Metoda forței

În domeniul mecanicii structurale , metoda forței definește un algoritm pentru rezolvarea nedeterminate elastice grinzi ( cadre și ferme ). În termeni simplificați, metoda poate fi privită ca o completare a condițiilor de echilibru static , adică ca o tehnică pentru producerea condițiilor auxiliare (de compatibilitate cinematică), astfel încât să compenseze incertitudinea ecuațiilor furnizate de statică în cazul a structurilor hiperstatice.

fundal

Originile metodei forțelor sunt legate de multe nume ale cărturarilor mecanici de la sfârșitul secolului al XIX-lea , dar figurile emergente în această autorie sunt cele ale lui Castigliano și Mohr cu metodele propuse de aceștia de analiză a fasciculelor hiperstatice, respectiv bazate pe teorema energiei minime de deformare și pe principiul lucrărilor virtuale . Ulterior, metodele au fost recunoscute de Müller-Breslau în echivalența lor substanțială. Acest ultim cercetător a dat o formulare generală eficientă a metodei forței, atât de mult încât relațiile fundamentale de congruență la care ajunge metoda poartă acum numele său.

Formulare

În rezoluția fasciculelor elastice hiperstatice, metoda forței urmează o formulare în termeni de solicitare internă , căutând printre toate câmpurile de solicitare generalizate posibile ( caracteristicile de solicitare ale sistemului $\mathbf {\sigma } \equiv (M,N,T)$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} \ equiv (M, N, T)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} \ equiv (M, N, T)}$ ) în echilibru cu sarcini externe, singura soluție căreia îi corespund, prin legea lui Hooke :

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathcal {F}}\,{\boldsymbol {\sigma }}\;\;\Leftrightarrow \;\;\left(\varepsilon ={\frac {N}{EA}}\;,\;\gamma ={\frac {T}{GA^{*}}}\;,\;\chi ={\frac {M}{EJ}}\right)\;

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ mathcal {F}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ left (\ varepsilon = {\ frac {N } {EA}} \ ;, \; \ gamma = {\ frac {T} {GA ^ {*}}} \ ;, \; \ chi = {\ frac {M} {EJ}} \ right) \; }

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ mathcal {F}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ left (\ varepsilon = {\ frac {N } {EA}} \ ;, \; \ gamma = {\ frac {T} {GA ^ {*}}} \ ;, \; \ chi = {\ frac {M} {EJ}} \ right) \; }

deformări generalizate ( caracteristicile deformării ${\boldsymbol {\varepsilon }}\equiv (\varepsilon ,\gamma ,\chi )$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ equiv (\ varepsilon, \ gamma, \ chi)}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ equiv (\ varepsilon, \ gamma, \ chi)}$ ) și de călătorie ${\mathbf {u} }\equiv (u,w,\varphi )$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ equiv (u, w, \ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ equiv (u, w, \ varphi)}$ compatibil cu constrângerile cinematice ale sistemului. Prin urmare, metoda este împărțită în pași:

Reprezentarea domeniului general de tensiune ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ în echilibru cu sarcini externe;
Scrierea și rezolvarea condițiilor de congruență cinematică ale problemei.

Scheme de calcul statice

Pentru o problemă precum $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de hiperstaticitate, au definit un sistem izostatic echivalent prin introducerea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ deconectări generice și alegerea parametrilor statici duali ca necunoscute hiperstatic $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ , etapa 1 se realizează prin intermediul unei reprezentări de tip

{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}_{0}+\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {the}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {the}}

unde este ${\boldsymbol {\sigma }}_{0}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0}}$ este soluția schemei statice în echilibru cu sarcini externe și pentru $\left(X_{1}=\ldots =X_{n}=0\right)\;,$ ${\ displaystyle \ left (X_ {1} = \ ldots = X_ {n} = 0 \ right) \;,}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {1} = \ ldots = X_ {n} = 0 \ right) \;,}$

