Rigiditate

In mecanica materialului , rigiditatea este abilitatea unui organism de a se opune deformarea elastică cauzată de o forță aplicată. Inversa ei se numește conformitatea sau flexibilitatea.

Caracteristici

Rigiditatea este determinată de:

Material de proprietate, extensivă a materialului, adică depinde de cantitatea de material și pe materialul în sine.
Forma , forma structurii reușește să dea o rigiditate diferită pentru același material, ca și în cazul unui tub oval sau rotund.
Constrângeri , cu aceeași formă și material, există o rigiditate mai mare a unui pol constrâns la cele două capete, mai degrabă decât la un singur capăt. ^[1]

Definiție

Conceptul de rigiditate deriva din teoria elasticității , ecuația cel mai frecvent utilizat pentru care este legea lui Hooke . În element finit metoda și în analiza sistemelor elastice cu mai multe grade de libertate, legea Hooke este formulată în termeni tensoriale, permițând extinderea legii constitutiva a tuturor posibile grade de libertate . In cazul cel mai general formularea posibil, rigiditatea este cuantificată prin tensorul elasticitate $\mathbf {D} _{ijkl}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} _ {ijkl}}$ și respectarea de tensorul de conformitate $\mathbf {A} _{ijkl}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {ijkl}}$ :

\sigma _{ij}=\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\qquad \varepsilon _{ij}=\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{kl}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {kl}}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {kl}}

în plus, avem acea energie de deformare $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ și energie complementară $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ sunt egale cu:

\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {D} _{ijkl}\,\varepsilon _{ij}\,\varepsilon _{kl}\qquad \gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {A} _{ijkl}\,\sigma _{ij}\,\sigma _{kl}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ gamma = {\ frac { 1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {D} _ {ijkl} \, \ varepsilon _ {ij} \, \ varepsilon _ {kl} \ qquad \ gamma = {\ frac { 1} {2}} \ mathbf {A} _ {ijkl} \, \ sigma _ {ij} \, \ sigma _ {kl}}

unde este $\sigma _{ij}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ $\ sigma_ {ij}$ este tensiunea $\varepsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}}$ și deformare . Tensorii de elasticitate și conformitate sunt tensori de ordinul patru, prin urmare au 81 de coeficienți, dintre care 36 sunt independenți. În cazul în care materialul în curs de examinare este hiperelastice , coeficienții independenți sunt reduse la 21 și, în cazul în care este , de asemenea , omogen și izotrop, acestea vor fi doar două.

Utilizarea Voigt e notație , elasticitatea și de conformitate Tensorii sunt reprezentate de semidefinite pozitive matrici simetrice :

{\begin{aligned}&\sigma _{i}=\mathbf {d} _{ij}\,\varepsilon _{j}\\&\varepsilon _{i}=\mathbf {a} _{ij}\,\sigma _{j}\\\end{aligned}}\implies {\begin{aligned}&\omega ={\frac {1}{2}}\mathbf {d} _{ij}\,\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\\&\gamma ={\frac {1}{2}}\mathbf {a} _{ij}\,\sigma _{i}\sigma _{j}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sigma _ {i} = \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {j} \\ & \ varepsilon _ {i} = \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {j} \\\ end {align}} \ implic {{begin {align} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} \\ & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sigma _ {i} = \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {j} \\ & \ varepsilon _ {i} = \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {j} \\\ end {align}} \ implic {{begin {align} & \ omega = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {d} _ {ij} \, \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} \\ & \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} _ {ij} \, \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \\\ end {align}}}

Rigiditate longitudinală

În cazul unidimensional, formularea tradițională a relației care exprimă o solicitare longitudinală de-a lungul unei axe ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat x}$ Și:

\mathbf {F} =-k_{E}\Delta l\cdot {\hat {\mathbf {x} }}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -k_ {E} \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -k_ {E} \ Delta l \ cdot {\ hat {\ mathbf {x}}}}

de aceea, în acest caz, rigiditatea unui corp care suferă o alungire $\Delta l$ ${\ displaystyle \ Delta l}$ $\ Delta l$ cauzată de o aplicată forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ este reprezentat de constanta elastică longitudinală $k_{E}$ ${\ displaystyle k_ {E}}$ ${\ displaystyle k_ {E}}$ , În consecință , conformitatea va fi exprimată prin constanta de plastic longitudinal $k_{C}=k_{E}^{-1}$ ${\ displaystyle k_ {C} = k_ {E} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle k_ {C} = k_ {E} ^ {- 1}}$ . În Sistemul Internațional , constanta elastică longitudinală este măsurată în N · m ^-1 ( newton pe metru ), in timp ce constanta de plastic longitudinală este măsurată în m · N ^-1 (m peste newton).

Pentru a exprima stresul longitudinal, formularea de astăzi a cazului unidimensional folosește coeficientul de dilatare liniară $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ :

\sigma =E\varepsilon

{\ displaystyle \ sigma = E \ varepsilon}

{\ displaystyle \ sigma = E \ varepsilon}

unde rigiditatea este reprezentat de Young modulul de elasticitate longitudinal $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , în timp ce conformitatea va fi exprimată prin modulul de plasticitate longitudinală $C=E^{-1}$ ${\ displaystyle C = E ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle C = E ^ {- 1}}$ .

Rigiditate la rotație

Într-un mod complet analog, în cazul unidimensional, formularea tradițională a relației care exprimă o solicitare tangențială, la un plan la care o axă ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ este ortogonal, este:

\mathbf {M} =-k_{\theta }\Delta \alpha \cdot {\hat {\mathbf {z} }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = -k _ {\ theta} \ Delta \ alpha \ cdot {\ hat {\ mathbf {z}}}}

prin urmare, în acest caz, rigiditatea unui corp care suferă o variație unghiulară $\Delta \alpha$ ${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$ ${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$ cauzată de un aplicat clipă $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ este reprezentat de constanta elastică tangențială $k_{\theta }$ ${\ displaystyle k _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle k _ {\ theta}}$ , În consecință , conformitatea va fi exprimată de plastic tangențială constantă $k_{\gamma }=k_{\theta }^{-1}$ ${\ displaystyle k _ {\ gamma} = k _ {\ theta} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle k _ {\ gamma} = k _ {\ theta} ^ {- 1}}$ . În Sistemul Internațional, constanta elastică tangențială se măsoară în N · m (newton pe metru), in timp ce constanta de plastic tangențial se măsoară în (N · m) ^-1 (unul în newtoni pe metru).

Pentru a exprima stresul tangențial, formularea de astăzi a cazului unidimensional utilizează coeficientul de alunecare unghiulară $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ :

\tau =G\gamma

{\ displaystyle \ tau = G \ gamma}

{\ displaystyle \ tau = G \ gamma}

unde rigiditatea este reprezentată de modulul de elasticitate tangential $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , în timp ce conformitatea va fi exprimată prin modulul de plasticitate tangențială $G^{-1}$ ${\ displaystyle G ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle G ^ {- 1}}$ .

Relația dintre constante și modulul de elasticitate

Constantele și modulul de elasticitate, ambele utilizate pentru a exprima rigiditatea, sunt strâns legate între ele. Din rapoartele anterioare se poate deduce că $k_{E}=E{\frac {S}{l_{i}}}$ ${\ displaystyle k_ {E} = E {\ frac {S} {l_ {i}}}}$ ${\ displaystyle k_ {E} = E {\ frac {S} {l_ {i}}}}$ este asta $k_{\theta }=GSb$ ${\ displaystyle k _ {\ theta} = GSb}$ ${\ displaystyle k _ {\ theta} = GSb}$ , unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este secțiunea, $l_{i}$ ${\ displaystyle l_ {i}}$ ${\ displaystyle l_ {i}}$ este dimensiunea longitudinală e $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este brațul de forța care determină momentul. Cu toate acestea, există o diferență profundă între cele două categorii de cantități; de fapt, modulul de elasticitate sunt proprietăți constitutive ale materialului, în timp ce constantele elastice sunt proprietăți relative la corpul elastic. Adică modulul de elasticitate depinde doar de material, în timp ce constantele elastice depind de corp și de condițiile de constrângere.

Aplicații

Inginerie

În general, rigiditatea pe termen lung trebuie utilizat atunci când vorbim despre un material, rigiditate atunci când vorbim despre o structură. Rigiditatea unei structuri este de o importanță fundamentală în multe aplicații de inginerie , de fapt, reprezintă un parametru fundamental alegere a materialului. Se caută rigiditate ridicată atunci când se doresc deformări scăzute, rigiditate scăzută atunci când este necesară flexibilitate. Deplasarea se poate referi, în general, la un punct distinct de cel al aplicării forței, iar o structură complicată nu se va deforma doar în aceeași direcție ca și direcția aplicării forței. Prin tensorul de rigiditate este posibil să se caracterizeze rigiditatea structurii în toate direcțiile. Pentru un sistem simplu de puncte conectate prin arcuri, matricea de rigiditate descrie conectivitatea între gradele de libertate ale sistemului însuși. Un exemplu simplu este matricea de rigiditate a unei grinzi . Aceleași cantități utilizate pentru a exprima rigiditatea de rotație sunt, de asemenea, utilizate pentru a exprima rigiditatea la forfecare, raportul dintre deformarea forfecării pe unitate de forță aplicată și rigiditatea la torsiune, adică raportul dintre momentul de torsiune aplicat și unghiul de rotație.

Fiziologie

În fiziologie , rigiditatea pe termen lung (în limba engleză rigiditate) indică rezistența mecanică, densitatea și rigiditatea structurală a tendoanelor și a structurilor țesutului conjunctiv al mușchiului . Practic, cu cât rigiditatea acestor țesuturi este mai mare, cu atât este mai mare energia care poate fi stocată în timpul unei mișcări excentrice, pentru a fi apoi returnată și eliberată în timpul fazei concentrice. Patologic, aceasta indică dificultatea indoire unei articulații sau dificultate în flexie musculare din cauza hipertoniei .

Notă

^ Analiza cu element finit Filed pe 05 martie 2013 Internet Arhiva .

Bibliografie

P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volumul I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .
Stefano Lenci, lecții în Mecanica structurale, Bologna, Pitagora Editrice, 2009.

linkuri externe

Universitatea din Florența Curs de Master în Inginerie Mecanică Anul universitar 2004/05 Rigiditate (PDF), pe pcm.unifi.it. Adus de 22 februarie 2011 (arhivate din original la 30 decembrie 2005).

Controlul autorității	GND (DE) 4128096-9

Portal de inginerie

Portal mecanic

[1] Analiza cu element finit Filed pe 05 martie 2013 Internet Arhiva .

[1]