Calculul cadrelor plate cu metoda rigidității

Calculul cadrelor plate este prezentat mai jos, adică se dezvoltă o procedură care permite determinarea caracteristicilor de solicitare internă ale unui cadru plat. Un cadru este un set de grinzi conectate între ele cu constrângeri interne.

În special, se utilizează metoda de deplasare care trece prin calcularea matricei de rigiditate a structurii. Această metodă se mai numește și Metoda rigidității .

Matricea de rigiditate a unei structuri

Deplasările ( translațiile și rotațiile ) unor puncte sunt evidențiate pe o structură, definibilă prin valori scalare reale.

În aceleași puncte, la aceste deplasări se aplică sarcini externe omoloage (translații asociate cu forțe cu aceeași direcție, rotații momentane cu același plan de aplicare și direcție de rotație).

Trasarea deplasărilor nodale pe un vector vertical ${\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}$ iar tensiunile nodale aplicate pe aceleași noduri pe un vector vertical ${\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}$ , relația care leagă cele două cantități este de tipul:

{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}

.

in care ${\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}}}$ este o matrice asociată cu structura numită matricea de rigiditate a structurii. Pentru reciprocitate sau teorema lui Betti, matricea ${\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}}}$ este simetric.

Matricea de rigiditate a fasciculului

Pentru a determina matricea de rigiditate a întregii structuri, pornim de la calculul matricei de rigiditate a unui singur fascicul.

În acest caz, indicând cu ${\begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}$ deplasările punctelor finale ale fasciculului și cu ${\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}}}$ sarcinile aplicate în cele două puncte, cele două cantități vor fi legate printr-o relație precum:

{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}

.

in care ${\begin{Bmatrix}K\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} K \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} K \ end {Bmatrix}}}$ este matricea de rigiditate a fasciculului care este de tipul:

{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{1,1}&k_{1,2}&k_{1,3}&k_{1,4}&k_{1,5}&k_{1,6}\\k_{2,1}&k_{2,2}&k_{2,3}&k_{2,4}&k_{2,5}&k_{2,6}\\k_{3,1}&k_{3,2}&k_{3,3}&k_{3,4}&k_{3,5}&k_{3,6}\\k_{4,1}&k_{4,2}&k_{4,3}&k_{4,4}&k_{4,5}&k_{4,6}\\k_{5,1}&k_{5,2}&k_{5,3}&k_{5,4}&k_{5,5}&k_{5,6}\\k_{6,1}&k_{6,2}&k_{6,3}&k_{6,4}&k_{6,5}&k_{6,6}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} k_ {1,1} & k_ {1,2} & k_ {1,3} & k_ {1,4} & k_ {1, 5} & k_ {1,6} \\ k_ {2,1} & k_ {2,2} & k_ {2,3} & k_ {2,4} & k_ {2,5} & k_ {2,6} \\ k_ {3,1} & k_ {3,2} & k_ {3,3} & k_ {3,4} & k_ {3,5} & k_ {3,6} \\ k_ {4,1} & k_ {4,2} & k_ {4,3} & k_ {4,4} & k_ {4,5} & k_ {4,6} \\ k_ {5,1 } & k_ {5,2} & k_ {5,3} & k_ {5,4} & k_ {5,5} & k_ {5,6} \\ k_ {6,1} & k_ {6,2 } & k_ {6,3} & k_ {6,4} & k_ {6,5} & k_ {6,6} \ \\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} k_ {1,1} & k_ {1,2} & k_ {1,3} & k_ {1,4} & k_ {1, 5} & k_ {1,6} \\ k_ {2,1} & k_ {2,2} & k_ {2,3} & k_ {2,4} & k_ {2,5} & k_ {2,6} \\ k_ {3,1} & k_ {3,2} & k_ {3,3} & k_ {3,4} & k_ {3,5} & k_ {3,6} \\ k_ {4,1} & k_ {4,2} & k_ {4,3} & k_ {4,4} & k_ {4,5} & k_ {4,6} \\ k_ {5,1 } & k_ {5,2} & k_ {5,3} & k_ {5,4} & k_ {5,5} & k_ {5,6} \\ k_ {6,1} & k_ {6,2 } & k_ {6,3} & k_ {6,4} & k_ {6,5} & k_ {6,6} \ \\ end {bmatrix}}}

Calculul matricei de rigiditate locală a unui singur fascicul

Raportul scris mai sus este de natură generală și se aplică oricărui fascicul. Matricea de rigiditate a unui fascicul de secțiune constantă, constând dintr-un material omogen și izotrop, este calculată mai jos, urmând ipotezele lui de Saint Venant .