în timp ce câmpul generic ${\boldsymbol {\sigma }}_{j}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j}}$ este soluția schemei statice în echilibru cu zero sarcini externe (este o auto-soluție a problemei) și pentru $\left(X_{j}=1\;,\;X_{i}=0\,,\forall i\neq j\right)\;\;\{i=1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {j} = 1 \ ;, \; X_ {i} = 0 \ ,, \ forall i \ neq j \ right) \; \; \ {i = 1, \ ldots, n \ }}$ ${\ displaystyle \ left (X_ {j} = 1 \ ;, \; X_ {i} = 0 \ ,, \ forall i \ neq j \ right) \; \; \ {i = 1, \ ldots, n \ }}$

Observare

Alegerea necunoscutelor hiperstatice și, prin urmare, a sistemului izostatic echivalent, constituie o fază foarte delicată a problemei, tocmai pentru că alegerea nu este nici univocă, nici pe deplin trasabilă de regulile precise de urmat. În special, trebuie acordată o atenție deosebită pentru a nu fi redusă la sistemele degenerate, deci labilă , mai degrabă decât izostatică.

Condițiile de congruență (ecuațiile Müller-Breslau)

Configurațiile deformate ale structurii izostatice echivalente, asociate prin legătura constitutivă ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathcal {F}}{\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ mathcal {F}} {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ mathcal {F}} {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ la reprezentare ${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}_{0}+\sum _{i=1}^{n}X_{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {the}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {the}}$ a câmpului de tensiune, încălcați exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ constrângeri prezente în structura inițială dar suprimate în structura izostatică. Aceste constrângeri cinematice trebuie deci impuse în mod explicit: aceasta oferă un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații (de congruență) care determină valorile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ necunoscute hiperestatice $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ și, prin urmare, definește în mod unic soluția elastică a problemei ( pasul 2 al strategiei).

O formă elegantă și concisă de reprezentare a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuațiile de congruență ale problemei se realizează prin formularea variațională oferită de principiul minimului energiei complementare totale , adică prin căutarea minimului funcțional

\Pi _{c}[{\boldsymbol {\sigma }}]={\frac {1}{2}}\int _{B}{\boldsymbol {\sigma }}^{t}\,{\mathcal {F}}\,{\boldsymbol {\sigma }}\,dv-\int _{C_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\,ds={\mbox{min}}_{\sigma }

{\ displaystyle \ Pi _ {c} [{\ boldsymbol {\ sigma}}] = {\ frac {1} {2}} \ int _ {B} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {t} \, {\ mathcal {F}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \, dv- \ int _ {C_ {u}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} {\ mathbf {n}}) ^ {t } {\ bar {\ mathbf {u}}} \, ds = {\ mbox {min}} _ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ Pi _ {c} [{\ boldsymbol {\ sigma}}] = {\ frac {1} {2}} \ int _ {B} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {t} \, {\ mathcal {F}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \, dv- \ int _ {C_ {u}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} {\ mathbf {n}}) ^ {t } {\ bar {\ mathbf {u}}} \, ds = {\ mbox {min}} _ {\ sigma}}

între toate intervalele de tensiune ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ echilibrat cu sarcini externe. În cazul analizat, pentru reprezentarea dată a câmpului tensiunilor echilibrate ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ , energia complementară totală este doar o funcție a necunoscutelor hiperstatice $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ . Prin impunerea condițiilor de staționaritate a funcționalului energetic $\Pi _{c}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ${\ displaystyle \ Pi _ {c} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {c} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ cu privire la aceste variabile

{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}\Pi _{c}[X_{1},\ldots ,X_{n}]=0\;\;,\;\;\{j=1,\ldots ,n\}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial X_ {j}}} \ Pi _ {c} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] = 0 \; \ ;, \; \; \ {j = 1, \ ldots, n \}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial X_ {j}}} \ Pi _ {c} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] = 0 \; \ ;, \; \; \ {j = 1, \ ldots, n \}}

primești $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații de congruență $\{j=1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {j = 1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle \ {j = 1, \ ldots, n \}}$ :

\left(\int _{B}{\boldsymbol {\sigma }}_{j}^{t}{\mathcal {F}}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}\,dv-\int _{C_{u}}({\boldsymbol {\sigma }}_{j}{\mathbf {n} })^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\,ds\right)+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\left(\int _{B}{\boldsymbol {\sigma }}_{j}^{t}{\mathcal {F}}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\,dv\right)=0\;\;

{\ displaystyle \ left (\ int _ {B} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j} ^ {t} {\ mathcal {F}} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} \, dv - \ int _ {C_ {u}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j} {\ mathbf {n}}) ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \, ds \ dreapta) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ int _ {B} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j} ^ {t} {\ mathcal {F} } {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \, dv \ right) = 0 \; \;}

{\ displaystyle \ left (\ int _ {B} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j} ^ {t} {\ mathcal {F}} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {0} \, dv - \ int _ {C_ {u}} ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j} {\ mathbf {n}}) ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \, ds \ dreapta) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ int _ {B} {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {j} ^ {t} {\ mathcal {F} } {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {i} \, dv \ right) = 0 \; \;}

Pentru problemele plane legate de structurile încadrate considerate de noi, în prezența arcurilor și a scăderii constrângerilor cinematice, funcționalitatea energiei complementare totale își asumă expresia particulară

\Pi _{c}[{\boldsymbol {\sigma }}]\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M^{2}}{EJ}}+{\frac {N^{2}}{EA}}+{\frac {T^{2}}{GA^{*}}}\}\,ds+{\frac {1}{2}}\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S^{2}}{k}}-\sum _{\mbox{ced}}{\mathbf {R} }^{t}{\bar {\mathbf {u} }}

{\ displaystyle \ Pi _ {c} [{\ boldsymbol {\ sigma}}] \ equiv {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{ \ frac {M ^ {2}} {EJ}} + {\ frac {N ^ {2}} {EA}} + {\ frac {T ^ {2}} {GA ^ {*}}} \} \ , ds + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S ^ {2}} {k}} - \ sum _ {\ mbox {ced}} {\ mathbf {R}} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}}}

{\ displaystyle \ Pi _ {c} [{\ boldsymbol {\ sigma}}] \ equiv {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{ \ frac {M ^ {2}} {EJ}} + {\ frac {N ^ {2}} {EA}} + {\ frac {T ^ {2}} {GA ^ {*}}} \} \ , ds + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S ^ {2}} {k}} - \ sum _ {\ mbox {ced}} {\ mathbf {R}} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}}}

Ecuațiile de congruență (numite ecuații Muller-Breslau ) sunt, prin urmare, următoarele $\{j=1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {j = 1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle \ {j = 1, \ ldots, n \}}$ :

\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M_{0}M_{j}}{EJ}}+{\frac {N_{0}N_{j}}{EA}}+{\frac {T_{0}T_{j}}{GA^{*}}}\}\,ds+\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S_{0}S_{j}}{k}}-\sum _{\mbox{ced}}{\mathbf {R} }_{j}^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\right)+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M_{i}M_{j}}{EJ}}+{\frac {N_{i}N_{j}}{EA}}+{\frac {T_{i}T_{j}}{GA^{*}}}\}\,ds+\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S_{i}S_{j}}{k}}\right)=0

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {0} N_ {j}} {EA}} + {\ frac {T_ {0} T_ {j}} {GA ^ {*}}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {0} S_ {j}} {k}} - \ sum _ {\ mbox {ced}} {\ mathbf {R}} _ {j} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}} } \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {i} N_ {j}} {EA}} + {\ frac {T_ {i} T_ {j}} {GA ^ {*}}} \ } \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {i} S_ {j}} {k}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {0} N_ {j}} {EA}} + {\ frac {T_ {0} T_ {j}} {GA ^ {*}}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {0} S_ {j}} {k}} - \ sum _ {\ mbox {ced}} {\ mathbf {R}} _ {j} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}} } \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {i} N_ {j}} {EA}} + {\ frac {T_ {i} T_ {j}} {GA ^ {*}}} \ } \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {i} S_ {j}} {k}} \ right) = 0}

Observații

Pentru structurile compuse din grinzi suficient de subțiri, contribuția energetică datorată deformabilității la forfecare este neglijabilă în comparație cu cea datorată deformabilității la încovoiere ( ipoteza Bernoulli ), simplificând ecuațiile de congruență în următoarele:

$\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M_{0}M_{j}}{EJ}}+{\frac {N_{0}N_{j}}{EA}}\}\,ds+\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S_{0}S_{j}}{k}}-\sum _{\mbox{ced}}{\mathbf {R} }_{j}^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\right)+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M_{i}M_{j}}{EJ}}+{\frac {N_{i}N_{j}}{EA}}\}\,ds+\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S_{i}S_{j}}{k}}\right)=0$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {0} N_ {j}} {EA}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {0} S_ {j}} {k}} - \ sum _ {\ mbox { ced}} {\ mathbf {R}} _ {j} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {i} N_ {j} } {EA}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {i} S_ {j}} {k}} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {0} N_ {j}} {EA}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {0} S_ {j}} {k}} - \ sum _ {\ mbox { ced}} {\ mathbf {R}} _ {j} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} + {\ frac {N_ {i} N_ {j} } {EA}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {i} S_ {j}} {k}} \ right) = 0}$

În aceleași ipoteze, în prezența îndoirii, contribuția energetică datorată deformabilității axiale datorită stresului normal este, de asemenea, de multe ori neglijabilă, cu o simplificare suplimentară a ecuațiilor de congruență:

$\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M_{0}M_{j}}{EJ}}\}\,ds+\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S_{0}S_{j}}{k}}-\sum _{\mbox{ced}}{\mathbf {R} }_{j}^{t}{\bar {\mathbf {u} }}\right)+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}\{{\frac {M_{i}M_{j}}{EJ}}\}\,ds+\sum _{\mbox{molle}}{\frac {S_{i}S_{j}}{k}}\right)=0$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {0} S_ {j}} {k}} - \ sum _ {\ mbox {ced}} {\ mathbf {R}} _ {j} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {i} S_ {j}} {k }} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {0} S_ {j}} {k}} - \ sum _ {\ mbox {ced}} {\ mathbf {R}} _ {j} ^ {t} {\ bar {\ mathbf {u}}} \ right) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} \ {{\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} \} \, ds + \ sum _ {\ mbox {springs}} {\ frac {S_ {i} S_ {j}} {k }} \ right) = 0}$

În aceleași ipoteze și în absența izvoarelor și așezărilor, ecuațiile de congruență anterioare sunt simplificate în:

$\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}{\frac {M_{0}M_{j}}{EJ}}\,ds\right)+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\left(\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}{\frac {M_{i}M_{j}}{EJ}}\,ds\right)=0$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} \, ds \ right) + \ sum _ { i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} \, ds \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {0} M_ {j}} {EJ}} \, ds \ right) + \ sum _ { i = 1} ^ {n} X_ {i} \ left (\ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} \, ds \ right) = 0}$

Etapele analizei

Din punct de vedere operațional, metoda forței se dezvoltă prin urmare în următoarele faze:

a . definirea unui sistem izostatic redus prin explicitarea necunoscutelor hiperstatice $\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \}}$ ;
b . construirea diagramelor caracteristicilor de solicitare $\{(N_{0},T_{0},M_{0}),(N_{1},T_{1},M_{1}),\ldots ,(N_{n},T_{n},M_{n})\}$ ${\ displaystyle \ {(N_ {0}, T_ {0}, M_ {0}), (N_ {1}, T_ {1}, M_ {1}), \ ldots, (N_ {n}, T_ { n}, M_ {n}) \}}$ ${\ displaystyle \ {(N_ {0}, T_ {0}, M_ {0}), (N_ {1}, T_ {1}, M_ {1}), \ ldots, (N_ {n}, T_ { n}, M_ {n}) \}}$ produs pe sistemul izostatic respectiv de sarcina externă și de fiecare dintre valorile hiperstatice luate ca unitate;
c . calculul integralelor de tip

$\int M_{i}M_{0}\,ds\;,\;\;\int M_{i}M_{j}\,ds\;,\;\;;$ ${\ displaystyle \ int M_ {i} M_ {0} \, ds \ ;, \; \; \ int M_ {i} M_ {j} \, ds \ ;, \; \ ;;}$ ${\ displaystyle \ int M_ {i} M_ {0} \, ds \ ;, \; \; \ int M_ {i} M_ {j} \, ds \ ;, \; \ ;;}$

