Metoda elementului finit

Metoda elementului finit (FEM, metoda elementelor finite în limba engleză) este o tehnică numerică adaptată pentru a căuta soluții aproximative la problemele descrise de ecuația diferențială parțială prin reducerea acesteia la un sistem de ecuații algebrice .

Deși se concurează în anumite zone limitate cu alte strategii numerice ( metoda de diferență finită , metoda de volum finit , metoda elementelor de delimitare , metoda celulei , metodă spectrală etc.), FEM menține o poziție dominantă în panorama tehnicilor numerice aproximarea și reprezintă nucleul de o mare parte a codurilor de analiză automate disponibile în comerț.

În general, metoda elementului finit se pretează foarte bine la rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale atunci când domeniul are o formă complexă (cum ar fi șasiul unei mașini sau motorul unui avion), atunci când domeniul este variabilă (de exemplu , un solid de reacție de stat , cu condiții la limită variabile), atunci când precizia necesară a soluției nu este omogenă pe domeniul (într - un test de accident pe o mașină, precizia necesară este mai mare în apropierea zonei de impact) și atunci când soluția solicitată lipsește de regularitate. În plus, metoda este la baza " analiza cu element finit .

fundal

Metoda elementelor finite este originea în nevoia de rezolvare a problemelor complexe de analiză elastică și structurală în domeniul " inginerie civilă și aeronautică . ^[1] Originile metodei pot fi urmărite înapoi la anii 1930 - 35 cu activitatea AR Guler și WJ Duncan, ^[2] , care introduc o formă primitivă a unui element structural în rezolvarea unei probleme aeroelasticitate , iar anii 1940 - 41 cu lucrarea lui Alexandru Hrennikoff și Richard Courant , în cazul în care atât, deși în diferite abordări, în comun ideea de a împărți domeniul problemei în subdomeniile formă simplă (elemente finite). ^[3]

Cu toate acestea, nașterea efectivă și dezvoltarea metodei elementului finit a avut loc în a doua jumătate a anilor 1950 cu contribuția fundamentală a MJ (Jon) Turner de Boeing , care a formulat și perfecționat metoda directă Rigiditate , prima abordare a elementelor sa încheiat în domeniul de continuitate. Turner a constatat răspândirea de lucru afară din zonele de inginerie îngustă industria aerospațială, inginerie civilă, în special prin lucrarea lui John Argyris la " Universitatea din Stuttgart (care , în acei ani au propus o unificare formală a metodei de flexibilitate și metoda deplasărilor sistematiza conceptul de asamblare a relațiilor unui sistem structural pornind de la elementele componente ale rapoartelor) și Ray W. Clough la " Universitatea din Berkeley ^[4] (care a vorbit mai întâi FEM și a căror colaborare cu Turner a dat naștere muncă celebru, ^[5] a considerat ca începutul FEM moderne).

Alte contribuții fundamentale la istoria FEM sunt cele ale BM Irons, care sunt din cauza elementelor isoparametric , conceptul de forma, funcția de testare patch - uri și Solver frontală (un algoritm pentru rezoluția algebrice sistem liniar), RJ Melosh , care încadrează FEM în metodele clasei Rayleigh-Ritz și sistematizate sale formulare variațional (o expunere riguroasă și faimos a fundamentelor matematice ale metodei a fost , de asemenea , furnizate în 1973 de către Strang și Fix ^[6] ) și ELWilson, că dezvoltarea proiectului mai întâi (și pe scară largă imitat) FEM software - ul open source , care a dat origine la SAP . ^[7]

În 1967 Zienkiewicz a publicat prima carte pe elementul finit. De la începutul anilor 70 , FEM a găsit difuzie ca strategie de modelare numerică a sistemelor fizice într - o largă varietate de discipline de inginerie, de exemplu electromagnetism , ^[8] ^[9] dinamica fluidelor , calculul structural și geotehnice . Din ce în ce de-a lungul anilor s- au născut o mare parte din codurile FEM comerciale ( Nastran, ADINA, ANSYS, ABAQUS, SAMCEF, MESHPARTS, etc ) sunt încă disponibile.

Operațiune

Exemplu de grilă sau grilă de calcul; rețineți că grila este mai densă în apropierea obiectului de interes.

Metoda FEM este aplicată corpurile fizice care pot fi divizate într-un anumit număr, chiar foarte mare, de elemente de formă definită și de dimensiuni mici. In continuum, fiecare element finit unic este considerat un câmp de integrare numerică a caracteristicilor omogene.

Caracteristica principală a metodei elementului finit este discretizarea prin crearea unei rețele ( mesh ) compusă din primitivelor (elemente finite) de formă codificată (triunghiuri și patrulatere pentru Domenii 2D , tetraedre si Hexaedru pentru Domenii 3D ). Pe fiecare element este caracterizat prin această formă de bază, se presupune a fi exprimată prin soluția problemei o combinație liniară a funcțiilor funcții de bază sau de anumite funcții de formă (funcțiile formă). Trebuie remarcat faptul că, uneori, funcția este aproximat, iar valorile exacte ale funcției nu va fi neapărat cele calculate în puncte, dar valorile care vor oferi cea mai mică eroare pe întreaga soluție.

Exemplul tipic este acela care se referă la funcțiile polinomiale, astfel încât soluția generală a problemei este aproximată cu o funcție polinomială în bucăți. Numărul de coeficienți care identifică soluția pe fiecare element este, prin urmare, legată de gradul de polinomului ales. Aceasta, la rândul său, reglementează precizia numerică soluția găsită.

În forma sa originală, și încă mai răspândită, metoda elementului finit este utilizat pentru a rezolva probleme pe baza legilor constitutive liniare. Probleme de stres sunt tipice - deformări în domeniul elastic, difuzia căldurii în interiorul unui corp material. Unele soluții mai rafinate permit să exploreze comportamentul materialelor chiar și într-un domeniu extrem de non-liniar, hypothesizing comportamente de plastic sau visco-plastice. În plus, ei consideră uneori probleme cuplate, în care puteți rezolva simultan mai multe aspecte complementare legate de fiecare pe cont propriu de analiza FEM separată. Tipic în acest sens este problema geotehnica a comportamentului unui (câmp geomecanic) solului dat în prezența unor mișcări de filtrare a apei subterane (hidrogeologice).

Metoda elementului finit este o parte a clasei metodei Galerkin , al cărui punct de plecare este așa-numita formulare slabă a unei probleme diferențiale. Această formulare, bazată pe conceptul de derivat în sensul distribuțiilor , ale Lebesgue integral și a mediei ponderate (prin intermediul unor funcții adecvate numite funcții de test ), are marele avantaj de a necesita din soluție caracteristici realiste de regularitate pentru (aproape) toate inginerie probleme și este , prin urmare , un instrument foarte util descriptiv. Metodele de tip Galerkin se bazează pe ideea de aproximare a soluției problemei scrisă în formă slabă prin intermediul unei combinații liniare de funcții de formă elementare. Coeficienții acestei combinații liniare (de asemenea, numit „grade de libertate“) devin necunoscutele problemei algebrice obținute prin discretizarii. Elementele finite se disting prin alegerea funcțiilor de bază polinomiale pe porțiuni. Alte metode de tip Galerkin, cum ar fi metode spectrale utilizează diferite funcții de bază.