În special, se presupune că secțiunea fasciculului este constantă și de suprafață $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Momentul de inerție calculat de-a lungul unei axe perpendiculare pe planul cadrului și care trece prin centrul de greutate al secțiunii este $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ . În plus, această axă este una dintre axele principale de inerție ale secțiunii, astfel încât momentele aplicate în planul cadrului dau naștere la îndoire dreaptă.

Pentru a determina valorile coeficienților individuali ai matricei ${\begin{Bmatrix}K\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} K \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} K \ end {Bmatrix}}}$ se iau în considerare schemele statice.

Pornind de la calculul coeficienților privind sarcinile nodale $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ Și $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ , considerăm un fascicul constrâns la cel de-al doilea capăt, liber pe primul și supus unei sarcini axiale la acest ultim capăt $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ . Presupunând că neglijăm efectele ordinului doi (neliniaritatea geometrică), suntem în prezența unei deplasări $\eta _{1}\neq 0$ ${\ displaystyle \ eta _ {1} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ eta _ {1} \ neq 0}$ Și $\eta _{2...6}=0$ ${\ displaystyle \ age _ {2 ... 6} = 0}$ ${\ displaystyle \ age _ {2 ... 6} = 0}$ . Relația care leagă $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ la $\eta _{1}$ ${\ displaystyle \ eta _ {1}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {1}}$ Și:

$S_{1}=EA\varepsilon ={\frac {EA}{l}}\eta _{1}$ ${\ displaystyle S_ {1} = EA \ varepsilon = {\ frac {EA} {l}} \ eta _ {1}}$ ${\ displaystyle S_ {1} = EA \ varepsilon = {\ frac {EA} {l}} \ eta _ {1}}$

in care $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ este unitatea de deformare a tijei.

Reacția de constrângere axială pe a doua extremă este dată de:

$S_{4}=-S_{1}=-{\frac {EA}{l}}\eta _{1}$ ${\ displaystyle S_ {4} = - S_ {1} = - {\ frac {EA} {l}} \ eta _ {1}}$ ${\ displaystyle S_ {4} = - S_ {1} = - {\ frac {EA} {l}} \ eta _ {1}}$

Procedând în mod similar pentru $\eta _{4}$ ${\ displaystyle \ eta _ {4}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {4}}$ , putem obține:

${\begin{matrix}k_{1,1}={\frac {EA}{l}}&k_{1,2}=0&k_{1,3}=0&k_{1,4}=-{\frac {EA}{l}}&k_{1,5}=0&k_{1,6}=0\\k_{2,1}=0&k_{2,4}=0&k_{3,1}=0&k_{3,4}=0\\k_{4,1}=-{\frac {EA}{l}}&k_{4,2}=0&k_{4,3}=0&k_{4,4}={\frac {EA}{l}}&k_{4,5}=0&k_{4,6}=0\\k_{5,1}=0&k_{5,4}=0&k_{6,1}=0&k_{6,4}=0\\\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} k_ {1,1} = {\ frac {EA} {l}} & k_ {1,2} = 0 & k_ {1,3} = 0 & k_ {1,4 } = - {\ frac {EA} {l}} & k_ {1,5} = 0 & k_ {1,6} = 0 \\ k_ {2,1} = 0 & k_ {2,4} = 0 & k_ {3,1} = 0 & k_ {3, 4} = 0 \\ k_ {4,1} = - {\ frac {EA} {l}} & k_ {4,2} = 0 & k_ { 4,3} = 0 & k_ {4,4} = {\ frac {EA} {l}} & k_ {4,5} = 0 & k_ {4,6} = 0 \\ k_ {5,1} = 0 & k_ {5,4} = 0 & k_ {6,1} = 0 & k_ {6,4} = 0 \\\ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} k_ {1,1} = {\ frac {EA} {l}} & k_ {1,2} = 0 & k_ {1,3} = 0 & k_ {1,4 } = - {\ frac {EA} {l}} & k_ {1,5} = 0 & k_ {1,6} = 0 \\ k_ {2,1} = 0 & k_ {2,4} = 0 & k_ {3,1} = 0 & k_ {3, 4} = 0 \\ k_ {4,1} = - {\ frac {EA} {l}} & k_ {4,2} = 0 & k_ { 4,3} = 0 & k_ {4,4} = {\ frac {EA} {l}} & k_ {4,5} = 0 & k_ {4,6} = 0 \\ k_ {5,1} = 0 & k_ {5,4} = 0 & k_ {6,1} = 0 & k_ {6,4} = 0 \\\ end {matrix}}}$

