitruvius , în tratatele sale intitulate De architectura , a folosit planurile și elevările pe care le-a numit icnografii și ortografii ca elemente de reprezentare a clădirilor.

În secolul al XV-lea , în opera lui Jacopo Barozzi da Vignola Cele cinci ordine ale arhitecturii au fost folosite ceea ce a devenit cunoscut sub numele de metoda Monge . În aceeași perioadă, Alberto Dürer a definit câteva proceduri grafice referitoare la conice, cum ar fi secțiunile plane ale unui con cvadric și studiul perspectivei .

În 1600, cărturarii Girard Desargues și Guarino Guarini au pus bazele nașterii disciplinei geometriei descriptive, dar abia în 1799 a fost publicată cartea Descriptive geometries în care sunt plasate regulile fundamentale, menite să reprezinte pe același plan (planul menționat). proiecție) obiecte în trei dimensiuni .

În prezent, geometria descriptivă include geometria proiectivă ca parte integrantă, ale cărei studii cele mai semnificative și concludente se datorează lui Jean Victor Poncelet , un discipol al lui Monge.

Concepte

Același subiect în detaliu: Glosar de geometrie descriptivă .

Unele concepte fundamentale ale geometriei descriptive sunt:

definirea entităților geometrice fundamentale ( punct , linie dreaptă , plan, direcție și poziție ).
postulate de apartenență : a unui punct la o linie ; a unei linii către o suprafață ; a unui punct spre o suprafață.
Incidența : între două linii drepte , între o linie dreaptă și un plan și între două planuri; sau mai general între linie și suprafețe.
Condiții de paralelism și perpendicularitate ca cazuri limitative de incidență
Condițiile de tangență (în special tangența dintre conice și tangența dintre cvadrici ).
bijectivul de corespondență , care perspectivitate, omologie , omologie inversă , perspectivă de afinitate , afinitate , dilatare , dilatare inversă și implicare .

Metodele de reprezentare

Ele sunt clasificate, în general, în funcție de entitatea centrului de proiecție stabilit. Când este un punct adecvat, vorbim despre „proiecții centrale”, altfel despre „proiecții paralele”, atunci când acest centru de proiecție este un punct necorespunzător.

proiecții centrale (conice)
- metoda perspectivei .
  - Restituirea potențială (sau returnarea fotografiei).
- teoria umbrelor cu propria sursă (de mulți nu este considerată o „teorie”, deoarece este întotdeauna o proiecție).
proiecții paralele (cilindrice)
- proiecții ortogonale
  - metoda axonometriei (izometrică, dimetrică și trimetrică)
  - metoda Monge
  - metoda proiecțiilor citate .
- proiecții oblice
  - metoda axonometrică (cavaliera și monometrică)
- teoria umbrelor cu sursă necorespunzătoare

Probleme și construcții

conexiune tangențială între suprafețele torice

Unele probleme cu care se ocupă geometria descriptivă sunt:

Probleme de incidență , între linii și suprafețe și între suprafețe.
Probleme de măsurare a distanțelor liniare (cum ar fi construcția geometrică care permite determinarea distanței minime a unui punct de la un plan posibil degenerat) și a celor unghiulare (cum ar fi unghiul dintre dreapta și plan ).
construcții geometrice și modelare 3D
- uneori
- a helicoizilor
- a suprafețelor conduse
- a suprafețelor torice
- helicoizi
- conoid
- Conexiune tangențială între conicitate , Quadrics și torics (vezi figura de pe partea)
- Dezvoltare solidă
- Aproximare poliedrică a unei suprafețe curbate

Curbele geometrice

Conice : obținute ca secțiuni plane ale unui con cvadric (punct, linie, circumferință, elipsă , parabolă și hiperbolă )
Cvarticulele : obținute, în general, ca la intersecția a două suprafețe cvadrice care nu au secțiune plană în comun.
Curbele cicloide : curbe obținute ca o consecință a mișcării plane și rigide a unei conici față de un alt conic coplanar cu acesta.
Cele spiralele : obținute din mișcarea transrotational, tridimensională și rigidă a unui conica în ceea ce privește un alt coplanar conica pentru ea.

Suprafețe geometrice

Principalele categorii de suprafețe tratate de geometria descriptivă sunt clasificate după cum urmează:

Suprafețele reglate : în această categorie sunt tratate suprafețele generate de mișcarea rigidă a unei linii drepte de-a lungul uneia sau mai multor linii, cum ar fi helicoizii în dungi, conurile în dungi și suprafețele și podelele conice (ca cazuri speciale rigate).
Suprafețe torice : această categorie include toate tipurile de tor care sunt generate de mișcarea de rotație afină sau omotetică a unei conice nedegenerate de-a lungul unei direcții conice, care este, de asemenea, nedegenerată. Condiția este ca aceste conice, directrix și generatrix, să fie ortogonale între ele.
Paraboloizii .

Aplicații

Geometria descriptivă se aplică în principal în domenii care implică construirea de artefacte arhitecturale (și industriale). În special, se folosește pentru a avea proporții dimensionale și perceptive ale unei idei de proiect date și posibile. Aplicația computerizată a conceptelor de geometrie descriptivă permite astăzi să poată crea o arhitectură tridimensională extrem de complexă, dar mai ales să poată controla fără echivoc toate formele și dimensiunile sale.

Domenii de aplicare

perspectivă verticală a unei platforme înconjurată de o boltă transversală

Notă

^ ( ES ) Gordon VO, Sementsov și Ogievskii MA, Curso de Geometria Descriptiva , Rusia, Editorial Mir Moscu, 1973.
^ Mandarino D. , Desenho projetivo and descriptive geometry , Sao Paulo, Ed Plêiade, 1996.
^ Vezi de ex.

Bibliografie

Antonella Gesuele, Alessandra Pagliano și Valentina Verza, Geometrie animată. Lecții multimedia de geometrie descriptivă , Veneza, Editrice Cafoscarina, 2007, ISBN 978-88-7543-170-9 .
Lamberto Nasini, Lecții și exerciții de fundamentări și aplicații ale geometriei descriptive , Roma, Editrice Kappa, 1996.
Hasan Isawi și Lamberto Nasini, Văzând cu mintea. O geometrie pentru a înțelege spațiul fără a-l percepe vizual , Editrice Officina, 2006.
Barbara Aterini, Introducere în metodele de reprezentare a geometriei descriptive , Florența, Alinea, 1997.