Instabilitatea structurilor

Prăbușirea structurală a podului Tacoma , cauzată de flutter

Instabilitatea structurilor (sau stabilitatea structurilor ) este o ramură a mecanicii structurale și, prin urmare, a științei construcțiilor , care se ocupă cu studierea și modelarea comportamentului neliniar al structurilor legate de fenomenele de instabilitate ale configurațiilor relative de echilibru . Problema stabilității este adesea asociată cu fenomene de prăbușire structurală, prin urmare teoria stabilității structurilor joacă un rol fundamental în ingineria structurală , aerospațială și nucleară , precum și în diverse probleme de inginerie mecanică și geotehnică , geofizică și știința materialelor .

Fenomenele de instabilitate structurală induse de acțiuni particulare ale sarcinilor neconservative (de exemplu, produse de vânt și, în general, de fluide ) se numesc instabilitate dinamică sau flutter . Pentru structurile supuse unor sarcini conservatoare (interne și externe) , fenomenele de instabilitate sunt numite și neliniaritate geometrică , deoarece pot fi urmărite înapoi la caracterul general neliniar al legăturii cinematice dintre descriptorii de deformare internă și descriptorii externi ai câmpului de deplasare care reprezintă configurația sa de echilibru deformat .

Chiar dacă aceste fenomene în teorie pot viza orice structură, în prezența sau nu a neliniarității fizice a materialului din care sunt realizate, teoria stabilității structurilor se referă în principal la comportamentul structurilor elastice subțiri , adică la fel de subțire structură pentru care efectele neliniarității geometrice apar cu mult înainte ca efectele neliniarității materiale să fie sensibile, care sunt, prin urmare, neglijabile, deoarece reprezintă comportamentul lor constitutiv conform modelului de elasticitate liniară . În acest sens, teoria stabilității structurilor se încadrează în cadrul teoriei neliniare a elasticității .

Studiul instabilității dinamice se referă la conceptul de stabilitate conform lui Liapunov și necesită studiul dinamic al mișcării structurii. În cazul structurilor elastice supuse unor sarcini conservatoare (interne și externe), studiul fenomenelor de instabilitate este redus, pe baza criteriului Dirichlet-Lagrange (și Koiter pentru sistemele continue), la studiul doar configurațiilor de echilibru static . . În acest caz, piatra de temelie a teoriei stabilității elastice a structurilor este teoria perturbației lui Koiter .

fundal

Teoria stabilității elastice își găsește începuturile matematice în secolul al XVIII-lea , în studiile asupra elasticului lui Euler ^[1] , care asigură sarcina critică de flambaj asociată diferitelor forme de inflexiune a configurației critice a fasciculului elastic. Efectele de aplicare ale acestei teorii au avut loc numai în secolul al XIX-lea , odată cu utilizarea tipurilor structurale subțiri în oțel: o versiune liniarizată a abordării euleriană a fost de fapt extinsă pentru a obține sarcina critică a diferitelor probleme de inginerie și a fost găsită la începutul al XX-lea în metoda echilibrului indiferent al luiTimoșenko ^[2] o paradigmă operativă pentru estimarea capacității portante a diferitelor tipologii structurale, în special plăci și cochilii cilindrice . Între timp, între sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, conceptul de stabilitate este riguros definit din punct de vedere matematic de lucrările lui Poincarè și Liapunov .

Practica de inginerie stabilită a fost pusă la îndoială în primele decenii ale secolului al XX-lea prin discrepanțele observate experimental și, mai presus de toate, printr-o serie de prăbușiri cilindrice ale silozului proiectate conform metodei de echilibru indiferent. Dicotomia dintre teorie și experiență a fost readusă într-un cadru unitar de teoria stabilității elastice prezentată de Warner Tjardus Koiter în celebra sa teză de doctorat ^[3] . Scrisă în olandeză în timpul celui de-al doilea război mondial, opera lui Koiter a rămas puțin cunoscută până la sfârșitul anilor 1960 , când a fost redescoperită și tradusă în engleză. Opera lui Koiter, deși atentă la aspectele matematice ale teoriei stabilității echilibrului a lui Lyapunov, păstrează caracterul ingineresc de a înțelege esența fenomenelor fizice observate. ^[4] Această teorie a pus pentru prima dată accentul pe influența comportamentului post-critic în scopul evaluării capacității portante a structurii, subliniind modul în care în cazul comportamentului post-critic instabil (cazul cilindrilor încărcați de-a lungul directorul lor), structura ar putea deveni extrem de sensibilă la imperfecțiunile inițiale mici (ale geometriei sau ale metodei de aplicare a sarcinii), cu o reducere semnificativă a capacității portante comparativ cu sarcina critică. În cazul cilindrilor, această reducere a atins o sarcină maximă de aproximativ 10 ori mai mică decât sarcina critică cu imperfecțiuni de formă geometrică de ordinul a doar o zecime din grosime: acest lucru a explicat motivul prăbușirilor observate în silozuri, deoarece acestea au fost proiectate prin estimarea capacității. portante doar pe baza sarcinii critice.

Teoria lui Koiter a fost în anii următori universal acceptată ^[5] ca reper pentru studiul fenomenelor de instabilitate a structurilor elastice. Teoria, însă, bogată în rezultate din punct de vedere calitativ, a fost considerată săracă din punct de vedere cantitativ în cazul structurilor la scară largă, prea complexă pentru a fi reprezentată de abordări manual-analitice. Această limită s-a dovedit falsă începând din anii optzeci printr-o serie de lucrări ^[6] care au plasat, cu suficientă precizie, teoria lui Koiter într-un context de analiză numerică cu elemente finite și, prin urmare, potențial extinzând-o la orice tipologie structurală.