Acum considerăm o grindă pur și simplu susținută, supusă la două momente în cele două extreme $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_3$ Și $S_{6}$ ${\ displaystyle S_ {6}}$ ${\ displaystyle S_ {6}}$ .

Cu unele calcule obținem că relația care leagă deplasările nodale $\eta _{3}$ ${\ displaystyle \ eta _ {3}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {3}}$ Și $\eta _{6}$ ${\ displaystyle \ eta _ {6}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {6}}$ la eforturile nodale $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_3$ Și $S_{6}\,\!$ ${\ displaystyle S_ {6} \, \!}$ ${\ displaystyle S_ {6} \, \!}$ Și:

{\begin{Bmatrix}\eta _{3}\\\eta _{6}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {l}{3EJ}}&-{\frac {l}{6EJ}}\\-{\frac {l}{6EJ}}&{\frac {l}{3EJ}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{3}\\S_{6}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {3} \\\ eta _ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {l} {3EJ}} & - {\ frac {l} {6EJ}} \\ - {\ frac {l} {6EJ}} și {\ frac {l} {3EJ}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S_ {3} \\ S_ {6} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {3} \\\ eta _ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {l} {3EJ}} & - {\ frac {l} {6EJ}} \\ - {\ frac {l} {6EJ}} și {\ frac {l} {3EJ}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S_ {3} \\ S_ {6} \ end {Bmatrix}}}

Inversând relația de mai sus avem:

{\begin{Bmatrix}S_{3}\\S_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4EJ}{l}}&{\frac {2EJ}{l}}\\{\frac {2EJ}{l}}&{\frac {4EJ}{l}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta _{3}\\\eta _{6}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {3} \\ S_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {4EJ} {l}} și {\ frac {2EJ} { l}} \\ {\ frac {2EJ} {l}} și {\ frac {4EJ} {l}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {3} \\\ age _ { 6} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {3} \\ S_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {4EJ} {l}} și {\ frac {2EJ} { l}} \\ {\ frac {2EJ} {l}} și {\ frac {4EJ} {l}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {3} \\\ age _ { 6} \ end {Bmatrix}}}

care vă permite să găsiți $k_{3,3}$ ${\ displaystyle k_ {3,3}}$ ${\ displaystyle k_ {3,3}}$ $k_{3,6}$ ${\ displaystyle k_ {3,6}}$ ${\ displaystyle k_ {3,6}}$ $k_{6,3}$ ${\ displaystyle k_ {6,3}}$ ${\ displaystyle k_ {6,3}}$ Și $k_{6,6}$ ${\ displaystyle k_ {6,6}}$ ${\ displaystyle k_ {6,6}}$ .

Calculând reacțiile verticale de susținere pe cele două extreme, găsim:

{\begin{matrix}S_{2}={\frac {S_{6}+S_{3}}{l}}={\frac {1}{l}}({\frac {6EJ}{l}}\eta _{3}+{\frac {6EJ}{l}}\eta _{6})\\S_{5}=-{\frac {S_{6}+S_{3}}{l}}=-{\frac {1}{l}}({\frac {6EJ}{l}}\eta _{3}+{\frac {6EJ}{l}}\eta _{6})\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {2} = {\ frac {S_ {6} + S_ {3}} {l}} = {\ frac {1} {l}} ({\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {3} + {\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {6}) \\ S_ {5} = - {\ frac {S_ {6} + S_ {3}} {l}} = - {\ frac {1} {l}} ({\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {3} + {\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {6} ) \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {2} = {\ frac {S_ {6} + S_ {3}} {l}} = {\ frac {1} {l}} ({\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {3} + {\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {6}) \\ S_ {5} = - {\ frac {S_ {6} + S_ {3}} {l}} = - {\ frac {1} {l}} ({\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {3} + {\ frac {6EJ} {l}} \ eta _ {6} ) \\\ end {matrix}}}

de la care:

{\begin{matrix}k_{2,3}=k_{2,6}={\frac {6EJ}{l^{2}}}\\k_{5,3}=k_{5,6}=-{\frac {6EJ}{l^{2}}}\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} k_ {2,3} = k_ {2,6} = {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ k_ {5,3} = k_ {5, 6} = - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} k_ {2,3} = k_ {2,6} = {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ k_ {5,3} = k_ {5, 6} = - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\\ end {matrix}}}

Pentru a găsi coeficienții rămași, analizăm un fascicul orizontal încastrat pe primul capăt și constrâns pe cel de-al doilea cu un ghid care permite numai translarea verticală. O forță verticală este aplicată celui de-al doilea vârf $S_{5}\,\!$ ${\ displaystyle S_ {5} \, \!}$ ${\ displaystyle S_ {5} \, \!}$ . În acest caz deplasarea verticală $\eta _{5}$ ${\ displaystyle \ eta _ {5}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {5}}$ a doua extremă este dată de relația:

$\eta _{5}={\frac {S_{5}l^{3}}{12EJ}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {5} = {\ frac {S_ {5} l ^ {3}} {12EJ}}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {5} = {\ frac {S_ {5} l ^ {3}} {12EJ}}}$

de la care:

$k_{5,5}={\frac {12EJ}{l^{3}}}$ ${\ displaystyle k_ {5,5} = {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle k_ {5,5} = {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$

Încă referindu-ne la configurația descrisă mai sus, reacția de constrângere verticală din prima extremă este egală cu $-S_{5}$ ${\ displaystyle -S_ {5}}$ ${\ displaystyle -S_ {5}}$ . Prin urmare:

$k_{2,5}=-{\frac {12EJ}{l^{3}}}$ ${\ displaystyle k_ {2,5} = - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle k_ {2,5} = - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$

Prin simetrie se găsește $k_{2,2}$ ${\ displaystyle k_ {2,2}}$ ${\ displaystyle k_ {2,2}}$ Și $k_{5,2}$ ${\ displaystyle k_ {5,2}}$ ${\ displaystyle k_ {5,2}}$ egală respectiv cu ${\frac {12EJ}{l^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$ Și $-{\frac {12EJ}{l^{3}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}}}$ .

Rezumând ceea ce am văzut până acum, avem următoarea matrice de rigiditate:

{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{l}}&0&0&-{\frac {EA}{l}}&0&0\\0&{\frac {12EJ}{l^{3}}}&{\frac {6EJ}{l^{2}}}&0&-{\frac {12EJ}{l^{3}}}&{\frac {6EJ}{l^{2}}}\\0&{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {4EJ}{l}}&0&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {2EJ}{l}}\\-{\frac {EA}{l}}&0&0&{\frac {EA}{l}}&0&0\\0&-{\frac {12EJ}{l^{3}}}&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}&0&{\frac {12EJ}{l^{3}}}&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}\\0&{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {2EJ}{l}}&0&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {4EJ}{l}}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 & - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ { 3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {4EJ} {l}} & 0 & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {2EJ} {l}} \\ - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 & {\ frac {EA } {l}} & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac { 2EJ} {l}} & 0 & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} și {\ frac {4EJ} {l}} \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 & - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ { 3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {4EJ} {l}} & 0 & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {2EJ} {l}} \\ - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 & {\ frac {EA } {l}} & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac { 2EJ} {l}} & 0 & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} și {\ frac {4EJ} {l}} \\\ end {bmatrix}}}

Sistem global de referință

Ceea ce tocmai a fost descris se referă la un sistem de referință local al fasciculului care are axa absciselor care coincide cu axa fasciculului. Trebuie să asamblați ulterior matricea globală de rigiditate a structurii, este totuși necesară coordonarea sistemelor de referință ale diferitelor grinzi. Pentru a face acest lucru, sistemele de referință ale grinzilor individuale sunt readuse la un sistem de referință comun. Acest lucru va însemna transportul deplasărilor și tensiunilor de la sistemul local de referință al fasciculului la sistemul global de referință.

Indicând cu ${\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}}}$ Și ${\begin{Bmatrix}S_{G}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}}}$ respectiv deplasările și tensiunile nodale din sistemul global de referință, cele două trebuie să fie legate între ele prin relație:

{\begin{Bmatrix}S_{G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{G}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K_ {G} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ age _ {G} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K_ {G} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ age _ {G} \ end {Bmatrix}}}

. În cele ce urmează dorim să identificăm coeficienții lui ^{[ incomplet ]}

Pentru a face acest lucru, începem prin caracterizarea fasciculului cu un versor bidimensional ${\vec {t}}$ ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$ orientat ca aceeași tijă și având prin definiție modul unitar. Presupunând că capetele fasciculului sunt cele două puncte $P_{1}(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ Și $P_{2}(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle P_ {2} (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle P_ {2} (x_ {2}, y_ {2})}$ , componentele ${\vec {t}}$ ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$ sunt date de:

{\begin{matrix}t_{x}={\frac {x_{2}-x_{1}}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\\t_{y}={\frac {y_{2}-y_{1}}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} t_ {x} = {\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}} \\ t_ {y} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1 }) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}} \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} t_ {x} = {\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}} \\ t_ {y} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1 }) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}} \\\ end {matrix}}}

Rețineți că presupunând egal cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ înclinarea fasciculului față de axa abscisei, componentele devin:

{\begin{matrix}t_{x}=\cos \alpha \\t_{y}=\sin \alpha \\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} t_ {x} = \ cos \ alpha \\ t_ {y} = \ sin \ alpha \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} t_ {x} = \ cos \ alpha \\ t_ {y} = \ sin \ alpha \\\ end {matrix}}}

În acest caz, având în vedere că rotațiile rămân neschimbate odată cu variațiile sistemului de referință, legătura dintre deplasările din sistemul de referință local ${\begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}$ și deplasările din sistemul global de referință ${\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}}}$ Și:

{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}

unde matricea ${\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}}}$ este dat de:

{\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{x}&-t_{y}&0&0&0&0\\t_{y}&t_{x}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&t_{x}&-t_{y}&0\\0&0&0&t_{y}&t_{x}&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0&0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\0&0&0&\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} t_ {x} & - t_ {y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ t_ {y} & t_ { x} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_ {x} & - t_ {y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_ {y} & t_ {x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} }

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} t_ {x} & - t_ {y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ t_ {y} & t_ { x} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_ {x} & - t_ {y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t_ {y} & t_ {x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} }

${\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}}}$ este o matrice simetrică cu o particularitate: inversul său este egal cu transpunerea sa $(G^{-1}=G^{T})$ ${\ displaystyle (G ^ {- 1} = G ^ {T})}$ ${\ displaystyle (G ^ {- 1} = G ^ {T})}$ .

În mod similar, relația care leagă tensiunile nodale din sistemul local ${\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}}}$ celor din sistemul global ${\begin{Bmatrix}S_{G}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}}}$ Și:

{\begin{Bmatrix}S_{G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}}}

Inversând relațiile menționate mai sus, obținem:

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G^{T}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}\\{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G^{T}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{G}\end{Bmatrix}}\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} \\ {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S_ { G} \ end {Bmatrix}} \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} \\ {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S_ { G} \ end {Bmatrix}} \\\ end {matrix}}}

pe care îl înlocuiți în:

{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta \end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta \ end {Bmatrix}}}

furnizați:

{\begin{bmatrix}G^{T}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}G^{T}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} S_ {G} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}}}

din care se obține matricea de rigiditate ${\begin{bmatrix}K_{G}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K_ {G} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K_ {G} \ end {bmatrix}}}$ căutat:

{\begin{bmatrix}K_{G}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}G^{T}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K_ {G} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} K_ {G} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} K \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} G ^ {T} \ end {bmatrix}}}

Ansamblu global al matricei de rigiditate

În paragrafele anterioare am analizat grinzile individual, acum întregul cadru. Cadrul arată ca un set de grinzi care interacționează între ele și cu mediul extern. În cadrul formalismului matematic, această interacțiune se manifestă prin constrângeri interne (interacțiunea între grinzi) și externe (interacțiune cu mediul extern).

Analitic, va fi necesar să treci de la matricea de rigiditate a grinzilor individuale la matricea de rigiditate a cadrului.

Se presupune că cadrul constă din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grinzi, vectorii de deplasare nodală ai grinzilor individuale sunt uniți pentru a obține un vector ${\begin{Bmatrix}\mathrm {H} \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}}}$ a deplasărilor nodale ale cadrului disjunct definit astfel:

{\begin{Bmatrix}\mathrm {H} \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}_{1}\\{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}_{2}\\...\\{\begin{Bmatrix}\eta _{G}\end{Bmatrix}}_{n}\\\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} _ {1} \ \ {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} _ {2} \\ ... \\ {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} _ { n} \\\ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} _ {1} \ \ {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} _ {2} \\ ... \\ {\ begin {Bmatrix} \ eta _ {G} \ end {Bmatrix}} _ { n} \\\ end {Bmatrix}}}

Scopul este de a trece pe lângă vector $\mathrm {H}$ ${\ displaystyle \ mathrm {H}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {H}}$ (deplasări nodale ale fiecărui fascicul) către vector $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a deplasărilor nodale ale cadrului. Prin urmare, se caută un operator ${\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}$ care leagă cele două cantități în funcție de:

{\begin{Bmatrix}\mathrm {H} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}

${\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}$ se numește matrice de incidență și este o matrice $m\times 6n$ ${\ displaystyle m \ times 6n}$ ${\ displaystyle m \ times 6n}$ , in care $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este numărul de deplasări nodale ale războiului, $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ este numărul total de deplasări nodale pentru fiecare fascicul (4 translații și 2 rotații) e $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul de licitații. Elementul generic $i_{i,6(j-1)+k}\quad (i=1...m,j=1...n,k=1...6)$ ${\ displaystyle i_ {i, 6 (j-1) + k} \ quad (i = 1 ... m, j = 1 ... n, k = 1 ... 6)}$ ${\ displaystyle i_ {i, 6 (j-1) + k} \ quad (i = 1 ... m, j = 1 ... n, k = 1 ... 6)}$ va fi egal cu 1 dacă deplasarea $\eta _{k}$ ${\ displaystyle \ eta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {k}}$ în interiorul grinzii $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ deplasarea corespunde $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ al cadrului, altfel va fi 0.

Trecând la analiza sarcinilor nodale, putem uni sarcinile nodale într-un singur vector ${\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ definit astfel:

{\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}_{n}\\{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}_{2}\\...\\{\begin{Bmatrix}S\end{Bmatrix}}_{n}\\\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} _ {n} \\ {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} _ {2} \\ ... \\ {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} _ {n} \\\ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} _ {n} \\ {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} _ {2} \\ ... \\ {\ begin {Bmatrix} S \ end {Bmatrix}} _ {n} \\\ end {Bmatrix}}}

Relația care leagă vectorul ${\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ (sarcini nodale ale fiecărui fascicul) către vector ${\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}$ (sarcini nodale pe întregul cadru) este:

{\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}

Astfel reapare matricea incidenței.

Prin asamblarea adecvată a matricilor de rigiditate ale grinzilor individuale, se poate observa și asta ${\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ Și ${\begin{Bmatrix}\mathrm {H} \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}}}$ acestea sunt legate între ele prin relație:

{\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathrm {H} \end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix }}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix }}}

in care:

