Zona Veronese

În matematică , suprafața Veronese este o suprafață algebrică într-un spațiu proiectiv a $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ mărimea. A fost descoperit de Giuseppe Veronese (1854-1917), de la care își ia numele.

Suprafața Veronese admite o imersiune într-un spațiu proiectiv cu patru dimensiuni, construit prin proiecția unui punct generic al spațiului $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ -dimensional. Proiecția sa într-un spațiu proiectiv tridimensional este cunoscută sub numele de suprafața Steiner .

La rândul său, suprafața veroneză este singurul caz al unei varietăți de dimensiuni Scorza-Severi $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ .

Definiție

Harta Veronese este o funcție între spațiile proiective de dimensiune $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ , definit după cum urmează:

\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}

{\ displaystyle \ nu: \ mathbb {P} ^ {2} \ to \ mathbb {P} ^ {5}}

{\ displaystyle \ nu: \ mathbb {P} ^ {2} \ to \ mathbb {P} ^ {5}}

[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

{\ displaystyle [x: y: z] \ mapsto [x ^ {2}: y ^ {2}: z ^ {2}: yz: xz: xy]}

{\ displaystyle [x: y: z] \ mapsto [x ^ {2}: y ^ {2}: z ^ {2}: yz: xz: xy]}

unde este $[x:\ldots ]$ ${\ displaystyle [x: \ ldots]}$ ${\ displaystyle [x: \ ldots]}$ denotă coordonatele omogene .

Suprafața Veronese este imaginea hărții Veronese.

Sub-varietate

Imaginea unui soi plasată sub o cartografiere Veronese este din nou o varietate; în plus, ne confruntăm cu un izomorfism, deoarece există și maparea inversă și este regulată. Mai exact, imaginile seturilor deschise într-o topologie Zariski sunt încă seturi deschise . Aceasta servește pentru a arăta că o varietate algebrică este intersecția unui soi veronez și a unui spațiu liniar și că, prin urmare, fiecare varietate algebrică este izomorfă la o intersecție a cvadricelor .

Regularitate

Imaginea imersiunii unei suprafețe veroneze este o varietate proiectivă . Imersiunea unei suprafețe veronese este un morfism, adică o varietate cu anumite proprietăți de regularitate în geometria algebrică.

De sine $Y\subset P^{n}$ ${\ displaystyle Y \ subset P ^ {n}}$ ${\ displaystyle Y \ subset P ^ {n}}$ este un soi proiectiv, așa este și el $\nu _{d}(Y)\subset P^{N}$ ${\ displaystyle \ nu _ {d} (Y) \ subset P ^ {N}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {d} (Y) \ subset P ^ {N}}$ .

Harta Veronese a gradului d

Harta Veronese de calitate $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ sau varietatea Veronese generalizează ideea unei mapări de grade $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ în $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ variabile. Cu alte cuvinte, harta gradului lui Veronese $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este harta

\nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m},

{\ displaystyle \ nu _ {d} \ colon \ mathbb {P} ^ {n} \ to \ mathbb {P} ^ {m},}

{\ displaystyle \ nu _ {d} \ colon \ mathbb {P} ^ {n} \ to \ mathbb {P} ^ {m},}

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este definit ca:

m={n+d \choose d}-1={\frac {1}{n!}}(d+1)^{(n)}-1,

{\ displaystyle m = {n + d \ alege d} -1 = {\ frac {1} {n!}} (d + 1) ^ {(n)} - 1,}

{\ displaystyle m = {n + d \ alege d} -1 = {\ frac {1} {n!}} (d + 1) ^ {(n)} - 1,}

unde este ${n+d \choose d}$ ${\ displaystyle {n + d \ alegeți d}}$ ${\ displaystyle {n + d \ alegeți d}}$ indică coeficientul binomial și $(d+1)^{(n)}$ ${\ displaystyle (d + 1) ^ {(n)}}$ ${\ displaystyle (d + 1) ^ {(n)}}$ indică factorialul în creștere .