Teoria stabilității lui Koiter

Notatii si simbolologie

$tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ : câmp de deplasare;
$\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ : parametru amplificator al sarcinii;
$(.)'\delta u$ ${\ displaystyle (.) '\ delta u}$ ${\ displaystyle (.) '\ delta u}$ : derivat al Frèchet în raport cu câmpul $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$
${\hat {(.)}}$ ${\ displaystyle {\ hat {(.)}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {(.)}}}$ : derivată în raport cu parametrul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$
$\Pi [u,\lambda ]$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ : funcțional al energiei potențiale totale;
$\Pi '\delta u$ ${\ displaystyle \ Pi '\ delta u}$ ${\ displaystyle \ Pi '\ delta u}$ : variație înainte de funcțional $\Pi [u,\lambda ]$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ;
$\Pi ''{\dot {v}}\delta u$ ${\ displaystyle \ Pi '' {\ dot {v}} \ delta u}$ ${\ displaystyle \ Pi '' {\ dot {v}} \ delta u}$ : variație în funcție de funcțional $\Pi [u,\lambda ]$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ;
$\Pi ^{n}{\dot {v}}^{n}\delta u$ ${\ displaystyle \ Pi ^ {n} {\ dot {v}} ^ {n} \ delta u}$ ${\ displaystyle \ Pi ^ {n} {\ dot {v}} ^ {n} \ delta u}$ : a n-a variație a funcționalității $\Pi [u,\lambda ]$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ${\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda]}$ ;

Reconstrucția perturbativă a bifurcației căilor de echilibru

Reconstrucția perturbativă a unui fenomen de sarcină limită

Pentru structuri supuse unor sarcini conservatoare crescând liniar cu un singur parametru $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ( $p[\lambda ]=\lambda {\hat {p}}$ ${\ displaystyle p [\ lambda] = \ lambda {\ hat {p}}}$ ${\ displaystyle p [\ lambda] = \ lambda {\ hat {p}}}$ ), caracterizată printr-o energie de deformare $\Phi [u]$ ${\ displaystyle \ Phi [u]}$ ${\ displaystyle \ Phi [u]}$ (unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ reprezintă gama de deplasări compatibile cu constrângerile cinematice interne și externe ale structurii) și de la un potențial al sarcinilor $p[\lambda ]u$ ${\ displaystyle p [\ lambda] u}$ ${\ displaystyle p [\ lambda] u}$ , configurațiile de echilibru sunt caracterizate de starea staționară a energiei potențiale totale

\Pi [u,\lambda ]=\Phi [u]-\lambda p\,u=staz_{u}

{\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda] = \ Phi [u] - \ lambda p \, u = staz_ {u}}

{\ displaystyle \ Pi [u, \ lambda] = \ Phi [u] - \ lambda p \, u = staz_ {u}}

exprimat echivalent prin următoarea ecuație de lucru virtuală

\Pi '[u,\lambda ]\,\delta u=0\;\;,\;\;\forall \delta u

{\ displaystyle \ Pi '[u, \ lambda] \, \ delta u = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta u}

{\ displaystyle \ Pi '[u, \ lambda] \, \ delta u = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta u}

unde este $()'\delta u$ ${\ displaystyle () '\ delta u}$ ${\ displaystyle () '\ delta u}$ indică derivatul Frèchet în raport cu câmpul $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . ^[7] Pentru sarcini variabile, soluțiile problemei anterioare pot fi reprezentate prin valori $(u,\lambda )$ ${\ displaystyle (u, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (u, \ lambda)}$ : aceste „puncte” descriu, în spații adecvate, una sau mai multe „curbe” numite căi de echilibru ale structurii.

Instabilitatea (și criza) structurilor este asociată fie cu un fenomen de sarcină limită (sau de fixare ), adică cu o configurație de valoare maximă a sarcinii portante a structurii de-a lungul căii sale de echilibru, fie cu o bifurcație fenomen (sau flambaj ) al căilor sale de echilibru. Aceste două tipuri de criză structurală sunt readuse la un tratament unitar în cadrul teoriei perturbării lui Koiter.

Cazul bifurcației simple

Caracteristica esențială a strategiei de perturbare a lui Koiter este reconstrucția unui fenomen de bifurcație între o cale de echilibru fundamentală $u^{f}[\lambda ]$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda]}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda]}$ prin ipoteză analitică în $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , deja cunoscut sau extrapolat pornind de la condițiile inițiale ale structurii și o cale de echilibru ramificată , reconstituită într-o formă asimptotică aproximativă începând de la rezolvarea problemei critice de-a lungul căii fundamentale

\Pi ''[u^{f}(\lambda _{b}),\lambda _{b}]\,{\dot {v}}_{b}\,\delta u=0\;\;,\;\;\forall \delta u

{\ displaystyle \ Pi '' [u ^ {f} (\ lambda _ {b}), \ lambda _ {b}] \, {\ dot {v}} _ {b} \, \ delta u = 0 \ ; \ ;, \; \; \ forall \ delta u}

{\ displaystyle \ Pi '' [u ^ {f} (\ lambda _ {b}), \ lambda _ {b}] \, {\ dot {v}} _ {b} \, \ delta u = 0 \ ; \ ;, \; \; \ forall \ delta u}

( $\Pi ''[.]\,{\dot {v}}_{b}\,\delta u$ ${\ displaystyle \ Pi '' [.] \, {\ dot {v}} _ {b} \, \ delta u}$ ${\ displaystyle \ Pi '' [.] \, {\ dot {v}} _ {b} \, \ delta u}$ este operatorul de rigiditate tangentă) în ceea ce privește cea mai mică valoare a sarcinii de bifurcație $\lambda _{b}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {b}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {b}}$ și forma asociată a modului primar de flambaj ${\dot {v}}_{b}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} _ {b}}$ .