și determinarea coeficienților $\{(i,j)=1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {(i, j) = 1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle \ {(i, j) = 1, \ ldots, n \}}$

$f_{i0}=\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}{\frac {M_{i}M_{0}}{EJ}}\,ds+\ldots \;\;,\;\;f_{ij}=\sum _{\mbox{travi}}\int _{l}{\frac {M_{i}M_{j}}{EJ}}\,ds+\ldots \;\;,$ ${\ displaystyle f_ {i0} = \ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {i} M_ {0}} {EJ}} \, ds + \ ldots \; \ ;, \; \; f_ {ij} = \ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} \, ds + \ ldots \; \;,}$ ${\ displaystyle f_ {i0} = \ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {i} M_ {0}} {EJ}} \, ds + \ ldots \; \ ;, \; \; f_ {ij} = \ sum _ {\ mbox {beams}} \ int _ {l} {\ frac {M_ {i} M_ {j}} {EJ}} \, ds + \ ldots \; \;,}$

a sistemului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații liniare de congruență $\{j=1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {j = 1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle \ {j = 1, \ ldots, n \}}$

$f_{j0}+X_{1}\,f_{j1}+\ldots +X_{n}\,f_{jn}=0$ ${\ displaystyle f_ {j0} + X_ {1} \, f_ {j1} + \ ldots + X_ {n} \, f_ {jn} = 0}$ ${\ displaystyle f_ {j0} + X_ {1} \, f_ {j1} + \ ldots + X_ {n} \, f_ {jn} = 0}$

d . soluția acestui sistem de ecuații liniare în necunoscute hiperstatic;

și . reconstrucția soluției prin combinație liniară a diagramelor parțiale deja determinate

$N=N_{0}+\sum _{i}^{n}X_{i}N_{i}\;\;,\;\;T=T_{0}+\sum _{i}^{n}X_{i}T_{i}\;\;,\;\;M=M_{0}+\sum _{i}^{n}X_{i}M_{i}\;\;,\;\;$ ${\ displaystyle N = N_ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} X_ {i} N_ {i} \; \ ;,;;; T = T_ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} X_ {i} T_ {i} \; \ ;, \; \; M = M_ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} X_ {i} M_ {i} \; \; , \; \;}$ ${\ displaystyle N = N_ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} X_ {i} N_ {i} \; \ ;,;;; T = T_ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} X_ {i} T_ {i} \; \; \; \; M = M_ {0} + \ sum _ {i} ^ {n} X_ {i} M_ {i} \; \; , \; \;}$

Limitele metodei forței

Utilizarea practică a metodei forței pentru calcularea structurilor hiperstatice devine cu atât mai complexă și mai laborioasă cu cât hiperstaticitatea structurii este mai mare. Pe măsură ce numărul cazurilor hiperstatice crește, reducerea la sistemul izostatic devine mai laborioasă; în plus, crește numărul diagramelor caracteristice de solicitare și, conform unei legi pătratice, numărul integralelor de tip $\int M_{i}M_{j}ds$ ${\ displaystyle \ int M_ {i} M_ {j} ds}$ ${\ displaystyle \ int M_ {i} M_ {j} ds}$ a calcula.

Mai mult, metoda forțelor se pretează rău organizării într-un calcul automat care va fi efectuat de computer.

Toate acestea implică faptul că metoda forței este potrivită doar pentru structuri relativ simple și proceduri de calcul manual și că pentru structuri cu multe structuri hiperstatice se dovedește a fi greoaie și abia eficientă. Pentru structurile complexe este mai convenabil să se utilizeze o metodă alternativă de analiză cunoscută sub numele de metoda rigidității sau metoda de deplasare .

Bibliografie

Antonio Domenico Lanzo. Analiza grinzilor elastice: metode și aplicații . Aracne, Roma, 2007. ISBN 978-88-548-1162-1 .

Elemente conexe

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie