legea lui Hooke

În mecanica materiale , legea lui Hooke este cea mai simplă relație constitutivă a comportamentului de materiale elastice . Este formulat prin a spune că un corp elastic suferă o deformare direct proporțională cu tensiunea aplicată pe acesta. Constantei de proporționalitate depinde de natura materialului însuși.

Materiale pentru care legea Hooke este o aproximare utilă a comportamentului real , sunt numite materiale liniar-elastice . Prin urmare, definește un solid elastic , în același mod în care legea lui Pascal definește un fluid de ideală .

dinamometre de laborator

Dinamometre

Legea lui Hooke este baza principiului de lucru al standului , un instrument de măsurare a forțelor .

fundal

Robert Hooke a început studiul său asupra elasticității pornind de la caracterizarea comportamentului perfect sau primavara ideala, care este o fără masă de primăvară, de grosime neglijabilă atunci când sunt complet comprimat și în absența totală a frecării și a altor fenomene disipative; de fapt, arcul ideală reprezintă modelul clasic de elasticitate liniară. Legea a fost formulată pentru prima dată în 1675 , sub forma de latină anagrama „ceiiinosssttuv“, din care soluția a fost publicată de Hooke în 1678 ca „Ut tensio, sic vis“ ( „ca extensie, astfel încât forța“).

Afirmație

Pornind de la declarația prevăzută inițial de Hooke, ecuația care exprimă forța elastică exercitată de un arc longitudinal a subliniat, în tracțiune sau compresiune, de-a lungul unei axe ${\hat {\mathbf {x} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$ Și:

\mathbf {F} =-k_{E}\cdot \Delta l\cdot {\hat {\mathbf {x} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {-k_ E} \ cdot \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = {-k_ E} \ cdot \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

prin urmare, forța $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ cu care va reacționa primăvară la stres este direct proporțională cu alungirea $\Delta l$ ${\ displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ din primăvară. Constanta $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ reprezintă constanta elastică longitudinală a arcului, exprimată în ${\textstyle [\mathrm {N\cdot m^{-1}} ]}$ ${\ Textstyle [\ mathrm {N \ cdot m ^ {- 1}}]}$ ${\ Textstyle [\ mathrm {N \ cdot m ^ {- 1}}]}$ .

Într-un mod complet analog, obținem ecuația care exprimă momentul elastic, direcționat de-a lungul unei axe ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ perpendiculară pe planul de torsiune, exercitată de un arc de torsiune a subliniat tangențială:

\mathbf {M} =-k_{\theta }\cdot \Delta \alpha \cdot {\hat {\mathbf {z} }}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ cdot \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ cdot \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

prin urmare, momentul mecanic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ cu care va reacționa primăvară la stres este direct proporțională cu variația unghiului $\Delta \alpha$ ${\ Displaystyle \ Delta \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ alpha}$ . Constanta $k_{\theta }$ ${\ K displaystyle _ {\ theta}}$ ${\ K displaystyle _ {\ theta}}$ reprezintă constanta elastică tangențială a corpului, exprimată în $[\mathrm {N\cdot m} ]$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {N \ cdot m}]}$ ${\ Displaystyle [\ mathrm {N \ cdot m}]}$ .

Arc

Laboratorul springs legea lui Hooke prevede descrierea comportamentului fizic al corpurilor elastice (cum ar fi arcuri )

Cu toate acestea, formularea de astăzi a legii lui Hooke folosește două cantități vectorului, tensiunea ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ și deformarea ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ , Legate între ele printr - o tensor relație.

În cazul unidimensional, relația longitudinală devine:

\sigma =E\cdot \varepsilon

{\ Displaystyle \ sigma = E \ cdot \ varepsilon}

{\ Displaystyle \ sigma = E \ cdot \ varepsilon}

unde este $\varepsilon ={\frac {l_{f}-l_{i}}{l_{i}}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {l_ {f} -l_ {i}} {l_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {l_ {f} -l_ {i}} {l_ {i}}}}$ este dilatare liniară coeficient e $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este Young modulul de elasticitate longitudinal , în timp ce relația inversă este:

\varepsilon =C\cdot \sigma

{\ Displaystyle \ varepsilon = C \ cdot \ sigma}

{\ Displaystyle \ varepsilon = C \ cdot \ sigma}

în cazul în care inversul modulul lui Young se numește modulul longitudinal al conformității $C=E^{-1}$ ${\ Displaystyle C = E ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle C = E ^ {- 1}}$ .

În timp ce cazul unidimensional a relației tangențială devine:

\tau =G\cdot \gamma

{\ Displaystyle \ tau = G \ cdot \ gamma}

{\ Displaystyle \ tau = G \ cdot \ gamma}

unde este $\gamma =\alpha _{i}-\alpha _{f}=-\Delta \alpha$ ${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {f} = - \ Delta \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ gamma = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {f} = - \ Delta \ alpha}$ este alunecare unghiulară e coeficientul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este modulul de elasticitate tangential .