Pași pentru a ajunge la modelul

Pentru a ajunge la modelul la elementele finale, urmăm pașii fundamentali, fiecare implicând introducerea erorilor în soluția finală:

Modelarea: această fază este prezentă în toate studiile de inginerie: ne deplasăm de la sistemul fizic la un model matematic, care abstractizează unele aspecte de interes din sistemul fizic, concentrându-și atenția asupra câteva variabile agregate de interes și „filtrarea“ cele rămase. De exemplu, atunci când se calculează momentul de încovoiere al unei grinzi, interacțiuni la nivel molecular nu sunt luate în considerare. Sistemul fizic, dacă complex este divizat în subsisteme. În cazul în cauză nu este necesar, sau se poate presupune că aceasta este o parte care aparține unui sistem mai complex, de exemplu, o navă sau un avion. Subsistemul va fi apoi împărțită în elemente finite la care vor fi aplicate un model matematic. Spre deosebire de tratamentele analitice, este suficient ca modelul matematic ales este potrivit pentru simple geometriile elementelor finite. Alegerea unui tip de element într-un program software este echivalent cu o alegere implicită a modelului matematic care stă la baza acesteia. Eroarea care poate duce la utilizarea unui model trebuie să fie evaluată cu teste experimentale, o operație care este, în general costisitoare în termeni de timp și resurse.
DISCRETIZAREA: într-o simulare numerică este necesar să se treacă de la un număr infinit de grade de libertate (condiții corespunzătoare la „continuum“) la un număr finit (situație corespunzătoare la rețea). Discretizarea, în spațiu sau timp, își propune să obțină un model discret caracterizat printr-un număr finit de grade de libertate. O eroare este inserata dată de diferența cu soluția exactă a modelului matematic. Această eroare poate fi evaluată în mod corespunzător în cazul în care există un model matematic adecvat pentru întreaga structură (deci preferabilă utilizarea în ceea ce privește analiza FEM) și în absența erorilor de calcul numeric, acest lucru poate fi considerat adevărat folosind calculatoare electronice.

Caracteristicile elementelor

Fiecare element este caracterizat prin:

Dimensiune: 1D, 2D, 3D.
Nodurile: puncte precise ale elementului care identifică geometria acestuia. Fiecare nod al elementului este asociat cu valoarea unui câmp sau a gradientului care afectează întreaga structură. În cazul unor elemente mecanice, acest domeniu este cel al reacțiilor constrângătoare și deplasări (deplasări).
Grade de libertate : valori posibile care pot lua câmpurile sau gradienții în nodurile, două noduri adiacente au aceleași valori.
Forțele de pe nodurile: forțele externe aplicate la noduri sau efectul reacțiilor de sprijin. Există o relație între dualitate forțe de constrângere și reacțiile. Spus $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ Mathbf f$ vectorul forțelor externe pe un nod ed $\mathbf {u}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ Mathbf u}$ vectorul DOF (din limba engleză „gradul de libertate“, grade de libertate), se presupune liniaritate între $\mathbf {f}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ Mathbf f$ Și $\mathbf {u}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ Mathbf u}$ :

\mathbf {Ku} =\mathbf {f}

{\ Displaystyle \ mathbf {Ku} = \ mathbf {f}}

{\ Mathbf {Ku}} = {\ mathbf {f}}

unde este

\mathbf {K}

{\ Displaystyle \ mathbf {K}}

{\ Mathbf K}

Este nevoie de numele rigiditate matrice (matricea de rigiditate). Această relație identifică dualitatea dintre forțele externe și deplasări. Produsul scalar

\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}

{\ Displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}

{\ Mathbf {f}} \ cdot {\ mathbf {u}}

acesta este asociat cu valoarea lucrărilor efectuate de către forțe externe. Tăria termeni, imobilizarea de reacție și matricea de rigiditate, se extind dincolo de domeniul de aplicare al structurilor mecanice în care sa născut analiza FEM.

Proprietăți constitutive: proprietățile elementului și comportamentul său. Apoi, un material izotrop cu un comportament liniar elastic va fi definit, definit ca modul Young și raportul unui Poisson.
Solutia unui sistem de ecuații, inclusiv cele neliniare, rezolvată numeric de calculator. O eroare numerică neglijabilă este introdusă în cazul sistemelor liniare, cum ar fi cea analizată.

Tipologia elementelor finite

Toate programele care folosesc metoda elementului finit pentru analiza structurală sunt echipate cu o bibliotecă de elemente finite (în intervalul liniar elastic , dar și în elasto-plastic) unidimensional, bidimensional și tridimensional , în scopul facilitării modelarea unei structuri reale.

Cele mai frecvente sunt următoarele.

unidimensional:
- tijă sau tija de conectare sau grindă cu zăbrele: elementul rectiliniu 2 noduri care are rigiditate doar compensează și , prin urmare , este adaptat să transmită numai forțe axiale. Acesta este utilizat în mod normal pentru modelarea structurilor cu zăbrele.
- grindă sau grindă: element de rectiliniu 2 noduri capabile să transfere la nodurile la care este conectat rigidități pentru toate cele 6 grade de libertate și , prin urmare , adaptate să transmită toate tipurile de tensiuni (forțe axiale și forfecare și încovoiere și răsucire momente). Acesta este utilizat pentru modelarea structurilor încadrate. Unele programe posedă , de asemenea , elementul grindă pe sol elastic Winkler pentru modelarea grinzilor de fundație pe fundație elastic.
- resort sau arc sau delimitare: elementul rectiliniu la două noduri echipate cu axiale și / sau rigiditate la rotire folosite pentru a modela diverse tipuri de constrângere elastice , cum ar fi deplasările impuse;
- disc sau rigel: element de 2 noduri infinit rigide rectilinii folosite pentru a modela o legătură infinit rigidă între două elemente finite;
bidimensional:
- placă sau plan de stres: element de podea 3 sau 4 noduri pentru stări de stres plan care are doar două grade de libertate pentru nodul corespunzător mișcării de translație în planul său (rigiditatea membranei) și , prin urmare , adaptat să transmită numai eforturile de-a lungul planului ei. Aceasta nu transferă nicio rigiditate pentru alte grade de libertate. Folosit pentru modelarea structurilor încărcate în propriul lor plan;
- placă: Element plat cu 3 sau 4 noduri care are doar trei grade de libertate pe nod corespunzător perpendiculara translație pe planul său și rotații în raport cu cele două axe situate în plan (rigiditatea la încovoiere) și , prin urmare , capabile să transmită numai forța de forfecare și încovoiere 2 momente. Aceasta nu transferă nicio rigiditate pentru alte grade de libertate. Folosit pentru modelarea încovoiat structuri bidimensionale. Unele software-ul, de asemenea, placa Winkler pe elementul de la sol utilizat pentru modelarea dale de fundație pe teren elastic;
- placă-placă sau coajă sau coajă: element de podea 3 sau 4 noduri constituite prin suprapunerea plăcii elementului și elementul de placă și , prin urmare , are atât rigiditate la încovoiere care membrană.
- tulpina plan sau tulpina plan: element de podea 3 sau 4 noduri pentru stări de suprasolicitare plan care are doar două grade de libertate pentru nodul corespunzător mișcării de translație în planul său. Aceasta nu transferă nicio rigiditate pentru alte grade de libertate. Este utilizat pentru modelarea structurilor în care grosimea este predominantă în ceea ce privește celelalte dimensiuni și plate, unde deformarea în grosimea poate fi considerată prevenită și, prin urmare, starea de deformare este considerată în analiza secțiunilor de conducte sau de reținere pereți.
- axisimetric : Element etaj 3 sau 4 noduri care reprezintă un sector al radiantul unei structuri simetrie radială. Acest element este folosit pentru structuri solide model obținut prin rotația care se obține simetria radială a analiza numai un sector al structurii amplitudinii unui radian. Fiecare nod are 2 grade de libertate corespunzătoare traducerile în planul său;
tri-dimensională:
- cărămidă sau element de solid: 4-27 element de noduri care posedă doar trei grade de libertate pentru nodul corespunzător celor trei traduceri. Aceasta nu transferă nicio rigiditate pentru alte grade de libertate. Este un element finit capabil de a modela elemente structurale solide, în care, adică, nu există o dimensiune neglijabilă în comparație cu celelalte. Acest element este capabil să interpreteze o stare de stres tridimensional. Folosit de exemplu pentru a stratigrafiei model de sol.