Exemple

De sine $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ avem:

\nu _{d}(\left[x_{0}:x_{1}\right])=\left[x_{0}^{d}:x_{0}^{d-1}x_{1}:x_{0}^{d-2}x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}^{d}\right].

{\ displaystyle \ nu _ {d} (\ left [x_ {0}: x_ {1} \ right]) = \ left [x_ {0} ^ {d}: x_ {0} ^ {d-1} x_ {1}: x_ {0} ^ {d-2} x_ {1} ^ {2}: \ ldots: x_ {1} ^ {d} \ right].}

{\ displaystyle \ nu _ {d} (\ left [x_ {0}: x_ {1} \ right]) = \ left [x_ {0} ^ {d}: x_ {0} ^ {d-1} x_ {1}: x_ {0} ^ {d-2} x_ {1} ^ {2}: \ ldots: x_ {1} ^ {d} \ right].}

De sine $d=2$ ${\ displaystyle d = 2}$ ${\ displaystyle d = 2}$ avem:

\nu _{2}(\left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right])=\left[x_{0}^{2}:x_{0}x_{1}:\ldots :x_{0}x_{n}:x_{1}^{2}:\ldots :x_{1}x_{n}:\ldots :x_{n}^{2}\right].

{\ displaystyle \ nu _ {2} (\ left [x_ {0}: \ ldots: x_ {n} \ right]) = \ left [x_ {0} ^ {2}: x_ {0} x_ {1} : \ ldots: x_ {0} x_ {n}: x_ {1} ^ {2}: \ ldots: x_ {1} x_ {n}: \ ldots: x_ {n} ^ {2} \ right].}

{\ displaystyle \ nu _ {2} (\ left [x_ {0}: \ ldots: x_ {n} \ right]) = \ left [x_ {0} ^ {2}: x_ {0} x_ {1} : \ ldots: x_ {0} x_ {n}: x_ {1} ^ {2}: \ ldots: x_ {1} x_ {n}: \ ldots: x_ {n} ^ {2} \ right].}

Curba rațională normală

Pentru $n=1,$ ${\ displaystyle n = 1,}$ ${\ displaystyle n = 1,}$ , soiul Veronese este cunoscut sub numele de curbă rațională normală, dintre care sunt cunoscute exemplele de grad mai mic:

pentru $n=1,d=1$ ${\ displaystyle n = 1, d = 1}$ ${\ displaystyle n = 1, d = 1}$ , harta Veronese este pur și simplu identitatea de-a lungul liniei proiective;
pentru $n=1,d=2,$ ${\ displaystyle n = 1, d = 2,}$ ${\ displaystyle n = 1, d = 2,}$ varietatea veroneză este pilda obișnuită $[x^{2}:xy:y^{2}],$ ${\ displaystyle [x ^ {2}: xy: y ^ {2}],}$ ${\ displaystyle [x ^ {2}: xy: y ^ {2}],}$ în coordonate afine $(x,x^{2}).$ ${\ displaystyle (x, x ^ {2}).}$ ${\ displaystyle (x, x ^ {2}).}$
pentru $n=1,d=3,$ ${\ displaystyle n = 1, d = 3,}$ ${\ displaystyle n = 1, d = 3,}$ varietatea Veronese este un cub răsucit ( funcție cubică și curbă algebrică netedă) $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ de grad $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ în spațiul proiectiv tridimensional $\mathbb {P} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$ ) $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ ${\ displaystyle [x ^ {3}: x ^ {2} y: xy ^ {2}: y ^ {3}],}$ ${\ displaystyle [x ^ {3}: x ^ {2} y: xy ^ {2}: y ^ {3}],}$ în coordonate afine $(x,x^{2},x^{3}).$ ${\ displaystyle (x, x ^ {2}, x ^ {3}).}$ ${\ displaystyle (x, x ^ {2}, x ^ {3}).}$

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică