Singularitate

Conceptul de singularitate caracterizează o mare varietate de fenomene în cele mai diverse domenii: știință, tehnologie, matematică, sociologie, psihologie etc. Fenomenele considerate „singulare” au în comun faptul că mici variații ale unei mărimi care caracterizează fenomenul pot provoca variații nelimitate sau chiar discontinuități reale în alte mărimi caracteristice. În descrierea matematică a acestor fenomene apar caracteristici similare: în special, apropiindu-se de punctul singular, comportamentul sistemului nu mai poate fi descris cu precizie cu ecuații liniare și adesea în soluțiile ecuațiilor liniarizate apare un termen ca numitorul care se apropie și mai aproape de zero, făcând deci valoarea uneia sau mai multor cantități în joc va crește la nesfârșit.

Deja în 1873 James Clerk Maxwell a observat că în multe sisteme fizice sau sociale există o cantitate mare de „energie potențială” (în sensul adecvat pentru sistemele fizice și metaforică pentru sistemele sociale), care poate fi eliberată numai atunci când un anumit parametru atinge un pragul valoric. ^[1] În această privință, Maxwell (și în mod similar la câțiva ani după Poincaré) dă exemplul foarte simplu al unei stânci împinse foarte încet peste marginea unei râpe: o situație cvasistatică care se transformă într-una foarte dinamică, urmând o situație imperceptibilă. Schimbare. În sistemele dinamice, apariția unei singularități coincide cu pierderea stabilității sistemului. Exemple de singularități în diferite sectoare sunt date mai jos.

Maxwell mai observă că în sistemele de orice tip (fizice, sociologice, economice etc.) existența singularităților evidențiază limitele asociate cu o descriere deterministă a fenomenelor, deoarece aproape de singularitate devine imposibil să se prevadă cu precizie evoluția sistemului . Chiar dacă, de fapt, principiul cauzalității continuă să fie valabil pentru care aceleași cauze trebuie să producă efecte identice, aproape de un punct singular nu mai este adevărat că cauze similare dau efecte similare. Cu alte cuvinte, variațiile microscopice și imperceptibile ale condițiilor de pornire pot provoca diferențe enorme în evenimentele ulterioare, ale căror consecințe sunt în general ireversibile.

Deși pierderea stabilității unui sistem poate fi foarte adesea schematizată ca un fenomen brusc (gândiți-vă la sarcina maximă a unui fascicul), în unele sisteme reale abordarea treptată a punctului singular poate fi semnalată prin apariția unor fenomene mari, în care comportamentul sistemului este guvernat de legi neliniare. Un exemplu este oferit de instabilitatea mecanică a foilor subțiri încărcate axial (plăci, cochilii, bolți, tuburi etc.). Pentru unele geometrii, sarcina critică la care ar trebui să corespundă singularitatea poate fi calculată matematic, dar descrierea matematică rămâne un model ideal care, deși util din punct de vedere conceptual, nu oferă adevărata valoare a sarcinii critice, deoarece termenii neliniari amplifică imperfecțiunile geometria formei sau poziția sarcinii, provocând deformări semnificative și deseori ireversibile cu mult înainte de atingerea limitei teoretice a singularității.

Existența singularităților este la baza unor discipline importante dezvoltate în a doua jumătate a secolului al XX-lea, cum ar fi teoria catastrofelor și teoria haosului sau, mai general, studiul complexității .

Matematica

Termenul de singularitate își are originea în matematică , unde indică în general un punct în care o entitate matematică, de exemplu o funcție sau o suprafață , „degenerează”, adică pierde o parte din proprietățile de care se bucură în celelalte puncte generice, care prin contrastul se numește „obișnuit”. Într-un punct singular, de exemplu, o funcție sau derivatele sale nu pot fi definite și în jurul punctului în sine „tind spre infinit ”. În diferitele domenii specifice există semnificații mai precise:

• În analiza matematică este uneori folosit ca sinonim pentru un punct de discontinuitate
• În analiza complexă vorbim despre o singularitate izolată a unei funcții într-un punct, dacă funcția este holomorfă într-un vecinătate goală a punctului, dar nu este holomorfă în vecinătatea completă. Dacă singularitatea nu poate fi eliminată, trebuie să fie un pol , adică un punct în care funcția tinde spre infinit, sau o singularitate esențială, care este un punct de discontinuitate extremă, deoarece, apropiindu-se de singularitate, funcția poate tinde la orice valoare, finit sau infinit, pentru a alege corect calea de abordare.
• În algebra liniară vorbim despre o matrice singulară pentru a însemna o matrice cu un determinant egal cu zero și, prin urmare, nu este inversabilă . De fapt, în formula matricei inverse , determinantul matricei apare ca numitor.
• În geometria algebrică vorbim despre un punct singular al unei varietăți algebrice , când matricea iacobiană a derivatelor parțiale de primul ordin în acel punct are un rang mai mic decât cel din punctele regulate

Fizică

În fizică , punctele singulare sunt acelea în care apare o singularitate matematică a ecuațiilor de câmp, datorită, de exemplu, unei discontinuități geometrice a domeniului sau atingerii unei valori limită a unui parametru. Deși soluțiile singulare ale ecuațiilor de câmp rămân foarte utile pentru descrierea comportamentului fizic în afara singularității, își pierd sensul fizic în apropierea punctului singular. În practică, comportamentul fizic în astfel de cartiere poate fi descris doar prin teorii fizice mai complexe în care nu apare singularitatea. În special, de exemplu:

• În teoria elasticității , vârfurile fiecărui unghi reentrant al unui continuum omogen sunt puncte singulare. Exemple de colțuri încastrate sunt crestăturile acute și punctele fantei , deși în practică marginea încastrată sau vârful fantei nu pot fi perfect acute din motive tehnologice și au întotdeauna o rază de curbură, deși una foarte mică. În astfel de puncte, tensiunile și deformările sunt teoretic infinite și chiar în practică pot fi foarte mari, dacă raza de curbură este mică, depășind valoarea limită de rezistență a materialului. Prin urmare, în practică, dacă mediul material este ductil, acesta se deformează plastic în jurul punctului singular și, pe de altă parte, dacă este fragil, se microfisează local.
• În teoria relativității o singularitate gravitațională este un punct în jurul căruia atracția gravitațională tinde spre infinit (vezi Big Bang și găurile negre ). Abordând aceste puncte ar fi necesar să se utilizeze o teorie cuantică a gravitației în locul relativității generale a lui Einstein .
• În dinamica fluidelor , singularitatea Prandtl-Glauert apare atunci când o aeronavă atinge viteza sunetului fluidului în care se desfășoară. În acel moment, conform ecuațiilor liniarizate de mișcare a fluidelor, ar trebui să apară presiuni infinite și, prin urmare, chiar la începutul secolului al XX-lea, savanții credeau că viteza sunetului nu poate fi depășită. În realitate, când 70% din viteza sunetului este depășită, termenii neliniari ai ecuațiilor de mișcare încetează să mai fie neglijabili și, devenind din ce în ce mai dominanți, ei sunt cauza undei de șoc care se creează atunci când se atinge singularitatea. .
• În mecanica solidelor , atingerea unei sarcini critice determină instabilitatea sistemului, provocând deplasări transversale către direcția sarcinii, care, în cadrul unei teorii liniare, sunt nelimitate. Comportamentul real al structurii trebuie apoi studiat folosind ecuațiile neliniare care guvernează deplasările mari.

Sisteme dinamice

Considerațiile calitative ale lui Maxwell au găsit o primă aprofundare matematică în lucrările lui Henri Poincaré , care a identificat patru tipuri diferite de puncte singulare prezente în ecuațiile diferențiale cu care poate fi descrisă evoluția în timp a unui sistem complex. ^[2]

Singularitățile sunt un ingredient de bază în formularea teoriilor aplicabile descrierii sistemelor dinamice de o natură foarte diferită, cum ar fi teoria haosului sau teoria catastrofelor. ^[3]

științele naturii

Dezvoltarea evolutivă a vieții în toate fazele sale până la procesele de dezvoltare umană nu pare să fi avut loc în mod continuu, ci prin salturi, prin mutații care pot fi considerate singularități reale ^{[4] [5]} și care au fost probabil puternic influențate de natura dezastrele care creează spațiu pentru noi forme de viață trebuie considerate productive și nu doar singularități distructive. ^{[6] [7]}

Stiinte Sociale

Atât Maxwell, cât și Poincaré consideră exemple de „singularități” prezente în viața indivizilor și a organismelor sociale. De exemplu, Maxwell observă că un singur cuvânt poate începe un război. Societățile sunt în mod normal protejate de faptul că membrii lor sunt conștienți de posibilele evoluții negative și pot ajuta la stabilizarea sistemului social. ^[8] Cu toate acestea, formarea agregărilor sociale din ce în ce mai complexe face ca sistemul să fie din ce în ce mai puțin liniar și mai puțin previzibil ^[9] și, de exemplu, apariția interacțiunilor neașteptate între subsisteme poate produce evenimente imprevizibile. ^[10]

În futurologie , de exemplu, și uneori în sociologie se presupune posibila dezvoltare a Singularității tehnologice , un punct în dezvoltarea unei civilizații , în care progresul tehnologic accelerează dincolo de capacitatea de a înțelege și de a prevedea ființele umane.

Singularitate și complexitate

Prezența unor situații singulare este cu atât mai probabilă cu cât sistemul este mai complex. Mai mult, tratarea apariției unei singularități într-un sistem complex este foarte dificilă, deoarece cauzele care trebuie eliminate pentru stabilizarea sistemului sunt mai puțin evidente, iar percepția haosului se răspândește cu ușurință, ajutând la mărirea acestuia. Studiul prăbușirii civilizațiilor antice a indicat că dificultatea de a găsi soluții într-un sistem complex a fost o cauză majoră a căderii lor. ^[11]

Criza financiară din anii 2007-2008 a evidențiat, de asemenea, riscurile create de răspândirea necontrolată a instrumentelor financiare complexe. ^[12] Robustețea și adaptabilitatea unui sistem reprezintă o valoare care trebuie apărată chiar cu prețul sacrificării unei posibile optimizări excesive a sistemului pentru a reduce complexitatea acestuia. ^[13]

Notă

Elemente conexe

• Singularitate

linkuri externe

• James Clerk Maxwell, Eseu pentru Eranus Club on Science and Free Will , 1873
• J.-H. Scharf (Hrsg.): Singularitäten, Nova Acta Leopoldina, Abhandlungen der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina, Vorträge anläßlich der Jahresversammlung vom 30. März bis 2. Aprilie 1985 zu Halle (Saale), Leipzig 1989