noduri

Definirea geometriei modelului care idealizează structura reală se realizează prin noduri care introduc sau punctele nodale, pe structura în corespondență cu punctele caracteristice.

La poziționarea nodurilor de pe structura, trebuie să fie luate în considerare anumite considerente:

numărul de noduri trebuie să fie suficiente pentru a descrie geometria structurii. De exemplu, în corespondență cu conexiunea grindă-stâlp, se schimbă în direcția etc.
nodurile trebuie să fie, de asemenea, poziționate la punctele și pe breaklines. De exemplu, în cazul în care caracteristicile materialelor, caracteristicile secțiunilor etc. se schimbă.
nodurile pot fi plasate în puncte care nu sunt necesare pentru definirea geometrică a structurii, dar ale cărei deplasări și tensiuni interne să fie cunoscute
în cazul în care software-ul nu-l prevede, nodurile trebuie să fie poziționate la punctele în care se aplică sarcini concentrate sau mase nodale
noduri trebuie să fie plasate în toate punctele pentru a fi constrânsă
în cazul structurilor bidimensionale (plăci, dale, etc.) , divizare (mesh) în elemente finite bidimensionale trebuie să fie suficient de dens pentru a înțelege schimbările de suprasolicitare sau deplasarea în regiuni importante pentru analiză.

Formularea unidimensional pentru ecuații de ordinul doi

Să o ecuație diferențială parțială prezentată sub forma:

-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+\sigma \left(x\right)\cdot u\left(x\right)=f\left(x\right)

{\ Displaystyle - {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ stânga (\ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ dreapta) + \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) = f \ stânga (x \ dreapta)}

- {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ stânga (\ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ dreapta) + \ sigma \ left (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) = f \ stânga (x \ dreapta)

sunt limitate la domeniul $\left[a,b\right]$ ${\ displaystyle \ left [a, b \ right]}$ $\ Stânga [a, b \ dreapta]$ și condiții limită :

u\left({\vec {x}}\right)={\vec {u_{x}}}

{\ Displaystyle u \ left ({\ vec {x}} \ dreapta) = {\ vec {u_ {x}}}}

u \ stânga ({\ vec {x}} \ dreapta) = {\ vec {u _ {{x}}}}

unde este ${\vec {x}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ Vec {x}}$ este un vector care conține punctele $\partial \left[a,b\right]$ ${\ Displaystyle \ parțial \ stânga [a, b \ right]}$ $\ Parțial \ stânga [a, b \ dreapta]$ Și ${\vec {u_{x}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u_ {x}}}}$ ${\ Vec {u _ {{x}}}}$ este un vector ce conține valorile asumate de către funcția $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ la astfel de puncte. Condițiile exprimate în această formă sunt , de asemenea , numite Dirichlet . Puteți oferi , de asemenea , ca și condiții limită valoarea asumată de prima derivată a funcției, și în acest caz , ele sunt numite condiții de Neumann .

Metoda elementului finit presupune multiplicarea ambii membri printr-o funcție de testare $v\left(x\right)$ ${\ V displaystyle \ stânga (x \ dreapta)}$ $v \ stânga (x \ dreapta)$ :

-v\left(x\right)\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+v\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot u\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot f\left(x\right)(\forall v\left(x\right))

{\ Displaystyle -v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ stânga (\ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} { \ x parțial}} \ dreapta) + v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) = v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) (\ forall v \ stânga (x \ dreapta))}

-v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ stânga (\ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțială }} \ dreapta) + v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) = v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga ( x \ dreapta) (\ forall v \ stânga (x \ dreapta))

Integrarea ambelor membri pe domeniul duce la:

\int _{a}^{b}-v\left(x\right)\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)dx+\int _{a}^{b}v\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot u\left(x\right)dx=\int _{a}^{b}v\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx(\forall v\left(x\right))

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} -v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ stânga (\ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ dreapta) dx + \ int _ {a} ^ {b} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) dx = \ int _ {a} ^ {b} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx (\ forall v \ stânga (x \ dreapta ))}

\ Int _ {{a}} ^ {{b}} - v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ stânga (\ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ dreapta) dx + \ int _ {{a}} ^ {{b}} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga ( x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) dx = \ int _ {{a}} ^ {{b}} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx ( \ FORALL v \ stânga (x \ dreapta))

Exploatând " integrarea prin părți este posibil să se extindă primul termen:

\int _{a}^{b}{\frac {\partial v}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot \alpha \left(x\right)dx-\left[v\left(x\right)\cdot \alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\right]_{a}^{b}+\int _{a}^{b}v\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot u\left(x\right)dx=

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ v parțială} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ stânga ( x \ dreapta) dx- \ stânga [v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ right] _ {a } ^ {b} + \ int _ {a} ^ {b} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) dx =}

\ Int _ {{a}} ^ {{b}} {\ frac {\ v parțială} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ la stânga (x \ dreapta) dx- \ stânga [v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ right] _ { {a}} ^ {{b}} + \ int _ {{a}} ^ {{b}} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga ( x \ dreapta) dx =

=\int _{a}^{b}v\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx(\forall v\left(x\right))

{\ Displaystyle = \ int _ {a} ^ {b} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx (\ forall v \ stânga (x \ dreapta))}

= \ Int _ {{a}} ^ {{b}} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx (\ forall v \ stânga (x \ dreapta))

asa de:

\int _{a}^{b}{\frac {\partial v}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot \alpha \left(x\right)dx+\int _{a}^{b}v\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot u\left(x\right)dx=

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ v parțială} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ stânga ( x \ dreapta) dx + \ int _ {a} ^ {b} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) dx =}

\ Int _ {{a}} ^ {{b}} {\ frac {\ v parțială} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ la stânga (x \ dreapta) dx + \ int _ {{a}} ^ {{b}} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u \ stânga (x \ dreapta) dx =

=\int _{a}^{b}v\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx+\left[v\left(x\right)\cdot \alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u}{\partial x}}\right]_{a}^{b}(\forall v\left(x\right))

{\ Displaystyle = \ int _ {a} ^ {b} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ right] _ {a} ^ {b} (\ v forall \ stânga (x \ dreapta))}

= \ Int _ {{a}} ^ {{b}} v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [v \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u parțial} {\ x parțial}} \ right] _ {{a}} ^ {{b}} (\ v forall \ stânga (x \ dreapta))

Finit element de apropiere este o aproximare Galerkin și a alerga în acest moment prin discretizarea domeniului în spațiu $V_{h}$ ${\ V_ displaystyle {h}}$ $V _ {{h}}$ care admite o bază $\phi _{j},1\leq j\leq N_{h}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {j}, 1 \ lechiv j \ leq N_ {h}}$ $\ Phi _ {{j}}, 1 \ lechiv j \ leq N _ {{h}}$ care constă în general din polinoame de grad scăzut pe porțiuni.

