Suprafața Steiner

Animația suprafeței romane

Suprafața Steiner , descoperită de matematicianul elvețian Jakob Steiner , este o imersiune auto-intersectată a planului proiectiv real în spațiul tridimensional, cu un grad neobișnuit de ridicat de simetrie . Această aplicație nu este o imersiune în planul proiectiv; cu toate acestea, cifra rezultată din eliminarea a șase puncte singular este.

Cea mai simplă construcție este imaginea unei sfere centrată la origine sub acțiunea funcției $f(x,y,z)=(yz,xz,xy)$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = (yz, xz, xy)}$ ${\ displaystyle f (x, y, z) = (yz, xz, xy)}$ . Aceasta duce la formula implicită:

x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,

{\ displaystyle x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} + z ^ {2} x ^ {2} -r ^ {2} xyz = 0. \,}

x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} + z ^ {2} x ^ {2} -r ^ {2} xyz = 0. \,

Mai mult, prin parametrizarea sferei în termeni de longitudine ( $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ) și latitudine ( $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ), obținem următoarele ecuații parametrice pentru suprafața romană:

x=r^{2}\cos(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )

{\ displaystyle x = r ^ {2} \ cos (\ theta) \ cos (\ phi) \ sin (\ phi)}

{\ displaystyle x = r ^ {2} \ cos (\ theta) \ cos (\ phi) \ sin (\ phi)}

y=r^{2}\sin(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )

{\ displaystyle y = r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ phi) \ sin (\ phi)}

{\ displaystyle y = r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ phi) \ sin (\ phi)}

z=r^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )\cos ^{2}(\phi )

{\ displaystyle z = r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ cos ^ {2} (\ phi)}

{\ displaystyle z = r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ cos ^ {2} (\ phi)}

Originea este un punct triplu și fiecare dintre planuri $X y$ ${\ displaystyle xy}$ ${\ displaystyle xy}$ , $y z$ ${\ displaystyle yz}$ ${\ displaystyle yz}$ , $X z$ ${\ displaystyle xz}$ ${\ displaystyle xz}$ este tangentă la suprafață în acest moment. Celelalte site-uri ale intersecției automate sunt puncte duble, care definesc segmente de-a lungul fiecărei axe de coordonate și se termină în șase puncte de strivire. Grupul de simetrie al suprafeței este cel al tetraedrului. Mai precis, acestea sunt proiecții liniare ale unei imersiuni într-un spațiu 5-dimensional, numit suprafața Veronese , care este imaginea unei sfere regulate centrate la origine.

Exista $10$ ${\ displaystyle 10}$ ${\ displaystyle 10}$ Tipuri de suprafață Steiner (clasificate de Coffman, Schwartz și Stanton), inclusiv capacul transversal și suprafața Roman Steiner , așa-numitele pentru că Steiner a descoperit-o în timpul șederii sale la Roma în 1836 ^[1] .

O suprafață Steiner este un polinom pătratic $\,p_{i}=Au^{2}+Buv+Cv^{2}+Du+Ev+F$ ${\ displaystyle \, p_ {i} = Au ^ {2} + Buv + Cv ^ {2} + Du + Ev + F}$ ${\ displaystyle \, p_ {i} = Au ^ {2} + Buv + Cv ^ {2} + Du + Ev + F}$ $(i=0,1,2,3)$ ${\ displaystyle (i = 0,1,2,3)}$ ${\ displaystyle (i = 0,1,2,3)}$ în variabile $tu, v$ ${\ displaystyle u, v}$ ${\ displaystyle u, v}$ suprafață dată în spațiu tridimensional: $\,(x,y,z)=\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}},{\frac {p_{2}}{p_{0}}},{\frac {p_{3}}{p_{0}}}\right)$ ${\ displaystyle \, (x, y, z) = \ left ({\ frac {p_ {1}} {p_ {0}}}, {\ frac {p_ {2}} {p_ {0}}}, {\ frac {p_ {3}} {p_ {0}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \, (x, y, z) = \ left ({\ frac {p_ {1}} {p_ {0}}}, {\ frac {p_ {2}} {p_ {0}}}, {\ frac {p_ {3}} {p_ {0}}} \ right)}$

Construcție: având în vedere spațiul proiectiv real, luați în considerare coordonatele omogene $\,(u_{0},u_{1},u_{2})$ ${\ displaystyle \, (u_ {0}, u_ {1}, u_ {2})}$ ${\ displaystyle \, (u_ {0}, u_ {1}, u_ {2})}$ în spațiul proiectiv în 5 dimensiuni, cu coordonate omogene:

(u_{0}^{2},u_{1}^{2},u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})

{\ displaystyle (u_ {0} ^ {2}, u_ {1} ^ {2}, u_ {2} ^ {2}, u_ {1} u_ {2}, u_ {0} u_ {2}, u_ {0} u_ {1})}

{\ displaystyle (u_ {0} ^ {2}, u_ {1} ^ {2}, u_ {2} ^ {2}, u_ {1} u_ {2}, u_ {0} u_ {2}, u_ {0} u_ {1})}

Derivarea formulei implicite

Pentru simplitate, vom lua în considerare numai cazul $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ . Desenați sfera identificată prin cele trei puncte $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ astfel încât

x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}

Să aplicăm acum transformarea în aceste puncte $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , unde este $T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,$ ${\ displaystyle T (x, y, z) = (yz, zx, xy) = (U, V, W), \,}$ ${\ displaystyle T (x, y, z) = (yz, zx, xy) = (U, V, W), \,}$ .

În acest fel, obținem asta

{\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} & = z ^ {2} x ^ {2} y ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {4} + y ^ {2} z ^ {2} x ^ {4} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) \\ [8pt] & = (1) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) = (xy) (yz) (zx) = UVW, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} & = z ^ {2} x ^ {2} y ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {4} + y ^ {2} z ^ {2} x ^ {4} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) \\ [8pt] & = (1) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) = (xy) (yz) (zx) = UVW, \ end {align}}}

prin urmare $U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,$ ${\ displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} -UVW = 0 \,}$ ${\ displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} -UVW = 0 \,}$ , care este teza dorită.

Derivarea ecuațiilor parametrice

Suprafața romană este dată de:

(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})

{\ displaystyle (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}) = (u_ {0} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ { 2}, u_ {1} u_ {2}, u_ {0} u_ {2}, u_ {0} u_ {1})}

{\ displaystyle (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}) = (u_ {0} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ { 2}, u_ {1} u_ {2}, u_ {0} u_ {2}, u_ {0} u_ {1})}

În coordonatele conexe avem:

\,x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-xyz=0

{\ displaystyle \, x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} z ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} -xyz = 0}

{\ displaystyle \, x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {2} z ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} -xyz = 0}

Alte parametrizări ale ecuației sunt date de:

x={\frac {s}{1+s^{2}+t^{3}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {s} {1 + s ^ {2} + t ^ {3}}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {s} {1 + s ^ {2} + t ^ {3}}}}

y={\frac {s\cdot t}{1+s^{2}+t^{3}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {s \ cdot t} {1 + s ^ {2} + t ^ {3}}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {s \ cdot t} {1 + s ^ {2} + t ^ {3}}}}

z={\frac {t}{1+s^{2}+t^{3}}},

{\ displaystyle z = {\ frac {t} {1 + s ^ {2} + t ^ {3}}},}

{\ displaystyle z = {\ frac {t} {1 + s ^ {2} + t ^ {3}}},}

Acum ia în considerare o sferă de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , longitudine $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , și latitudine $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Atunci ecuațiile sale parametrice sunt

x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,

{\ displaystyle x = r \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi,}

{\ displaystyle x = r \, \ cos \ theta \, \ cos \ phi,}

y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,

{\ displaystyle y = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ phi,}

{\ displaystyle y = r \, \ cos \ theta \, \ sin \ phi,}

z=r\,\sin \theta .

{\ displaystyle z = r \, \ sin \ theta.}

{\ displaystyle z = r \, \ sin \ theta.}

Acum, aplicând transformarea $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în toate punctele acestei sfere obținem

x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,

{\ displaystyle x '= yz = r ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi,}

{\ displaystyle x '= yz = r ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi,}

y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,

{\ displaystyle y '= zx = r ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ cos \ phi,}

{\ displaystyle y '= zx = r ^ {2} \, \ cos \ theta \, \ sin \ theta \, \ cos \ phi,}

z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,

{\ displaystyle z '= xy = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ cos \ phi \, \ sin \ phi,}

{\ displaystyle z '= xy = r ^ {2} \, \ cos ^ {2} \ theta \, \ cos \ phi \, \ sin \ phi,}

care sunt punctele suprafeței Steiner. Este $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ între $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ , Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ variabilă între $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ .

Acest lucru rezultă din parametrizarea sferei unitare

(x,y,z)=(\cos(u)\cos(v),\sin(u)\cos(v),\sin(v))

{\ displaystyle (x, y, z) = (\ cos (u) \ cos (v), \ sin (u) \ cos (v), \ sin (v))}

{\ displaystyle (x, y, z) = (\ cos (u) \ cos (v), \ sin (u) \ cos (v), \ sin (v))}

sub transformare $(x,y,z)\mapsto (xy,yz,xz)=(\cos(u)\sin(u){\cos(v)}^{2},\sin(u)\cos(v)\sin(v),\cos(u)\cos(v)\sin(v)).$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto (xy, yz, xz) = (\ cos (u) \ sin (u) {\ cos (v)} ^ {2}, \ sin (u) \ cos (v) \ sin (v), \ cos (u) \ cos (v) \ sin (v)).}$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto (xy, yz, xz) = (\ cos (u) \ sin (u) {\ cos (v)} ^ {2}, \ sin (u) \ cos (v) \ sin (v), \ cos (u) \ cos (v) \ sin (v)).}$

Capacul transversal este dat de:

(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},2u_{0}u_{1},u_{0}^{2}-u_{1}^{2})

{\ displaystyle (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}) = (u_ {0} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ { 2}, u_ {1} u_ {2}, 2u_ {0} u_ {1}, u_ {0} ^ {2} -u_ {1} ^ {2})}

{\ displaystyle (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}) = (u_ {0} ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ { 2}, u_ {1} u_ {2}, 2u_ {0} u_ {1}, u_ {0} ^ {2} -u_ {1} ^ {2})}

În coordonate afine:

\,4x^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+z)+y^{2}(y^{2}+z^{2}-1)=0

{\ displaystyle \, 4x ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + z) + y ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2} - 1) = 0}

{\ displaystyle \, 4x ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + z) + y ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2} - 1) = 0}

Relația cu planul proiectiv real

Sfera, înainte de a fi transformată, nu este homeomorfă cu planul proiectiv real $RP^{2}$ ${\ displaystyle RP ^ {2}}$ ${\ displaystyle RP ^ {2}}$ , în timp ce sfera centrată pe origine are această proprietate: adică dacă punctele $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ atunci și punctele antipodale aparțin sferei $(-x,-y,-z)$ ${\ displaystyle (-x, -y, -z)}$ ${\ displaystyle (-x, -y, -z)}$ aparțin aceleiași sfere, dar cele două triplete de puncte sunt diferite și sunt situate pe laturile opuse ale centrului sferei.