Suprafața băiatului

Model 3D (în format .stl ) al unei suprafețe Boy

Suprafața băiatului este o imersiune a planului proiectiv real în spațiul tridimensional. Este un soi neorientabil descoperit în 1901 de Werner Boy . Primul studiu analitic al suprafeței lui Boy datează din 1981 cu metoda semiempirică ^{[ neclară ]} . Suprafața băiatului este discutată (și ilustrată) în Le Topologicon de Jean-Pierre Petit ^[1] .

Suprafața băiatului poate fi obținută ca o transformare geometrică tridimensională și ciclică a unei sfere , fără formarea unei singularități , primul de acest gen ^{[ neclar ]} . Această transformare constă în să răstoarne suprafața acestei sfere ^{[ neclar ]} , în timp ce se deplasează de-a lungul unei traiectorii elicoidale închise. Un alt mod mai simplu este unirea fiecărui punct al sferei cu antipodul său, adică cu punctul care ocupă poziția diametral opusă în sferă. Din această construcție se poate observa că această suprafață este compusă dintr-o față, o margine și un vârf și, prin urmare, are caracteristica Euler egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Suprafața băiatului are o curbă de auto-intersecție în formă de helix, cu trei lame întâlnite într-un punct triplu, faptul că această curbă este regulată asigură faptul că suprafața în sine reprezintă o imersiune lină a planului proiectiv real în spațiul afin tridimensional.

Acoperirea cu două foi a unei suprafețe Boy este imersiunea unei sfere.

Cubul unui băiat este un solid cu 28 de vârfuri, 43 de margini, 16 fețe din care încă obținem caracteristica $\chi =28-43+16=1$ ${\ displaystyle \ chi = 28-43 + 16 = 1}$ $\ chi = 28-43 + 16 = 1$ .

Simetrie

Suprafața băiatului prezintă simetrie rotațională pe 3 câmpuri. Aceasta înseamnă că are o axă de simetrie de rotație discretă: o rotație de 120 ° în jurul acestei axe va lăsa suprafața exact neschimbată. Suprafața băiatului poate fi împărțită în trei părți perfect congruente .

Parametrizare

Suprafața băiatului poate fi parametrizată în diferite moduri. O modalitate de parametrizare, descoperită de Rob Kusner și Robert Briant ^[2] , este următoarea: este dat un număr complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ cu modul mai mic sau egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și ambele:

{\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\mathrm {Im} \left({w(1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right)\\g_{2}&=-{3 \over 2}\mathrm {Re} \left({w(1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right)\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left({1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right)-{1 \over 2},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} g_ {1} & = - {3 \ over 2} \ mathrm {Im} \ left ({w (1-w ^ {4}) \ over w ^ {6} + { \ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right) \\ g_ {2} & = - {3 \ over 2} \ mathrm {Re} \ left ({w (1 + w ^ {4} ) \ over w ^ {6} + {\ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right) \\ g_ {3} & = \ mathrm {Im} \ left ({1 + w ^ {6 } \ over w ^ {6} + {\ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right) - {1 \ over 2}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} g_ {1} & = - {3 \ over 2} \ mathrm {Im} \ left ({w (1-w ^ {4}) \ over w ^ {6} + { \ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right) \\ g_ {2} & = - {3 \ over 2} \ mathrm {Re} \ left ({w (1 + w ^ {4} ) \ over w ^ {6} + {\ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right) \\ g_ {3} & = \ mathrm {Im} \ left ({1 + w ^ {6 } \ over w ^ {6} + {\ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right) - {1 \ over 2}, \ end {align}}}

astfel încât

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {g_ {1} ^ {2} + g_ {2} ^ {2} + g_ { 3} ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} g_ {1} \\ g_ {2} \\ g_ {3} \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {g_ {1} ^ {2} + g_ {2} ^ {2} + g_ { 3} ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} g_ {1} \\ g_ {2} \\ g_ {3} \ end {pmatrix}},}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sunt coordonatele carteziene ale unui punct generic de pe suprafața lui Boy.

Dacă inversăm această parametrizare centrând-o pe punctul triplu, obținem o suprafață minimă cu trei puncte finale (care pot fi văzute ca „puncte la infinit”). Aceasta înseamnă că parametrizarea Bryant-Kusner este „optimă”, deoarece este scufundarea „cel mai puțin îndoită” a unui plan proiectiv în spațiul tridimensional.

Relația suprafeței lui Boy cu planul proiectiv real

Este $P(w)=(x(w),y(w),z(w))$ ${\ displaystyle P (w) = (x (w), y (w), z (w))}$ ${\ displaystyle P (w) = (x (w), y (w), z (w))}$ parametrizarea unei suprafețe Boy, conform lui Bryant-Kusner. Atunci

P(w)=P\left(-{1 \over {\overline {w}}}\right).

{\ displaystyle P (w) = P \ left (- {1 \ over {\ overline {w}}} \ right).}

{\ displaystyle P (w) = P \ left (- {1 \ over {\ overline {w}}} \ right).}

Aceasta ilustrează starea parametrului unde $|w|\leq 1$ ${\ displaystyle | w | \ leq 1}$ ${\ displaystyle | w | \ leq 1}$ : de sine $|w|<1,$ ${\ displaystyle | w | <1,}$ ${\ displaystyle | w | <1,}$ asa de $\left|-{1 \over {\overline {w}}}\right|>1.$ ${\ displaystyle \ left | - {1 \ over {\ overline {w}}} \ right |> 1.}$ ${\ displaystyle \ left | - {1 \ over {\ overline {w}}} \ right |> 1.}$ in care ${\overline {w}}$ ${\ displaystyle {\ overline {w}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {w}}}$ este conjugatul complex al lui $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ . Lucrurile devin însă ceva mai complicate $|w|=1.$ ${\ displaystyle | w | = 1.}$ ${\ displaystyle | w | = 1.}$ În acest caz, avem $-{1 \over {\overline {w}}}=-w.$ ${\ displaystyle - {1 \ over {\ overline {w}}} = - w.}$ ${\ displaystyle - {1 \ over {\ overline {w}}} = - w.}$ Aceasta înseamnă că pentru $|w|=1,$ ${\ displaystyle | w | = 1,}$ ${\ displaystyle | w | = 1,}$ Punctul de suprafață al băiatului este obținut din două valori ale parametrului: $P(w)=P(-w).$ ${\ displaystyle P (w) = P (-w).}$ ${\ displaystyle P (w) = P (-w).}$ Cu alte cuvinte, suprafața Boy a fost parametrizată pornind de la un disc astfel încât o pereche de puncte diametral opuse situate pe perimetrul discului să fie echivalente una cu cealaltă. Aceasta arată că suprafața lui Boy este o imagine a planului proiectiv real $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2} (\ mathbb {R})}$ printr-o funcție lină , adică o scufundare a planului proiectiv real în spațiul euclidian .

Notă

^ Jean-Pierre Petit, Le Topologicon
^ Raymond O'Neil Wells, Surfaces in conformal geometry (Robert Bryant) , în The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (12-16 mai 1987, Universitatea Duke, Durham, Carolina de Nord) , Proc. Sympos. Pure Math., American Mathematical Soc., 1988, pp. 227-240, DOI : 10.1090 / pspum / 048/974338 , ISBN 978-0-8218-1482-6 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe suprafața băiatului

linkuri externe

Cum se transformă o suprafață Cross Cap într-o suprafață Boy trecând prin suprafața Roman Steiner. , pe jp-petit.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Jean-Pierre Petit, Le Topologicon

[Wells1988-2] Raymond O'Neil Wells, Surfaces in conformal geometry (Robert Bryant) , în The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (12-16 mai 1987, Universitatea Duke, Durham, Carolina de Nord) , Proc. Sympos. Pure Math., American Mathematical Soc., 1988, pp. 227-240, DOI : 10.1090 / pspum / 048/974338 , ISBN 978-0-8218-1482-6 .

[1]

[2]