Acest obiectiv este atins prin definirea unei forme asimptotice adecvate a căii ramificate

u^{d}[\xi ]=u^{f}[\lambda ]+\xi {\dot {v}}_{b}+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}{\ddot {v}}_{b}+\ldots \;\;,\;\;\lambda ^{d}[\xi ]=\lambda _{b}+\xi {\dot {\lambda }}_{b}+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}{\ddot {\lambda }}_{b}+\ldots

{\ displaystyle u ^ {d} [\ xi] = u ^ {f} [\ lambda] + \ xi {\ dot {v}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {v}} _ {b} + \ ldots \; \ ;, \; \; \ lambda ^ {d} [\ xi] = \ lambda _ {b} + \ xi {\ dot { \ lambda}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {\ lambda}} _ {b} + \ ldots}

{\ displaystyle u ^ {d} [\ xi] = u ^ {f} [\ lambda] + \ xi {\ dot {v}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {v}} _ {b} + \ ldots \; \ ;, \; \; \ lambda ^ {d} [\ xi] = \ lambda _ {b} + \ xi {\ dot { \ lambda}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {\ lambda}} _ {b} + \ ldots}

și căutarea lui Galërkin pentru soluția aproximativă a problemei de echilibru în acest colector

\Pi '[u^{d},\lambda ^{d}]\,\delta u=0\;\;,\;\;\forall \delta u

{\ displaystyle \ Pi '[u ^ {d}, \ lambda ^ {d}] \, \ delta u = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta u}

{\ displaystyle \ Pi '[u ^ {d}, \ lambda ^ {d}] \, \ delta u = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta u}

Plecând de la cunoașterea căii fundamentale $u^{f}[\lambda ]$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda]}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda]}$ , Strategia lui Koiter este împărțită în următoarea secvență algoritmică: ^[8]

[pasul 1]: calculul punctului de bifurcație $\lambda _{b}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {b}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {b}}$ și modul principal de flambaj ${\dot {v}}_{b}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} _ {b}}$ (din rezolvarea problemei bifurcației lungi $u^{f}[\lambda ]$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda]}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda]}$ )

\Pi _{b}''{\dot {v}}_{b}\delta u=0\;\;,\;\;\forall \delta u\;\;,\;\;\|{\dot {v}}_{b}\|=1

{\ displaystyle \ Pi _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} \ delta u = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta u \; \ ;, \; \; \ | {\ punct {v}} _ {b} \ | = 1}

{\ displaystyle \ Pi _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} \ delta u = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta u \; \ ;, \; \; \ | {\ punct {v}} _ {b} \ | = 1}

[pasul 2]: calculul pantei post-critice ${\dot {\lambda }}_{b}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} _ {b}}$ a căii ramificate (de la prima condiție a ortogonalității Fredholm ):

{\dot {\lambda }}_{b}=-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\Pi _{b}'''{\dot {v}}_{b}}{{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}}}\;\;\Leftarrow \;\;\Pi _{b}'''{\dot {v}}_{b}^{3}+2{\dot {\lambda }}_{b}{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}=0\;\;

{\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} _ {b} = - {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b }} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b}}} \; \; \ Leftarrow \; \; \ Pi _ {b} '' '{ \ dot {v}} _ {b} ^ {3} +2 {\ dot {\ lambda}} _ {b} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2} = 0 \; \;}

{\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} _ {b} = - {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b }} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b}}} \; \; \ Leftarrow \; \; \ Pi _ {b} '' '{ \ dot {v}} _ {b} ^ {3} +2 {\ dot {\ lambda}} _ {b} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2} = 0 \; \;}

[pasul 3]: calculul modului de flambaj secundar ${\ddot {v}}_{b}$ ${\ displaystyle {\ ddot {v}} _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {v}} _ {b}}$ prin

\Pi _{b}''{\ddot {v}}_{b}\delta {\bar {u}}+\Pi _{b}'''{\dot {v}}_{b}^{2}\delta {\bar {u}}+2{\dot {\lambda }}_{b}{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}\delta {\bar {u}}=0\;\;,\;\;\forall \delta {\bar {u}}\;\;,\;\;,({\ddot {v}}_{b},\delta {\bar {u}})\in Ort({\dot {v}}_{b})=0

{\ displaystyle \ Pi _ {b} '' {\ ddot {v}} _ {b} \ delta {\ bar {u}} + \ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ { b} ^ {2} \ delta {\ bar {u}} + 2 {\ dot {\ lambda}} _ {b} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} \ delta {\ bar {u}} = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta {\ bar {u}} \; \ ;, \; \;, ({\ ddot { v}} _ {b}, \ delta {\ bar {u}}) \ în Ort ({\ dot {v}} _ {b}) = 0}

{\ displaystyle \ Pi _ {b} '' {\ ddot {v}} _ {b} \ delta {\ bar {u}} + \ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ { b} ^ {2} \ delta {\ bar {u}} + 2 {\ dot {\ lambda}} _ {b} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} \ delta {\ bar {u}} = 0 \; \ ;, \; \; \ forall \ delta {\ bar {u}} \; \ ;, \; \;, ({\ ddot { v}} _ {b}, \ delta {\ bar {u}}) \ în Ort ({\ dot {v}} _ {b}) = 0}

[pasul 4]: calculul curburii post-critice ${\ddot {\lambda }}_{b}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ lambda}} _ {b}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ lambda}} _ {b}}$ a căii ramificate (din a doua condiție de ortogonalitate Fredholm):

{\ddot {\lambda }}_{b}=-{\tfrac {1}{3}}{\frac {\Pi _{b}''''{\dot {v}}_{b}^{4}+3\Pi _{b}'''{\dot {v}}_{b}^{2}{\ddot {v}}_{b}+3{\dot {\lambda }}{\bigl (}{\hat {\Pi }}_{b}'''{\dot {v}}_{b}^{3}+{\hat {\Pi }}_{b}''{\ddot {v}}_{b}{\dot {v}}_{b}{\bigr )}+3{\dot {\lambda }}^{2}{\hat {\hat {\Pi }}}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}}{{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}}}\;\;\Leftarrow \;\;\Pi _{b}''''{\dot {v}}_{b}^{4}+3\Pi _{b}'''{\dot {v}}_{b}^{2}{\ddot {v}}_{b}+3{\dot {\lambda }}{\bigl (}{\hat {\Pi }}_{b}'''{\dot {v}}_{b}^{3}+{\hat {\Pi }}_{b}''{\ddot {v}}_{b}{\dot {v}}_{b}{\bigr )}+3{\dot {\lambda }}^{2}{\hat {\hat {\Pi }}}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}+3{\ddot {\lambda }}_{b}{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}=0

{\ displaystyle {\ ddot {\ lambda}} _ {b} = - {\ tfrac {1} {3}} {\ frac {\ Pi _ {b} '' '' {\ dot {v}} _ { b} ^ {4} +3 \ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {2} {\ ddot {v}} _ {b} +3 {\ dot {\ lambda}} {\ bigl (} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {3} + {\ hat {\ Pi}} _ {b } '' {\ ddot {v}} _ {b} {\ dot {v}} _ {b} {\ bigr)} + ​​3 {\ dot {\ lambda}} ^ {2} {\ hat { \ hat {\ Pi}}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v }} _ {b} ^ {2}}} \; \; \ Leftarrow \; \; \ Pi _ {b} '' '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {4} +3 \ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {2} {\ ddot {v}} _ {b} +3 {\ dot {\ lambda}} {\ bigl (} { \ hat {\ Pi}} _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {3} + {\ hat {\ Pi}} _ {b}' '{\ ddot {v} } _ {b} {\ dot {v}} _ {b} {\ bigr)} + ​​3 {\ dot {\ lambda}} ^ {2} {\ hat {\ hat {\ Pi}}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2} +3 {\ ddot {\ lambda}} _ {b} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ punct {v}} _ {b} ^ {2} = 0}

{\ displaystyle {\ ddot {\ lambda}} _ {b} = - {\ tfrac {1} {3}} {\ frac {\ Pi _ {b} '' '' {\ dot {v}} _ { b} ^ {4} +3 \ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {2} {\ ddot {v}} _ {b} +3 {\ dot {\ lambda}} {\ bigl (} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {3} + {\ hat {\ Pi}} _ {b } '' {\ ddot {v}} _ {b} {\ dot {v}} _ {b} {\ bigr)} + ​​3 {\ dot {\ lambda}} ^ {2} {\ hat { \ hat {\ Pi}}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v }} _ {b} ^ {2}}} \; \; \ Leftarrow \; \; \ Pi _ {b} '' '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {4} +3 \ Pi _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {2} {\ ddot {v}} _ {b} +3 {\ dot {\ lambda}} {\ bigl (} { \ hat {\ Pi}} _ {b} '' '{\ dot {v}} _ {b} ^ {3} + {\ hat {\ Pi}} _ {b}' '{\ ddot {v} } _ {b} {\ dot {v}} _ {b} {\ bigr)} + ​​3 {\ dot {\ lambda}} ^ {2} {\ hat {\ hat {\ Pi}}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2} +3 {\ ddot {\ lambda}} _ {b} {\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ punct {v}} _ {b} ^ {2} = 0}

[pasul 5]: reconstrucție până la al doilea ordin asimptotic al căii de echilibru ramificate $(u^{d},\lambda ^{d})$ ${\ displaystyle (u ^ {d}, \ lambda ^ {d})}$ ${\ displaystyle (u ^ {d}, \ lambda ^ {d})}$

Imperfecțiuni geometrice și de încărcare

O structură manifestă un fenomen de bifurcație a căilor de echilibru ca urmare a unei combinații ideale de formă geometrică și distribuție a sarcinilor aplicate: structura în acest caz se numește perfectă . În cazuri reale, în prezența unor abateri inevitabile, deși mici, de la această geometrie și de la această distribuție a sarcinilor ( imperfecțiuni geometrice și de sarcină ), structura imperfectă nu manifestă fenomenul bifurcației, ci, adesea, un fenomen de sarcină limită. Calea de echilibru a structurii imperfecte este totuși condiționată, în termeni calitativi și cantitativi, de căile de echilibru ale structurii de referință perfectă, chiar dacă poate prezenta diferențe semnificative în ceea ce privește capacitatea portantă (și în acest caz vorbim de sensibilitate la imperfecțiuni ).

În concluzie, pentru mici imperfecțiuni geometrice $\varepsilon {\tilde {u}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon {\ tilde {u}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon {\ tilde {u}}}$ și încărcare $\varepsilon {\tilde {p}}[\lambda ]$ ${\ displaystyle \ varepsilon {\ tilde {p}} [\ lambda]}$ ${\ displaystyle \ varepsilon {\ tilde {p}} [\ lambda]}$ , căile de echilibru ale structurii perfecte caracterizează cu cursul lor comportamentul unor familii întregi de structuri imperfecte, întrucât entitatea variază $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ imperfecţiune. În acest caz, abordarea perturbativă poate fi extinsă la reconstrucția căii de echilibru a structurii imperfecte, privind la Galerkin o soluție aproximativă a problemei de echilibru în aceeași varietate de bifurcație definită prin rezoluția structurii perfecte.

u[\xi ]=u^{f}[\lambda ]+\xi {\dot {v}}_{b}+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}{\ddot {v}}_{b}+\ldots \;\;,

{\ displaystyle u [\ xi] = u ^ {f} [\ lambda] + \ xi {\ dot {v}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} { \ ddot {v}} _ {b} + \ ldots \; \;,}

{\ displaystyle u [\ xi] = u ^ {f} [\ lambda] + \ xi {\ dot {v}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} { \ ddot {v}} _ {b} + \ ldots \; \;,}

dar redefinind linkul $\lambda -\xi$ ${\ displaystyle \ lambda - \ xi}$ ${\ displaystyle \ lambda - \ xi}$ conform

\lambda (1+\mu {\frac {\varepsilon }{\xi }})=\lambda _{b}+\xi {\dot {\lambda }}_{b}+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}{\ddot {\lambda }}_{b}+\ldots

{\ displaystyle \ lambda (1+ \ mu {\ frac {\ varepsilon} {\ xi}}) = \ lambda _ {b} + \ xi {\ dot {\ lambda}} _ {b} + {\ tfrac { 1} {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {\ lambda}} _ {b} + \ ldots}

{\ displaystyle \ lambda (1+ \ mu {\ frac {\ varepsilon} {\ xi}}) = \ lambda _ {b} + \ xi {\ dot {\ lambda}} _ {b} + {\ tfrac { 1} {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {\ lambda}} _ {b} + \ ldots}

prin introducerea coeficienților scalari adecvați $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ care parametrizează efectul imperfecțiunii geometrice sau a sarcinii:

\mu _{g}={\frac {{\hat {\Pi }}_{o}''{\tilde {u}}{\dot {v}}_{b}}{{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}}}\;\;,\;\;\mu _{p}={\frac {-{\tilde {p}}{\dot {v}}_{b}}{{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}}}

{\ displaystyle \ mu _ {g} = {\ frac {{\ hat {\ Pi}} _ {o} '' {\ tilde {u}} {\ dot {v}} _ {b}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}}} \; \ ;, \; \; \ mu _ {p} = {\ frac {- {\ tilde {p}} {\ dot {v}} _ {b}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}} }}

{\ displaystyle \ mu _ {g} = {\ frac {{\ hat {\ Pi}} _ {o} '' {\ tilde {u}} {\ dot {v}} _ {b}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}}} \; \ ;, \; \; \ mu _ {p} = {\ frac {- {\ tilde {p}} {\ dot {v}} _ {b}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}} }}

Această strategie permite să se ajungă la un tratament simplu cu un singur parametru (în termeni de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ) a influenței imperfecțiunilor asupra parcursului căii de echilibru a structurii imperfecte și, în special, asupra oricăror valori ale sarcinii limită. Cu alte cuvinte, în contextul unei abordări de analiză perturbativă, analiza sensibilității la imperfecțiuni se efectuează într-un mod simplu și eficient din punct de vedere al calculului: pentru fiecare nouă valoare a imperfecțiunii, reconstrucția căii de echilibru necesită doar rezoluția ex-novo a unei singure ecuații scalare neliniare.

Imperfecțiuni implicite: reconstrucție perturbativă a unui fenomen de sarcină limită

Există structuri care au o cale naturală de echilibru care tinde în mod natural să producă un fenomen de sarcină limită și pentru care o structură de referință perfectă nu este definită în mod unic. Acest caz este readus la tratamentul perturbativ anterior printr-o operație de extrapolare, pornind de la condițiile inițiale ale structurii, a unei căi de echilibru adecvate $\lambda \,{\hat {u}}$ ${\ displaystyle \ lambda \, {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle \ lambda \, {\ hat {u}}}$ presupus ca fundamental ^[8]

\Pi ''_{o}\,{\hat {u}}\,\delta u+{\hat {\Pi }}'_{o}\,\delta u=0\;\;,\;\;\forall \delta u

{\ displaystyle \ Pi '' _ {o} \, {\ hat {u}} \, \ delta u + {\ hat {\ Pi}} '_ {o} \, \ delta u = 0 \; \; , \; \; \ forall \ delta u}

{\ displaystyle \ Pi '' _ {o} \, {\ hat {u}} \, \ delta u + {\ hat {\ Pi}} '_ {o} \, \ delta u = 0 \; \; , \; \; \ forall \ delta u}

Această cale nu este de echilibru pentru structura atribuită, ci pentru o structură implicit definită care se manifestă de-a lungul $u^{f}[\lambda ]=\lambda \,{\hat {u}}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda] = \ lambda \, {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda] = \ lambda \, {\ hat {u}}}$ un fenomen de bifurcație. Cu alte cuvinte, extrapolarea căii fundamentale definește implicit o structură perfectă asociată cu structura inițială. Abaterea dintre cele două structuri este recuperată prin conceptul de imperfecțiune implicită , adică prin reconstituirea comportamentului structurii inițiale (care manifestă fenomenul de sarcină limită) în varietatea de bifurcație a structurii perfecte.

u[\xi ]=u^{f}[\lambda ]+\xi {\dot {v}}_{b}+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}{\ddot {v}}_{b}+\ldots \;\;,

{\ displaystyle u [\ xi] = u ^ {f} [\ lambda] + \ xi {\ dot {v}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} { \ ddot {v}} _ {b} + \ ldots \; \;,}

{\ displaystyle u [\ xi] = u ^ {f} [\ lambda] + \ xi {\ dot {v}} _ {b} + {\ tfrac {1} {2}} \ xi ^ {2} { \ ddot {v}} _ {b} + \ ldots \; \;,}

și redefinirea legăturii $\lambda -\xi$ ${\ displaystyle \ lambda - \ xi}$ ${\ displaystyle \ lambda - \ xi}$ prin adăugarea unui alt coeficient adecvat de imperfecțiune implicită legat de operația de extrapolare a căii fundamentale.

\lambda +{\frac {\mu [\lambda ]}{\xi }}=\lambda _{b}+\xi {\dot {\lambda }}_{b}+{\tfrac {1}{2}}\xi ^{2}{\ddot {\lambda }}_{b}+\ldots \;\;,\;\;\mu [\lambda ]={\tfrac {1}{2}}{\frac {{\Pi }_{o}'''{\hat {u}}^{2}{\dot {v}}_{b}}{{\hat {\Pi }}_{b}''{\dot {v}}_{b}^{2}}}\,\lambda ^{2}

{\ displaystyle \ lambda + {\ frac {\ mu [\ lambda]} {\ xi}} = \ lambda _ {b} + \ xi {\ dot {\ lambda}} _ {b} + {\ tfrac {1 } {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {\ lambda}} _ {b} + \ ldots \; \ ;, \; \; \ mu [\ lambda] = {\ tfrac {1} {2 }} {\ frac {{\ Pi} _ {o} '' '{\ hat {u}} ^ {2} {\ dot {v}} _ {b}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}}} \, \ lambda ^ {2}}

{\ displaystyle \ lambda + {\ frac {\ mu [\ lambda]} {\ xi}} = \ lambda _ {b} + \ xi {\ dot {\ lambda}} _ {b} + {\ tfrac {1 } {2}} \ xi ^ {2} {\ ddot {\ lambda}} _ {b} + \ ldots \; \ ;, \; \; \ mu [\ lambda] = {\ tfrac {1} {2 }} {\ frac {{\ Pi} _ {o} '' '{\ hat {u}} ^ {2} {\ dot {v}} _ {b}} {{\ hat {\ Pi}} _ {b} '' {\ dot {v}} _ {b} ^ {2}}} \, \ lambda ^ {2}}

Cazul bifurcației multiple

În cazul bifurcației simple, ipoteza este implicată că fenomenele de flambaj sunt dominate de singura neliniaritate asociată cu configurația critică realizată pentru cea mai mică valoare a parametrului de încărcare. Cu toate acestea, bifurcațiile simple izolate reprezintă un caz limitativ în complexitatea fenomenelor observabile în structurile subțiri unde, datorită optimizării efectuate în faza de proiectare, calea fundamentală prezintă o multiplicitate de puncte critice la valori foarte apropiate ale sarcinii , din care pleacă o multitudine de căi de echilibru ramificate: această situație se numește moduri multiple de flambaj. În aceste condiții, diferitele moduri critice pot interacționa între ele, influențând puternic comportamentul structurii. În special, aceste fenomene de interacțiune pot conferi structurii o sensibilitate puternică, în ceea ce privește reducerea capacității portante, la mici imperfecțiuni în forma geometrică a structurii sau în sarcinile aplicate. Astfel de fenomene de interacțiune trebuie, prin urmare, luate în considerare în analiză.

O generalizare a strategiei perturbative în cazul modurilor multiple (simultane sau aproape simultane) se obține luând în considerare în mod explicit această multiplicitate în forma în care se reconstituie calea de echilibru generică, folosind cea mai bogată varietate de bifurcații ^[9]

u=\lambda {\hat {u}}+\sum _{i=1}^{m}\xi _{i}{\dot {v}}_{i}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}{\ddot {w}}_{ij}

{\ displaystyle u = \ lambda {\ hat {u}} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ xi _ {i} {\ dot {v}} _ {i} + {\ tfrac {1 } {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} \ xi _ {i} \ xi _ {j} {\ ddot {w}} _ {ij}}

{\ displaystyle u = \ lambda {\ hat {u}} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ xi _ {i} {\ dot {v}} _ {i} + {\ tfrac {1 } {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} \ xi _ {i} \ xi _ {j} {\ ddot {w}} _ {ij}}

unde este

$u^{f}[\lambda ]=\lambda \,{\hat {u}}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda] = \ lambda \, {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle u ^ {f} [\ lambda] = \ lambda \, {\ hat {u}}}$ este calea fundamentală
${\dot {v}}_{(i=1,\ldots ,m)}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} _ {(i = 1, \ ldots, m)}}$ ${\ displaystyle {\ dot {v}} _ {(i = 1, \ ldots, m)}}$ sunt de m flambaj modurile luate în considerare în cadrul analizei, soluția adică următoarei probleme bifurcatie multiple de-a lungul traseului fundamental

\Pi ''[\lambda _{i}{\hat {u}}]{\dot {v}}_{i}\delta u=0\;,\;\forall \,\delta u\;,\;-\Pi _{b}'''{\hat {u}}_{b}{\dot {v}}_{i}{\dot {v}}_{j}=\delta _{ij}

{\ displaystyle \ Pi '' [\ lambda _ {i} {\ hat {u}}] {\ dot {v}} _ {i} \ delta u = 0 \ ;, \; \ forall \, \ delta u \ ;, \; - \ Pi _ {b} '' '{\ hat {u}} _ {b} {\ dot {v}} _ {i} {\ dot {v}} _ {j} = \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle \ Pi '' [\ lambda _ {i} {\ hat {u}}] {\ dot {v}} _ {i} \ delta u = 0 \ ;, \; \ forall \, \ delta u \ ;, \; - \ Pi _ {b} '' '{\ hat {u}} _ {b} {\ dot {v}} _ {i} {\ dot {v}} _ {j} = \ delta _ {ij}}

^[10]

${\ddot {w}}_{ij}$ ${\ displaystyle {\ ddot {w}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {w}} _ {ij}}$ sunt modurile secundare de flambaj asociate cu modurile primare, adică rezolvarea problemelor:

{\textstyle {\begin{cases}\Pi ''_{b}{\ddot {w}}_{ij}\delta u+\Pi '''_{b}{\dot {v}}_{i}{\dot {v}}_{j}\delta u=0\\\Pi _{b}{\hat {u}}{\dot {v}}_{i}{\ddot {w}}=0\\\Pi _{b}{\hat {u}}{\dot {v}}_{i}\delta u=0\end{cases}}(i,j=\{1,\ldots ,m\})}

{\ textstyle {\ begin {cases} \ Pi '' _ {b} {\ ddot {w}} _ {ij} \ delta u + \ Pi '' '_ {b} {\ dot {v}} _ { i} {\ dot {v}} _ {j} \ delta u = 0 \\\ Pi _ {b} {\ hat {u}} {\ dot {v}} _ {i} {\ ddot {w} } = 0 \\\ Pi _ {b} {\ hat {u}} {\ dot {v}} _ {i} \ delta u = 0 \ end {cases}} (i, j = \ {1, \ ldots, m \})}

{\ textstyle {\ begin {cases} \ Pi '' _ {b} {\ ddot {w}} _ {ij} \ delta u + \ Pi '' '_ {b} {\ dot {v}} _ { i} {\ dot {v}} _ {j} \ delta u = 0 \\\ Pi _ {b} {\ hat {u}} {\ dot {v}} _ {i} {\ ddot {w} } = 0 \\\ Pi _ {b} {\ hat {u}} {\ dot {v}} _ {i} \ delta u = 0 \ end {cases}} (i, j = \ {1, \ ldots, m \})}

Proiecția Galerkin a problemei de echilibru în colectorul de bifurcație dă relațiile de legătură dintre parametrii scalari m + 1 $(\lambda ,\xi _{1},\ldots ,\xi _{m})$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {m})}$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {m})}$ care finalizează reconstrucția traseului. În cazul unei căi fundamentale cu mici schimbări precritice, aceste relații sunt simplificate în

\xi _{k}(\lambda -\lambda _{k})=+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}{\mathcal {A}}_{ijk}+{\tfrac {1}{6}}\sum _{i,j,h=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}\xi _{h}{\mathcal {B}}_{ijhk}\;,\;\;\{k=1,\ldots ,m\}

{\ displaystyle \ xi _ {k} (\ lambda - \ lambda _ {k}) = + {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} \ xi _ { i} \ xi _ {j} {\ mathcal {A}} _ {ijk} + {\ tfrac {1} {6}} \ sum _ {i, j, h = 1} ^ {m} \ xi _ { i} \ xi _ {j} \ xi _ {h} {\ mathcal {B}} _ {ijhk} \ ;, \; \; \ {k = 1, \ ldots, m \}}