Discretizarea domeniului în cazul unidimensional se face prin divizarea $\left[a,b\right]$ ${\ displaystyle \ left [a, b \ right]}$ $\ Stânga [a, b \ dreapta]$ la intervale $\left[x_{j-1},x_{j}\right]$ ${\ Displaystyle \ stânga [X_ {j-1}, X_ {j} \ right]}$ $\ Stânga [x _ {{j-1}}, x _ {{j}} \ right]$ cu $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}<x_{m+1}=b$ ${\ Displaystyle a = X_ {0} <X_ {1} <\ dots <X_ {m} <X_ {m + 1} = b}$ $a = x _ {{0}} <x _ {{1}} <\ dots <x _ {{m}} <x _ {{m + 1}} = b$ Și $h_{j}=x_{j}-x_{j-1}$ ${\ Displaystyle h_ {j} = {j} X_ -x_ {j-1}}$ $h _ {{j}} = x _ {{j}} - x _ {{j-1}}$

funcţii $\phi _{j}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {j}}$ $\ Phi _ {{j}}$ sunt exprimate în general sub forma:

\phi _{j}\left(x\right)=\left\{{\begin{array}{lr}{\frac {1}{h_{k}}}\cdot x+1-{\frac {1}{h_{k}}}\cdot x_{j}&(x_{j}-h_{k}\leq x<x_{j})\\-{\frac {1}{h_{k}}}\cdot x+1+{\frac {1}{h_{k}}}\cdot x_{j}&(x_{j}\leq x<x_{j}+h_{k})\\0&(altrimenti)\end{array}}\right.

{\ Displaystyle \ phi _ {j} \ stânga (x \ dreapta) = \ stângă \ {{\ begin {array} {lr} {\ frac {1} {h_ {k}}} \ cdot x + 1- { \ frac {1} {h_ {k}}} \ cdot X_ {j} & (X_ {j} -h_ {k} \ leq x <X_ {j}) \\ - {\ frac {1} {h_ { k}}} \ cdot x + 1 + {\ frac {1} {h_ {k}}} \ cdot X_ {j} & (X_ {j} \ leq x <X_ {j} + h_ {k}) \ \ 0 & (altfel) \ end {array}} \ dreapta.}

\ Phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) = \ stângă \ {{\ begin {array} {lr} {\ frac {1} {h _ {{k}}}} \ cdot x + 1 - {\ frac {1} {h _ {{k}}}} \ cdot x _ {{j}} & (x _ {{j}} - h _ {{k}} \ leq x <x _ { {j}}) \ \ - {\ frac {1} {h _ {{k}}}} \ cdot x + 1 + {\ frac {1} {h _ {{k}}}} \ cdot x _ {{j}} & (X_ {{j}} \ leq x <x _ {{j}} + h _ {{k}}) \\ 0 & (altfel) \ end {array}} \ dreapta.

Prin urmare, formularea slabă prevede determinarea $u_{h}\in V_{h}$ ${\ Displaystyle u_ {h} \ în V_ {h}}$ $u _ {{h}} \ în V _ {{h}}$ astfel că egalitatea este verificată:

\int _{a}^{b}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\cdot \alpha \left(x\right)dx+\int _{a}^{b}\phi _{j}\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot u_{h}\left(x\right)dx=

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parțial \ phi _ {j}} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ parțial u_ {h}} {\ x parțial} } \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) dx + \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {j} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u_ {h} \ stânga (x \ dreapta) dx =}

\ Int _ {{a}} ^ {{b}} {\ frac {\ parțial \ phi _ {{j}}} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ parțial u _ {{h}} } {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) dx + \ int _ {{a}} ^ {{b}} \ phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot u _ {{h}} \ stânga (x \ dreapta) dx =

=\int _{a}^{b}\phi _{j}\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx+\left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot \alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}(\forall j=1,\dots ,m)

{\ Displaystyle = \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {j} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [\ phi _ {j} \ left (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u_ {h}} {\ x} parțial parțială} \ right] _ {a} ^ {b} (\ j forall = 1, \ dots, m)}

= \ Int _ {{a}} ^ {{b}} \ phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [\ phi _ {{ j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ parțial u _ {{h}}} {\ x parțial}} \ right] _ {{a }} ^ {{b}} (\ forall j = 1, \ dots, m)

Având în vedere calitatea de membru al $u_{h}$ ${\ Displaystyle u_ {h}}$ $u _ {{h}}$ la spațiul cu bază $\left\{\phi _{j},j=1,\dots ,m\right\}$ ${\ Displaystyle \$ din $stânga \ {\ phi _ {j}, j = 1, \ dots, m \ dreapta \}}$ $\ Left \ {\ phi _ {{j}}, j = 1, \ dots, m \ dreapta \}$ , poti sa scrii $u_{h}$ ${\ Displaystyle u_ {h}}$ $u _ {{h}}$ ca:

u_{h}=\sum _{i=1}^{m}U_{i}\cdot \phi _{i}\left(x\right)

{\ Displaystyle u_ {h} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} u_ {i} \ cdot \ phi _ {i} \ stânga (x \ dreapta)}

u _ {{h}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{m}} U _ {{i}} \ cdot \ phi _ {{i}} \ stânga (x \ dreapta)

Realizarea de înlocuire și de colectare, obținem:

\sum _{i=1}^{m}U_{i}\left(\int _{a}^{b}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}\cdot \alpha \left(x\right)dx+\int _{a}^{b}\phi _{j}\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot \phi _{i}\left(x\right)dx\right)=

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} u_ {i} \ stânga (\ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parțial \ phi _ {j}} {\ x parțial} } \ cdot {\ frac {\ parțial \ phi _ {i}} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) dx + \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {j } \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ phi _ {i} \ stânga (x \ dreapta) dx \ dreapta) =}

\ Sum _ {{i = 1}} ^ {{m}} U _ {{i}} \ din stânga (\ int _ {{a}} ^ {{b}} {\ frac {\ parțial \ phi _ { {j}}} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ parțial \ phi _ {{i}}} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) dx + \ int _ {{a}} ^ {{b}} \ phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ phi _ {{i}} \ stânga ( x \ dreapta) dx \ dreapta) =

=\int _{a}^{b}\phi _{j}\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx+\left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot \alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}(\forall j=1,\dots ,m)

{\ Displaystyle = \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {j} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [\ phi _ {j} \ left (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ u_ {h}} {\ x} parțial parțială} \ right] _ {a} ^ {b} (\ j forall = 1, \ dots, m)}

= \ Int _ {{a}} ^ {{b}} \ phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [\ phi _ {{ j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ parțial u _ {{h}}} {\ x parțial}} \ right] _ {{a }} ^ {{b}} (\ forall j = 1, \ dots, m)

Această egalitate poate fi exprimată sub formă de matrice ca:

\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&...&a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2m}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mm}\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c}U_{1}\\U_{2}\\...\\U_{m}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{1}\\f_{2}\\...\\f_{m}\end{array}}\right]

{\ Displaystyle \ stânga [{\ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & ... & a_ {1m} \\ a_ {21} & a_ {22} & ... & a_ {2m} \ \ ... & ... & ... & ... \\ a_ {m1} & a_ {m2} & ... & a_ {mm} \ end {array}} \ right] \ cdot \ stânga [{\ begin {array} {c} u_ {1} \\ u_ {} \\ ... \\ u_ {m} \ end {array} 2} \ right] = \ stânga [{\ begin {array} {c} f_ {1} \\ f_ {2} \\ ... \\ f_ {m} \ end {array}} \ right]}

\ Stânga [{\ begin {array} {cccc} a _ {{11}} & a _ {{12}} & ... & a _ {{1m}} \\ o _ {{21}} & a _ {{22}} &. .. & o _ {{2m}} \\ ... & ... & ... & ... \\ o _ {{m1}} & a _ {{m2 }} & ... & o _ {{mm}} \ end {array}} \ right] \ cdot \ stânga [{\ begin {array} {c} U _ {{1}} \\ U _ {{ 2}} \\ ... \\ U _ {{m}} \ end {array}} \ right] = \ stânga [{\ begin {array} {c} f _ {{1}} \\ f _ {{2}} \\ ... \\ f _ {{m}} \ end {array}} \ right]

unde termenii matricelor sunt exprimate ca:

a_{ij}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \phi _{j}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}\cdot \alpha \left(x\right)dx+\int _{a}^{b}\phi _{j}\left(x\right)\cdot \sigma \left(x\right)\cdot \phi _{i}\left(x\right)dx

{\ Displaystyle a_ {ij} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ \ phi parțiale _ {j}} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ parțial \ phi _ {i }} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ left (x \ dreapta) dx + \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {j} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \

din

stânga (x \ dreapta) \ cdot \ phi _ {i} \ stânga (x \ dreapta) dx}

o _ {{ij}} = \ int _ {{a}} ^ {{b}} {\ frac {\ parțial \ phi _ {{j}}} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ parțiale \ phi _ {{i}}} {\ x parțial}} \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) dx + \ int _ {{a}} ^ {{b}} \ phi _ {{j} } \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ sigma \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ phi _ {{i}} \ stânga (x \ dreapta) dx

f_{j}=\int _{a}^{b}\phi _{j}\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx+\left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot \alpha \left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}

{\ Displaystyle f_ {j} = \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {j} \

din

stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ left (x \ dreapta) dx + \ left [\ phi _ { j} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ parțial u_ {h}} {\ x parțial}} \ right] _ {a} ^ {b} }

f _ {{j}} = \ int _ {{a}} ^ {{b}} \ phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot f \ stânga (x \ dreapta) dx + \ stânga [\ phi _ {{j}} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ alpha \ stânga (x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ parțial u _ {{h}}} {\ x parțial}} \ right] _ {{a}} ^ {{b}}

Rezoluția sistemului liniar permite determinarea coeficienților $U_{i}$ ${\ U_ displaystyle {i}}$ $U _ {{i}}$ . Acești coeficienți permit determinarea aproximarea în spațiul discretizat situat în domeniul dorit.

Cazul coeficienților constanți și de apropiere de centrul de greutate

În general, determinarea rigiditate și de sarcină matrici necesită folosirea unor metode cuadratură pentru a calcula valoarea integralelor definite. Un caz special și interesant, cu toate acestea, este acela în care coeficienții ecuației diferențiale sunt constante. În acest caz, o soluție exactă și în particular eficientă a ecuației diferențiale este posibilă. De fapt, presupunând:

\left\{{\begin{array}{l}\alpha \left(x\right)=\alpha \\\sigma \left(x\right)=\sigma \\f\left(x\right)=f\end{array}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {array} {l} \ alfa \ stânga (x \ dreapta) = \ alpha \\\ sigma \ stânga (x \ dreapta) = \ sigma \\ f \ stânga (x \ dreapta) = f \ end {array}} \ dreapta.}

\ Stângă \ {{\ begin {array} {l} \ alfa \ stânga (x \ dreapta) = \ alpha \\\ sigma \ stânga (x \ dreapta) = \ sigma \\ f \ stânga (x \ dreapta) = f \ end {array}} \ dreapta.

integralele care alcătuiesc elementele matricilor devin:

a_{ij}=\alpha \int _{a}^{b}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{j}}{\partial x}}dx+\sigma \int _{a}^{b}\phi _{i}\left(x\right)\cdot \phi _{j}\left(x\right)dx\qquad f_{i}=f\cdot \int _{a}^{b}\phi \left(x\right)dx+\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}

{\ Displaystyle a_ {ij} = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parțial \ phi _ {i}} {\ x parțial}} \ cdot {\ frac {\ parțial \ phi _ {j}} {\ x parțial}} dx + \ sigma \ int _ {a} ^ {b} \ phi _ {i} \ stânga (x \ dreapta) \ cdot \ phi _ {j} \ stânga (x \ dreapta) dx \ prototipurilor f_ {i} = f \ cdot \ int _ {a} ^ {b} \ phi \ stânga (x \ dreapta) dx + \ alpha \ cdot \ stânga [\ phi _ {j} \ stânga ( x \ dreapta) \ cdot {\ frac {\ parțial u_ {h}} {\ x parțial}} \ right] _ {a} ^ {b}}

a_{{ij}}=\alpha \int _{{a}}^{{b}}{\frac {\partial \phi _{{i}}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{{j}}}{\partial x}}dx+\sigma \int _{{a}}^{{b}}\phi _{{i}}\left(x\right)\cdot \phi _{{j}}\left(x\right)dx\qquad f_{{i}}=f\cdot \int _{{a}}^{{b}}\phi \left(x\right)dx+\alpha \cdot \left[\phi _{{j}}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{{h}}}{\partial x}}\right]_{{a}}^{{b}}

Sostituendo alle funzioni di forma il valore corretto è possibile trovare una formulazione esatta degli integrali come funzione di variabili scelte. Considerando un singolo elemento $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ costituente il dominio, compreso tra i nodi ie $j=i+1$ ${\displaystyle j=i+1}$ $j=i+1$ , con le definizioni date in precedenza delle funzioni $\phi$ $\phi$ $\phi$ si ottiene una matrice di rigidezza quadrata 2x2 del tipo:

{\begin{aligned}A_{k}=\left\{a_{ij}\right\}_{i,j=k}^{k+1}&=\left\{\alpha \int _{x_{i}}^{x_{j}}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{j}}{\partial x}}dx+\sigma \int _{x_{i}}^{x_{j}}\phi _{i}\left(x\right)\cdot \phi _{j}\left(x\right)dx\right\}_{i,j=k}^{k+1}\\&=\left\{\alpha \int _{x_{i}}^{x_{j}}{\frac {1}{h_{k}}}\cdot {\frac {1}{h_{k}}}dx+\sigma \int _{x_{i}}^{x_{j}}\left(1+{\frac {1}{h_{k}}}\cdot \left(x-x_{i}\right)\right)\cdot \left(1+{\frac {1}{h_{k}}}\cdot \left(x-x_{j}\right)\right)dx\right\}_{i,j=k}^{k+1}\\&={\frac {\alpha }{h_{k}}}\cdot \left[{\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}}\right]+{\frac {\sigma h_{k}}{6}}\cdot \left[{\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}}\right]\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}A_{k}=\left\{a_{ij}\right\}_{i,j=k}^{k+1}&=\left\{\alpha \int _{x_{i}}^{x_{j}}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{j}}{\partial x}}dx+\sigma \int _{x_{i}}^{x_{j}}\phi _{i}\left(x\right)\cdot \phi _{j}\left(x\right)dx\right\}_{i,j=k}^{k+1}\\&=\left\{\alpha \int _{x_{i}}^{x_{j}}{\frac {1}{h_{k}}}\cdot {\frac {1}{h_{k}}}dx+\sigma \int _{x_{i}}^{x_{j}}\left(1+{\frac {1}{h_{k}}}\cdot \left(x-x_{i}\right)\right)\cdot \left(1+{\frac {1}{h_{k}}}\cdot \left(x-x_{j}\right)\right)dx\right\}_{i,j=k}^{k+1}\\&={\frac {\alpha }{h_{k}}}\cdot \left[{\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}}\right]+{\frac {\sigma h_{k}}{6}}\cdot \left[{\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}}\right]\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}A_{{k}}=\left\{a_{{ij}}\right\}_{{i,j=k}}^{{k+1}}&=\left\{\alpha \int _{{x_{{i}}}}^{{x_{{j}}}}{\frac {\partial \phi _{{i}}}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial \phi _{{j}}}{\partial x}}dx+\sigma \int _{{x_{{i}}}}^{{x_{{j}}}}\phi _{{i}}\left(x\right)\cdot \phi _{{j}}\left(x\right)dx\right\}_{{i,j=k}}^{{k+1}}\\&=\left\{\alpha \int _{{x_{{i}}}}^{{x_{{j}}}}{\frac {1}{h_{{k}}}}\cdot {\frac {1}{h_{{k}}}}dx+\sigma \int _{{x_{{i}}}}^{{x_{{j}}}}\left(1+{\frac {1}{h_{{k}}}}\cdot \left(x-x_{{i}}\right)\right)\cdot \left(1+{\frac {1}{h_{{k}}}}\cdot \left(x-x_{{j}}\right)\right)dx\right\}_{{i,j=k}}^{{k+1}}\\&={\frac {\alpha }{h_{{k}}}}\cdot \left[{\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\end{array}}\right]+{\frac {\sigma h_{{k}}}{6}}\cdot \left[{\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}}\right]\\\end{aligned}}

Tali matrici sono le uniche non nulle, data la forma della funzione $\phi$ $\phi$ $\phi$ . Esse vanno a costituire la matrice di rigidezza $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ , che risulta quindi componibile a partire dalle matrici $A_{k}$ $A_{k}$ $A_{{k}}$ sopra definite.

Lo stesso procedimento si può attuare per la matrice dei carichi ottenendo:

F_{k}={\frac {fh_{k}}{2}}\cdot \left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\\\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\end{array}}\right]

F_{k}={\frac {fh_{k}}{2}}\cdot \left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\\\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\end{array}}\right]

F_{{k}}={\frac {fh_{{k}}}{2}}\cdot \left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}\alpha \cdot \left[\phi _{{j}}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{{h}}}{\partial x}}\right]_{{a}}^{{b}}\\\alpha \cdot \left[\phi _{{j}}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{{h}}}{\partial x}}\right]_{{a}}^{{b}}\end{array}}\right]

Componendo le matrici degli elementi nel modo corretto si giunge alla forma finale del sistema lineare:

\left[{\begin{array}{ccccc}{\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {2\sigma h_{1}}{6}}&-{\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {\sigma h_{1}}{6}}&0&...&...\\-{\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {\sigma h_{1}}{6}}&\left({\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {2\sigma h_{1}}{6}}\right)+\left({\frac {\sigma }{h_{2}}}+{\frac {2\sigma h_{2}}{6}}\right)&-{\frac {\alpha }{h_{2}}}+{\frac {\sigma h_{2}}{6}}&0&...\\0&-{\frac {\alpha }{h_{2}}}+{\frac {\sigma h_{2}}{6}}&...&...&...\\...&0&...&...&...\\...&...&...&...&...\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c}U_{1}\\U_{2}\\...\\...\\U_{m}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\frac {fh_{1}}{2}}+\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\\{\frac {fh_{1}}{2}}+{\frac {fh_{2}}{2}}+2\cdot \alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\\...\\{\frac {fh_{m}}{2}}+\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\end{array}}\right]

\left[{\begin{array}{ccccc}{\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {2\sigma h_{1}}{6}}&-{\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {\sigma h_{1}}{6}}&0&...&...\\-{\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {\sigma h_{1}}{6}}&\left({\frac {\alpha }{h_{1}}}+{\frac {2\sigma h_{1}}{6}}\right)+\left({\frac {\sigma }{h_{2}}}+{\frac {2\sigma h_{2}}{6}}\right)&-{\frac {\alpha }{h_{2}}}+{\frac {\sigma h_{2}}{6}}&0&...\\0&-{\frac {\alpha }{h_{2}}}+{\frac {\sigma h_{2}}{6}}&...&...&...\\...&0&...&...&...\\...&...&...&...&...\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c}U_{1}\\U_{2}\\...\\...\\U_{m}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\frac {fh_{1}}{2}}+\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\\{\frac {fh_{1}}{2}}+{\frac {fh_{2}}{2}}+2\cdot \alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\\...\\{\frac {fh_{m}}{2}}+\alpha \cdot \left[\phi _{j}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{h}}{\partial x}}\right]_{a}^{b}\end{array}}\right]

\left[{\begin{array}{ccccc}{\frac {\alpha }{h_{{1}}}}+{\frac {2\sigma h_{{1}}}{6}}&-{\frac {\alpha }{h_{{1}}}}+{\frac {\sigma h_{{1}}}{6}}&0&...&...\\-{\frac {\alpha }{h_{{1}}}}+{\frac {\sigma h_{{1}}}{6}}&\left({\frac {\alpha }{h_{{1}}}}+{\frac {2\sigma h_{{1}}}{6}}\right)+\left({\frac {\sigma }{h_{{2}}}}+{\frac {2\sigma h_{{2}}}{6}}\right)&-{\frac {\alpha }{h_{{2}}}}+{\frac {\sigma h_{{2}}}{6}}&0&...\\0&-{\frac {\alpha }{h_{{2}}}}+{\frac {\sigma h_{{2}}}{6}}&...&...&...\\...&0&...&...&...\\...&...&...&...&...\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c}U_{{1}}\\U_{{2}}\\...\\...\\U_{{m}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{\frac {fh_{{1}}}{2}}+\alpha \cdot \left[\phi _{{j}}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{{h}}}{\partial x}}\right]_{{a}}^{{b}}\\{\frac {fh_{{1}}}{2}}+{\frac {fh_{{2}}}{2}}+2\cdot \alpha \cdot \left[\phi _{{j}}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{{h}}}{\partial x}}\right]_{{a}}^{{b}}\\...\\{\frac {fh_{{m}}}{2}}+\alpha \cdot \left[\phi _{{j}}\left(x\right)\cdot {\frac {\partial u_{{h}}}{\partial x}}\right]_{{a}}^{{b}}\end{array}}\right]

Tale semplice soluzione è possibile solo in caso di coefficienti costanti, come detto in precedenza. In caso di coefficienti non costanti è possibile accontentarsi di una soluzione molto approssimata ma computazionalmente semplice e veloce effettuando una approssimazione al baricentro delle funzioni, considerando cioè una media del valore delle funzioni agli estremi di ciascun elemento:

\left\{{\begin{array}{l}\alpha ={\frac {\alpha \left(x_{i}\right)+\alpha \left(x_{j}\right)}{2}}\\\sigma ={\frac {\sigma \left(x_{i}\right)+\sigma \left(x_{j}\right)}{2}}\\f={\frac {f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{j}\right)}{2}}\end{array}}\right.

\left\{{\begin{array}{l}\alpha ={\frac {\alpha \left(x_{i}\right)+\alpha \left(x_{j}\right)}{2}}\\\sigma ={\frac {\sigma \left(x_{i}\right)+\sigma \left(x_{j}\right)}{2}}\\f={\frac {f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{j}\right)}{2}}\end{array}}\right.

\left\{{\begin{array}{l}\alpha ={\frac {\alpha \left(x_{{i}}\right)+\alpha \left(x_{{j}}\right)}{2}}\\\sigma ={\frac {\sigma \left(x_{{i}}\right)+\sigma \left(x_{{j}}\right)}{2}}\\f={\frac {f\left(x_{{i}}\right)+f\left(x_{{j}}\right)}{2}}\end{array}}\right.

Tale approssimazione permette di sfruttare i risultati appena raggiunti anche in caso di coefficienti non costanti, al prezzo di una minore precisione.

Esempio monodimensionale

Un problema tipico, detto talvolta problema dell' equazione di Poisson , può essere trovare la funzione $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ il cui laplaciano è uguale ad una funzione $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ data. L'equazione di Poisson in uno spazio monodimensionale si scrive come segue:

-u''(x)=f(x)

{\displaystyle -u''(x)=f(x)}

-u''(x)=f(x)

con vari tipi di condizioni al bordo, fra cui ad esempio:

u(0)=u(1)=0

{\displaystyle u(0)=u(1)=0}

u(0)=u(1)=0

u(0)=0\qquad u'(1)=q

u(0)=0\qquad u'(1)=q

u(0)=0\qquad u'(1)=q

u'(0)=u'(1)=0

{\displaystyle u'(0)=u'(1)=0}

u'(0)=u'(1)=0

u'(0)+u(0)=0\qquad u'(1)+u(1)=0

u'(0)+u(0)=0\qquad u'(1)+u(1)=0

u'(0)+u(0)=0\qquad u'(1)+u(1)=0

Le condizioni al contorno in generale si possono dividere in tre gruppi:

Condizioni di Dirichlet : Condizione imposta sulla funzione (ordine 0).
Condizioni di Neumann : Condizione imposta sulla derivata prima della funzione rispetto alla normale uscente al contorno (ordine 1).
Condizioni di Robin : Condizione imposta sulla combinazione lineare del valore della funzione e della sua derivata (condizione mista).

Se ad esempio si fa riferimento alle condizioni di Dirichlet:

u(0)=u(1)=0

{\displaystyle u(0)=u(1)=0}

u(0)=u(1)=0

la forma variazionale del problema diventa trovare $u$ ${\displaystyle u}$ $u$ appartenente a un opportuno spazio funzionale di funzioni che si annullano al bordo tale che per ogni funzione $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ nello stesso spazio funzionale si abbia:

\int \limits _{0}^{1}u^{\prime }v^{\prime }dx=\int \limits _{0}^{1}fvdx

\int \limits _{0}^{1}u^{\prime }v^{\prime }dx=\int \limits _{0}^{1}fvdx

\int \limits _{0}^{1}u^{\prime }v^{\prime }dx=\int \limits _{0}^{1}fvdx

L'approssimazione del metodo agli elementi si ottiene introducendo una suddivisione dell'intervallo $(0,1)$ ${\displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ in sotto-intervalli su ciascuno dei quali la soluzione verrà assunta essere polinomiale. Questo permette di scrivere la soluzione approssimata, indicata come $u_{h}$ $u_{h}$ $u_{h}$ , mediante combinazione lineare delle funzioni di base dello spazio delle funzioni polinomiali a pezzi, indicate come $\varphi _{i}$ $\varphi _{i}$ $\varphi _{i}$ :

u_{h}=\sum \limits _{j=1}^{n}U_{j}\varphi _{j}

u_{h}=\sum \limits _{j=1}^{n}U_{j}\varphi _{j}

u_{h}=\sum \limits _{{j=1}}^{n}U_{j}\varphi _{j}

I coefficienti $U_{j}$ $U_{j}$ $U_{j}$ sono le incognite del problema discretizzato. Usando come funzioni test proprio le funzioni di base, si ottiene infatti un insieme di n equazioni:

\sum \limits _{j=1}^{n}U_{j}\int \limits _{0}^{1}\varphi _{j}^{\prime }\varphi _{i}^{\prime }dx=\int \limits _{0}^{1}f\varphi _{i}dx\qquad (i=1,\ldots ,n)

\sum \limits _{j=1}^{n}U_{j}\int \limits _{0}^{1}\varphi _{j}^{\prime }\varphi _{i}^{\prime }dx=\int \limits _{0}^{1}f\varphi _{i}dx\qquad (i=1,\ldots ,n)

\sum \limits _{{j=1}}^{n}U_{j}\int \limits _{0}^{1}\varphi _{j}^{\prime }\varphi _{i}^{\prime }dx=\int \limits _{0}^{1}f\varphi _{i}dx\qquad (i=1,\ldots ,n)

Indicando con $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ la matrice:

A=[a_{ij}]=\int \limits _{0}^{1}\varphi _{j}^{\prime }\varphi _{i}^{\prime }dx

A=[a_{ij}]=\int \limits _{0}^{1}\varphi _{j}^{\prime }\varphi _{i}^{\prime }dx

A=[a_{{ij}}]=\int \limits _{0}^{1}\varphi _{j}^{\prime }\varphi _{i}^{\prime }dx

con $\mathbf {U}$ $\mathbf {U}$ ${\mathbf U}$ il vettore di elementi $U_{j}$ $U_{j}$ $U_{j}$ e con $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbf F$ il vettore di elementi:

F_{i}=\int \limits _{0}^{1}f\varphi _{i}dx

F_{i}=\int \limits _{0}^{1}f\varphi _{i}dx

F_{i}=\int \limits _{0}^{1}f\varphi _{i}dx

il problema algebrico da risolvere è dato semplicemente dal sistema lineare:

A\mathbf {U} =\mathbf {F}

A\mathbf {U} =\mathbf {F}

A{\mathbf {U}}={\mathbf {F}}

La matrice $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ è detta "matrice di rigidezza".

Confronto con il Metodo alle Differenze Finite

Il metodo delle differenze finite (FDM, dall'inglese Finite Difference Method ) è un metodo alternativo per approssimare le soluzioni di equazioni differenziali alle derivate parziali . Le principali differenze tra i due metodi sono:

La caratteristica più attraente degli elementi finiti è l'abilità di gestire geometrie complesse con relativa semplicità. Le differenze finite sono, nella loro forma base, ristrette alla gestione geometrie semplici, come rettangoli e alcune alterazioni non complesse.
La metodologia degli elementi finiti è di più semplice implementazione.
Esistono diversi modi per considerare le differenze finite un caso particolare dell'approccio agli elementi finiti. Per esempio la formulazione degli elementi finiti è identica alla formulazione delle differenze per l' equazione di Poisson se il problema è discretizzato usando una forma rettangolare con ogni rettangolo diviso in due triangoli.
La qualità dell'approssimazione degli elementi finiti è maggiore del corrispettivo approccio alle differenze finite.

In generale, il metodo degli elementi finiti è il metodo di scelta per tutti i tipi di analisi per la meccanica strutturale (per esempio per calcolare la deformazione e la tensione di corpi rigidi o la dinamica delle strutture). Nella fluidodinamica computazionale invece si tende ad utilizzare altri metodi come il metodo dei volumi finiti . Problemi di fluidodinamica computazionale richiedono la discretizzazione del problema in un numero elevato di celle o nodi (in ordine di milioni), perciò il costo della soluzione favorisce approssimazioni più semplici e di ordine minore per ogni cella. Questo è particolarmente vero per problemi di aerodinamica per aerei e automobili o per simulazioni meteorologiche.

Il metodo di Galërkin

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo di Galërkin .

Il metodo di Galërkin consiste nell'uso delle stesse funzioni di forma utilizzate nell'approssimazione all'interno dei sotto-intervalli di cui sopra, come funzioni peso nel calcolo del residuo ai minimi quadrati applicato alla formulazione debole del problema strutturale.

Note

^ Phillippe G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems , Amsterdam, North-Holland, 1978.
^ Felippa, Carlos A., A Historical Outline of Matrix Structural Analysis: A Play in Three Acts , in Computers & Structures (Volume 79, Issue 14, June 2001, Pages 1313-1324) , giugno 2001.
^ Waterman, Pamela J., Meshing: the Critical Bridge , in Desktop Engineering Magazine , 1º agosto 2008. URL consultato il 19 ottobre 2008 (archiviato dall' url originale il 20 novembre 2008) .
^ Ray W. Clough, Edward L. Wilson, Early Finite Element Research at Berkeley ( PDF ), su edwilson.org . URL consultato il 25 ottobre 2007 .
^ MJ Turner, RW Clough, HC Martin, and LC Topp, Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures , in Journal of the Aeronautical Sciences , vol. 23, 1956, pp. 805–82.
^ Gilbert Strang, George Fix,An Analysis of the Finite Element Method , Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1973, ISBN 9780130329462 .
^ Carlos A. Felippa, Introduction to Finite Element Methods , Lecture Notes for the course Introduction to Finite Elements Methods at the Aerospace Engineering Sciences Department of the University of Colorado at Boulder., from 1976.
^ Carlo Lonati, Gian Carlo Macchi; Dalmazio Raveglia, Crosstallk in a PAM technique telephone switching network due the skin effect. Approach with the Finite Element Method , Conference on the Computation of Magnetic Fields - Proceedings; Laboratoire d'Elecrotechnique, Grenoble, 1978.
^ John Leonidas Volakis, Arindam Chatterjee, Leo C. Kempel, Finite element method for electromagnetics: antennas, microwave circuits, and scattering applications , in IEEE Wiley Press , 1998.

Bibliografia

( EN ) G. Allaire and A. Craig: Numerical Analysis and Optimization: An Introduction to Mathematical Modelling and Numerical Simulation
( EN ) KJ Bathe: Numerical methods in finite element analysis , Prentice-Hall (1976).
( EN ) J. Chaskalovic, Finite Elements Methods for Engineering Sciences , Springer Verlag, (2008).
( EN ) OC Zienkiewicz, RL Taylor, JZ Zhu: The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals , Butterworth-Heinemann, (2005).

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su metodo degli elementi finiti

Collegamenti esterni

( EN ) Metodo degli elementi finiti , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
FEM analysis - Comunità virtuale per la simulazione e la modellazione numerica , su it.groups.yahoo.com . URL consultato il 3 maggio 2019 (archiviato dall' url originale il 17 febbraio 2013) .
Sezione italiana della NAFEMS "The International Association for the Engineering Analysis Community" , su nafems.it .
Consorzio TCN: Tecnologie per il Calcolo Numerico - Centro Superiore di Formazione , su consorziotcn.it .
CISM - International Centre for Mechanical Sciences , Udine , su cism.it .
What is FEA (Metodo degli elementi finiti) , su knol.google.com . URL consultato il 3 maggio 2019 (archiviato dall' url originale l'11 gennaio 2012) .
Il metodo degli elementi finiti , su calcolostrutture.net .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 57806 · LCCN ( EN ) sh85048349 · GND ( DE ) 4017233-8 · BNF ( FR ) cb11938437v (data) · NDL ( EN , JA ) 00574434

Portale Fisica

Portale Ingegneria

Portale Matematica

[1] Phillippe G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems , Amsterdam, North-Holland, 1978.

[Felippa-2] Felippa, Carlos A., A Historical Outline of Matrix Structural Analysis: A Play in Three Acts , in Computers & Structures (Volume 79, Issue 14, June 2001, Pages 1313-1324) , giugno 2001.

[Waterman-3] Waterman, Pamela J., Meshing: the Critical Bridge , in Desktop Engineering Magazine , 1º agosto 2008. URL consultato il 19 ottobre 2008 (archiviato dall' url originale il 20 novembre 2008) .

[4] Ray W. Clough, Edward L. Wilson, Early Finite Element Research at Berkeley ( PDF ), su edwilson.org . URL consultato il 25 ottobre 2007 .

[Turner1956-5] MJ Turner, RW Clough, HC Martin, and LC Topp, Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures , in Journal of the Aeronautical Sciences , vol. 23, 1956, pp. 805–82.

[6] Gilbert Strang, George Fix,An Analysis of the Finite Element Method , Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1973, ISBN 9780130329462 .

[7] Carlos A. Felippa, Introduction to Finite Element Methods , Lecture Notes for the course Introduction to Finite Elements Methods at the Aerospace Engineering Sciences Department of the University of Colorado at Boulder., from 1976.

[8] Carlo Lonati, Gian Carlo Macchi; Dalmazio Raveglia, Crosstallk in a PAM technique telephone switching network due the skin effect. Approach with the Finite Element Method , Conference on the Computation of Magnetic Fields - Proceedings; Laboratoire d'Elecrotechnique, Grenoble, 1978.

[Volakis-9] John Leonidas Volakis, Arindam Chatterjee, Leo C. Kempel, Finite element method for electromagnetics: antennas, microwave circuits, and scattering applications , in IEEE Wiley Press , 1998.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]