Din rapoartele precedente se poate deduce că:

k_{E}=E\cdot {\frac {S}{l_{i}}}

{\ Displaystyle k_ {E} = E \ cdot {\ frac {S} {l_ {i}}}}

{\ Displaystyle k_ {E} = E \ cdot {\ frac {S} {l_ {i}}}}

este asta:

k_{\theta }=G\cdot S\cdot b

{\ K displaystyle _ {\ theta} = G \ cdot S \ cdot b}

{\ K displaystyle _ {\ theta} = G \ cdot S \ cdot b}

unde este:

$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este secțiunea;
$l_{i}$ ${\ displaystyle l_ {i}}$ ${\ displaystyle l_ {i}}$ este dimensiunea longitudinală;
$b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este brațul de forța care determină momentul.

Demonstrație

Având în vedere un sistem de referință cartezian centrat pe un punct $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ aparținând unui corp deformabil, cu $P\in I_{\delta }(P_{0})$ ${\ P displaystyle \ în I _ {\ delta} (P_ {0})}$ ${\ P displaystyle \ în I _ {\ delta} (P_ {0})}$ si a zis $\mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{0}P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$ , Avem faptul că cinematicii punctului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este dat de ecuația:

s_{i}(P)=s_{i}(P_{0})+\mathbf {W} _{ij}\cdot r_{j}+\mathbf {E} _{ij}\cdot r_{j}

{\ Displaystyle s_ {i} (P) = s_ {i} (P_ {0}) + \ mathbf {W} _ {ij} \ cdot R_ {j} + \ mathbf {E} _ {ij} \ cdot R_ {j}}

{\ Displaystyle s_ {i} (P) = s_ {i} (P_ {0}) + \ mathbf {W} _ {ij} \ cdot R_ {j} + \ mathbf {E} _ {ij} \ cdot R_ {j}}

în timp ce statică tratamentul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ se obține prin teorema Cauchy-Poisson :

t_{i}(P)_{\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {T} _{ij}\cdot n_{j}

{\ Displaystyle T_ {i} (P) _ {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ mathbf {T} _ {ij} \ cdot n_ {j}}

{\ Displaystyle T_ {i} (P) _ {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ mathbf {T} _ {ij} \ cdot n_ {j}}

unde este:

$\mathbf {s}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ este vectorul de deplasare ;
${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ este poziția ;
${\underline {\underline {\mathbf {E} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {E}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {E}}}}}$ Și ${\underline {\underline {\mathbf {T} }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {T}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {T}}}}}$ ele sunt, respectiv, tensorii a tulpinilor și a tensiunilor, ambele simetrice; utilizarea notație Voigt , la aceste două tensori este posibil să se asocieze, respectiv, vectorul de deformare ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$ și vectorul de tensiune ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ .

In domeniul elastic, deformând un volum unitate infinitezimală $dV_{1}$ ${\ Displaystyle dV_ {1}}$ ${\ Displaystyle dV_ {1}}$ , Aducându-l dintr-un stat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la un stat $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , Aplicați un loc de muncă ${\mathcal {W}}_{AB}={\mathcal {W}}_{BA}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {AB} = {\ mathcal {W}} _ {BA}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} _ {AB} = {\ mathcal {W}} _ {BA}}$ . Prin urmare, eliberează materiale toate energia acumulată și acest lucru permite absența deformații reziduale să apară.

Pentru materiale hiperelastice , energia de deformare este definită ca o funcție continuă:

\omega (\varepsilon _{ij})=\int _{0}^{\varepsilon _{ij}}\sigma _{ij}\,\mathrm {d} \varepsilon _{ij}

{\ Displaystyle \ omega (\ varepsilon _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ varepsilon _ {ij}} \ sigma _ {ij} \, \ mathrm {d} \ varepsilon _ {ij}}

{\ Displaystyle \ omega (\ varepsilon _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ varepsilon _ {ij}} \ sigma _ {ij} \, \ mathrm {d} \ varepsilon _ {ij}}

Prin urmare, aceasta reprezintă potențialul tensiunilor, în timp ce potențialul deformatiilor este reprezentat de energia complementară:

\gamma (\sigma _{ij})=\int _{0}^{\sigma {ij}}\varepsilon _{ij}\,\mathrm {d} \sigma _{ij}

{\ Displaystyle \ gamma (\ sigma _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ sigma {ij}} \ varepsilon _ {ij} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {ij}}

{\ Displaystyle \ gamma (\ sigma _ {ij}) = \ int _ {0} ^ {\ sigma {ij}} \ varepsilon _ {ij} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {ij}}

Deoarece ambele sunt potențiale , ambele funcții trebuie să respecte condițiile Schwarz .

Pornind de la aceste considerente energetice, este posibil să se obțină legea lui Hooke în tensor termeni:

\sigma _{ij}=\mathbf {D} _{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \ cdot \ varepsilon _ {kl}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \ cdot \ varepsilon _ {kl}}

în cazul în care operatorul liniar $\mathbf {D} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ este tensorul elasticitate, legea invers, pe de altă parte, este definită ca:

\varepsilon _{ij}=\mathbf {A} _{ijkl}\cdot \sigma _{kl}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \ cdot \ sigma _ {kl}}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \ cdot \ sigma _ {kl}}

în cazul în care operatorul liniar $\mathbf {A} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ este tensorul de conformitate. Prin urmare, avem că:

{\begin{aligned}&\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{ij}\,\varepsilon _{kl}\\[4pt]&\gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{ij}\,\sigma _{kl}\\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \\ [4PT] & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl} \\\ end {aliniat}} }

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \\ [4PT] & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl} \\\ end {aliniat}} }

Cu toate acestea au fost derivate pentru materiale hiperelastice, aceste legi sunt valabile pentru toate tipurile de materiale elastice.

Este $\mathbf {D} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ acea $\mathbf {A} _{ijkl}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ acestea sunt tensori al patrulea ordin, prin urmare, ei au optzeci și unu de coeficienți scalare.

In general, ambele tensori au treizeci și șase de coeficienți independenți, care sunt reduse la douăzeci și unu , în cazul materialului hiperelastice și numai două în cazul omogen și material izotrop ; în acest din urmă caz legătura constitutivă este dată de relația:

{\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \cdot {\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})\cdot \mathbf {I} +2\cdot G\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \ cdot {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ cdot \ mathbf {I} +2 \ cdot G \ cdot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \ cdot {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ cdot \ mathbf {I} +2 \ cdot G \ cdot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

în timp ce, expresia inversă a legăturii constitutivă este următoarea:

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2G(3\lambda +2G)}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2G}} {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ lambda} {2G (3 \ lambda + 2G)}} \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ mathbf {I}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2G}} {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ lambda} {2G (3 \ lambda + 2G)}} \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ mathbf {I}}

unde este:

$\mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {I}}$ este matricea identitate ;
$\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este constanta matematicienilor Lamé ;
$G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este modulul de elasticitate tangential

$\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se leagă la modulul lui Young $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și raportul Poisson $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ prin următoarele relații:

G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\qquad \lambda ={\frac {E\cdot \nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}

{\ Displaystyle G = {\ frac {E} {2 (1+ \ nu)}} \ prototipurilor \ lambda = {\ frac {E \ cdot \ Nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu) }}}

{\ Displaystyle G = {\ frac {E} {2 (1+ \ nu)}} \ prototipurilor \ lambda = {\ frac {E \ cdot \ Nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu) }}}

Determinarea experimentală a constantei elastice a unui arc

aparate de verificare conform legii lui Hooke

tendință tipică a graficului legii lui Hooke

Validitatea legii lui Hooke pentru un arc poate fi, de asemenea, verificată în laborator, folosind echipament simplu. In general, scopul experimentului este de a determina valoarea constantei elastice longitudinale $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ de un arc.

Pentru a face acest lucru, arcul trebuie să fie supus unor sarcini în creștere, măsurarea alungirea acestuia $\Delta l$ ${\ displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ , Egal cu diferența dintre lungimea arcului supus sarcinii, în creștere, iar lungimea arcului în stare de repaus, adică nu supuse la sarcină verticală, mai mică decât greutatea arcului în sine. Relația dintre forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ aplicată și elongație $\Delta l$ ${\ displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ reprezintă exact valoarea constantei elastice $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ de această dată de primăvară. În acest moment, este necesar să se aplice creșterea forțelor verticale la primăvară, care, după legea lui Hooke, va produce elongatii $\Delta l$ ${\ displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ direct proporțională cu forțele $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ aplicat. Valorile individuale ale constante elastice $k_{E}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ ${\ Displaystyle k_ {E}}$ determinată în acest mod, în cazul în care experimentul este efectuat corect, ele vor fi constantă, cu excepția cazului în care există erori de măsurare care urmează să fie stabilite cu teoria erorilor .

În cazul în care $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ izvoare au fost plasate în serie, se poate demonstra și experimental verificat că, prin analogie cu ceea ce se întâmplă în câmp electric cu rezistențe electrice plasate în paralel, valoarea constanta elastică totală echivalentă $K. Și q$ ${\ Displaystyle Keq}$ ${\ Displaystyle Keq}$ acesta va fi legat de constantele elastice ale arcurilor singulare $k_{i}$ ${\ Displaystyle k_ {i}}$ $k_ {i}$ plasate în serie în conformitate cu următoarea relație:

{\frac {1}{k_{\text{eq}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {} eq}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {i}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {} eq}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {i}}}}

De exemplu, în cazul a două arcuri plasate în serie, valoarea constanta elastică totală echivalentă $K. Și q$ ${\ Displaystyle Keq}$ ${\ Displaystyle Keq}$ vor fi legate de constantele elastice ale celor două arcuri în conformitate cu următoarea relație:

{\frac {1}{k_{\text{eq}}}}={\frac {1}{k_{\text{1}}}}+{\frac {1}{k_{\text{2}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {eq}}}} = {\ frac {1} {k _ {\ text {1}}}} + {\ frac {1} {k _ {\ text {2}}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k _ {\ text {eq}}}} = {\ frac {1} {k _ {\ text {1}}}} + {\ frac {1} {k _ {\ text {2}}}}}

Bibliografie

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volumul I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .
Stefano Lenci, lecții în Mecanica structurale, Bologna, Pitagora Editrice, 2009.