{\ displaystyle \ xi _ {k} (\ lambda - \ lambda _ {k}) = + {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} \ xi _ { i} \ xi _ {j} {\ mathcal {A}} _ {ijk} + {\ tfrac {1} {6}} \ sum _ {i, j, h = 1} ^ {m} \ xi _ { i} \ xi _ {j} \ xi _ {h} {\ mathcal {B}} _ {ijhk} \ ;, \; \; \ {k = 1, \ ldots, m \}}

cu forme cubice și quartice definite de

{\mathcal {A}}_{ijk}=\Pi '''_{b}{\dot {v}}_{i}{\dot {v}}_{j}{\dot {v}}_{k}\;\;\,\;\;{\mathcal {B}}_{ijhk}=\Pi ''''_{b}{\dot {v}}_{i}{\dot {v}}_{j}{\dot {v}}_{h}{\dot {v}}_{k}-\Pi ''_{b}({\ddot {w}}_{ij}{\ddot {w}}_{hk}+{\ddot {w}}_{ih}{\ddot {w}}_{jk}+{\ddot {w}}_{ik}{\ddot {w}}_{jh})

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {ijk} = \ Pi '' '_ {b} {\ dot {v}} _ {i} {\ dot {v}} _ {j} {\ dot { v}} _ {k} \; \; \, \; \; {\ mathcal {B}} _ {ijhk} = \ Pi '' '' _ {b} {\ dot {v}} _ {i} {\ dot {v}} _ {j} {\ dot {v}} _ {h} {\ dot {v}} _ {k} - \ Pi '' _ {b} ({\ ddot {w}} _ {ij} {\ ddot {w}} _ {hk} + {\ ddot {w}} _ {ih} {\ ddot {w}} _ {jk} + {\ ddot {w}} _ {ik} {\ ddot {w}} _ {jh})}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {ijk} = \ Pi '' '_ {b} {\ dot {v}} _ {i} {\ dot {v}} _ {j} {\ dot { v}} _ {k} \; \; \, \; \; {\ mathcal {B}} _ {ijhk} = \ Pi '' '' _ {b} {\ dot {v}} _ {i} {\ dot {v}} _ {j} {\ dot {v}} _ {h} {\ dot {v}} _ {k} - \ Pi '' _ {b} ({\ ddot {w}} _ {ij} {\ ddot {w}} _ {hk} + {\ ddot {w}} _ {ih} {\ ddot {w}} _ {jk} + {\ ddot {w}} _ {ik} {\ ddot {w}} _ {jh})}

Această strategie de analiză, care extinde teoria lui Koiter a modurilor multiple la valori de încărcare coincidente la cazul modurilor multiple cvasi-simultane, oferă o descriere concisă, în varietatea bifurcațiilor, a comportamentului energetic complex al structurii și al fenomene de interacțiune.modale. Relaţii $(\lambda ,\xi _{1},\ldots ,\xi _{m})$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {m})}$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {m})}$ condensează neliniaritățile majore ale comportamentului structural și, prin urmare, sunt puternic neliniare. Cu toate acestea, dimensiunea redusă a sistemului (numărul m de noduri luate în considerare) facilitează rezolvarea cu ajutorul instrumentelor de analiză standard.

Analiza sensibilității la imperfecțiuni

Datorită distribuției aleatorii a imperfecțiunilor, o analiză precisă a sensibilității trebuie să ia în considerare o gamă largă de imperfecțiuni posibile, variind atât în formă, cât și în formă. $({\tilde {p}}[\lambda ],{\tilde {u}})$ ${\ displaystyle ({\ tilde {p}} [\ lambda], {\ tilde {u}})}$ ${\ displaystyle ({\ tilde {p}} [\ lambda], {\ tilde {u}})}$ decât ca entitate $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ . Într-o abordare perturbativă în stil Koiter, se poate obține cu ușurință o evaluare suficient de aproximativă a căilor de echilibru ale structurilor imperfecte și la costuri de calcul limitate, căutând soluția problemei de echilibru a structurii imperfecte în aceeași varietate de bifurcație definită de rezoluția structurii perfecte

u=\lambda {\hat {u}}+\sum _{i=1}^{m}\xi _{i}{\dot {v}}_{i}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}{\ddot {w}}_{ij}

{\ displaystyle u = \ lambda {\ hat {u}} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ xi _ {i} {\ dot {v}} _ {i} + {\ tfrac {1 } {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} \ xi _ {i} \ xi _ {j} {\ ddot {w}} _ {ij}}

{\ displaystyle u = \ lambda {\ hat {u}} + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ xi _ {i} {\ dot {v}} _ {i} + {\ tfrac {1 } {2}} \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} \ xi _ {i} \ xi _ {j} {\ ddot {w}} _ {ij}}

Prezența imperfecțiunilor într-o astfel de abordare redefinește pur și simplu veriga finală $(\lambda ,\xi _{1},\ldots ,\xi _{m})$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {m})}$ $(\lambda ,\xi _{1},\ldots ,\xi _{m})$

\varepsilon (\lambda \,\Pi _{b}'''{\tilde {u}}{\hat {u}}{\dot {v}}_{k}+{\tilde {p}}[\lambda ]{\dot {v}}_{k})+\xi _{k}(\lambda -\lambda _{k})=+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}{\mathcal {A}}_{ijk}+{\tfrac {1}{6}}\sum _{i,j,h=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}\xi _{h}{\mathcal {B}}_{ijhk}\;,\;\;\{k=1,\ldots ,m\}

\varepsilon (\lambda \,\Pi _{b}'''{\tilde {u}}{\hat {u}}{\dot {v}}_{k}+{\tilde {p}}[\lambda ]{\dot {v}}_{k})+\xi _{k}(\lambda -\lambda _{k})=+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}{\mathcal {A}}_{ijk}+{\tfrac {1}{6}}\sum _{i,j,h=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}\xi _{h}{\mathcal {B}}_{ijhk}\;,\;\;\{k=1,\ldots ,m\}

\varepsilon (\lambda \,\Pi _{b}'''{\tilde {u}}{\hat {u}}{\dot {v}}_{k}+{\tilde {p}}[\lambda ]{\dot {v}}_{k})+\xi _{k}(\lambda -\lambda _{k})=+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}{\mathcal {A}}_{ijk}+{\tfrac {1}{6}}\sum _{i,j,h=1}^{m}\xi _{i}\xi _{j}\xi _{h}{\mathcal {B}}_{ijhk}\;,\;\;\{k=1,\ldots ,m\}

con l'aggiunta di alcuni coefficienti scalari che unici tengono conto dell'effetto delle imperfezioni.

Comunque, mentre nel caso di biforcazione semplice l'unico modo di buckling esauriva lo spazio delle forme delle imperfezioni significative ai fini dell'analisi, nel caso di m modi multipli una completa analisi di sensibilità alle imperfezioni deve essere eseguita nel relativo spazio m -dimensionale ( $\infty ^{m}$ $\infty ^{m}$ $\infty ^{m}$ possibili imperfezioni). Si dimostra tuttavia che le distribuzioni di imperfezioni più significative per l'analisi sono quelle associate a direzioni di minimo/massimo delle forme cubiche e quartiche $({\mathcal {A}}_{ijk},{\mathcal {B}}_{ijhk})$ $({\mathcal {A}}_{ijk},{\mathcal {B}}_{ijhk})$ $({\mathcal {A}}_{ijk},{\mathcal {B}}_{ijhk})$ del problema. ^[11]

Note

^ Euler , 1744.
^ riassunto in ( Timoshenko and Gere, 1961)
^ Koiter , 1945.
^ Elishakoff, 2000.
^ Un parere non concorde sul ruolo di Koiter è espresso in Villaggio, 2001.
^ si veda pe: (Pignataro et a., 1982) e (Casciaro et al., 1991, 1992).
^ La notazione di analisi funzionale utilizzata richiama quella suggerita in (Budiansky, 1974).
^ ^a ^b vedi (Casciaro et a., 1991, 1992)
^ vedi (Casciaro et a., 1991, 1992), (Salerno & Casciaro, 1997), (Lanzo & Garcea, 1996)
^ $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ $\delta _{{ij}}$ è il simbolo di Kronecker .
^ teoria dei percorsi di minimo di Ho (1974), Koiter (1976) e Salerno (1997).

Bibliografia

Budiansky B., 1974. Theory of Buckling and Post-Buckling Behavior of Elastic Structures. Advances in Applied Mechanics Volume 14, 1974, Pages 1–65.
Casciaro, R., Lanzo, AD and Salerno, G., 1991. Computational problems in elastic structural stability. In: Nonlinear Problems in Engineering (C. Carmignani and G. Maino eds.). World Scientific publ., Singapore.
Casciaro, R., Salerno, G. and Lanzo, AD, 1992. Finite element asymptotic analysis of slender elastic structures: a simple approach. Int. J. Num. Meth. Eng. , vol 35, pp 1397–1426.
Elishakoff, I., 2000. Elastic stability: from Euler to Koiter there was none like Koiter. Meccanica , vol 35, pp 375–380.
Euler, L. , 1744. Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes (Appendix, De Curvis Elasticis) . Marcum Michaelem Bosquet, Lausanne.
Godoy, LA, 1999. Theory of elastic stability: analysis and sensitivity . Taylor & Francis, Philadelphia (USA). isbn 1-56032-857-6.
Ho, D, 1974. Buckling load of nonlinear systems with multiple eigenvalues, Int. J. Solids Struct. , vol 10, pp. 1315–1330.
Koiter, WT , 1945. Over de stabiliteit van het elastische evenwicht . Dissertation, Delft, Holland (Translation: On the Stability of Elastic Equilibrium , NASA TT-F-10833, 1967 and AFFDL-TR-70-25, 1970).
Koiter, WT, 1976. Current trend in the theory of buckling, in B. Budiansky (ed.), Buckling of structures , Proc. of IUTAM Symposium, Cambridge 1974, Springer—Verlag, Berlin.
Lanzo, AD, Garcea, G., 1996. Koiter's analysis of thin-walled structures by a finete element approach. Int. J. Num. Meth. Eng. , vol. 39 (17), pp 3007–3031.
Lyapunov Aleksandr Michajlovič , 1983. The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English translations: (1) Stability of Motion , Academic Press, New-York & London, 1966 (2) The General Problem of the Stability of Motion , (AT Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992. Included is a biography by Smirnov and an extensive bibliography of Lyapunov's work.
Pignataro, M., Di Carlo, A. and Casciaro, R., 1982. On nonlinear beam model from the point of view of computational post—buckling analysis. Int. J. Solids Structures , vol 18 (4), pp 327–347.
Salerno, G., Casciaro, R., 1997. Jumping mode and attractive paths in multimode elastic buckling, Int. J. Num. Meth. Eng. , vol. 40 (5), pp 833–861.
Thompson, JMT, 1982. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. John Wiley and Sons, Chichester, New York.
Timoshenko, SP , Gere, JM, 1961. Theory of Elastic Stability. McGraw-Hill, New York.
Villaggio, Piero , 2001. Distorsions in the History of Mechanics. Meccanica , vol. 36, pp 589–592.

Voci correlate

Portale Ingegneria

Portale Matematica

[1] Euler , 1744.

[2] riassunto in ( Timoshenko and Gere, 1961)

[3] Koiter , 1945.

[4] Elishakoff, 2000.

[5] Un parere non concorde sul ruolo di Koiter è espresso in Villaggio, 2001.

[6] si veda pe: (Pignataro et a., 1982) e (Casciaro et al., 1991, 1992).

[7] La notazione di analisi funzionale utilizzata richiama quella suggerita in (Budiansky, 1974).

[Casciaro-8] vedi (Casciaro et a., 1991, 1992)

[9] vedi (Casciaro et a., 1991, 1992), (Salerno & Casciaro, 1997), (Lanzo & Garcea, 1996)

[10] $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ $\delta _{{ij}}$ è il simbolo di Kronecker .

[11] teoria dei percorsi di minimo di Ho (1974), Koiter (1976) e Salerno (1997).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]