{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}_{1}&&0&&0&&...&&0\\0&&{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}_{2}&&0&&...&&0\\0&&0&&{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}_{3}&&...&&0\\...&&...&&...&&...&&...\\0&&0&&0&&...&&{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}_{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{l}}&0&0&-{\frac {EA}{l}}&0&0\\0&{\frac {12EJ}{l^{3}}}&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}&0&-{\frac {12EJ}{l^{3}}}&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}\\0&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {4EJ}{l}}&0&{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {2EJ}{l}}\\-{\frac {EA}{l}}&0&0&{\frac {EA}{l}}&0&0\\0&-{\frac {12EJ}{l^{3}}}&{\frac {6EJ}{l^{2}}}&0&{\frac {12EJ}{l^{3}}}&{\frac {6EJ}{l^{2}}}\\0&-{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {2EJ}{l}}&0&{\frac {6EJ}{l^{2}}}&{\frac {4EJ}{l}}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {1} && 0 && 0 &&. .. && 0 \\ 0 && {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {2} && 0 && ... && 0 \\ 0 && 0 && {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {3} && ... && 0 \\ ... && ... && ... && ... && ... \\ 0 && 0 && 0 && ... && {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {n} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {EA} { l}} & 0 & 0 & - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} { l ^ {2}}} & 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & - {\ frac { 6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {4EJ} {l}} & 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} și {\ frac {2EJ} {l}} \ \ - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 & {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {2EJ} {l}} & 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {4EJ } {l}} \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {1} && 0 && 0 &&. .. && 0 \\ 0 && {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {2} && 0 && ... && 0 \\ 0 && 0 && {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {3} && ... && 0 \\ ... && ... && ... && ... && ... \\ 0 && 0 && 0 && ... && {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} _ {n} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {EA} { l}} & 0 & 0 & - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} { l ^ {2}}} & 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & - {\ frac { 6EJ} {l ^ {2}}} și {\ frac {4EJ} {l}} & 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} și {\ frac {2EJ} {l}} \ \ - {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 & {\ frac {EA} {l}} & 0 & 0 \\ 0 & - {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & 0 & {\ frac {12EJ} {l ^ {3}}} & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} \\ 0 & - {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {2EJ} {l}} & 0 & {\ frac {6EJ} {l ^ {2}}} & {\ frac {4EJ } {l}} \\\ end {bmatrix}}}

Prin inversarea relației care leagă ${\begin{Bmatrix}\Sigma \end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ Sigma \ end {Bmatrix}}}$ și ${\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}}}$ și înlocuind relațiile anterioare, avem:

{\begin{bmatrix}F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\Sigma \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathrm {H} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} F \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ Sigma \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} F \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ Sigma \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ mathrm {H} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}}}

din care se poate deduce că matricea de rigiditate a structurii este dată de relația:

{\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathrm {K} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix} } {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {K} \ end {bmatrix} } {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}

Sarcini concentrate și distribuite aplicate de-a lungul fasciculului (sarcini infranodale)

Până în prezent s-a presupus prezența doar a încărcărilor aplicate în noduri. De fapt, această ipoteză în prezența sarcinilor concentrate de-a lungul elementului ar fi o limită ușor de depășit. În acest caz, ar fi suficient să redefiniți structura prin includerea punctului în cauză între nodurile cadrului.

În prezența sarcinilor distribuite, limita de mai sus nu poate fi depășită. În acest caz, este necesar să se revizuiască abordarea văzută până acum prin introducerea unui nou vector în ecuația care reglementează problema, astfel încât să existe:

{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}} + {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} H \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}} + {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}

Vectorul ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ depinde de sarcinile concentrate și distribuite aplicate structurii.

Pentru a înțelege semnificația fizică a acestui nou vector, luăm în considerare cazul:

{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} 0 \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} X \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} 0 \ end {Bmatrix}}}

Atunci:

{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}

De aici vectorul ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ este definită ca valoarea tensiunilor nodale în prezența zero deplasări. Vectorul ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ depinde de caracteristicile geometrice și fizice ale cadrului, precum și de sarcinile infranodale externe aplicate.

Pentru a calcula acest vector, procedați într-un mod similar cu ceea ce s-a făcut mai sus pentru calcularea matricei de rigiditate a cadrului: pornim apoi de la analiza unui singur fascicul, calculând valorile sarcinilor din sistemul său de referință local. nodale care anulează schimbările nodale ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ; rezultatele astfel obținute sunt transformate din sistemul de referință local în cel global folosind matricea ${\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G \ end {bmatrix}}}$ ; am ajuns astfel să avem un vector ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} S_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ pentru fiecare grindă a structurii; pentru a obține un singur vector ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} F_ {0} \ end {Bmatrix}}}$ matricea de incidență va trebui folosită din nou ${\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I \ end {bmatrix}}}$ .

Segue il calcolo del vettore ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ . A tale scopo si suppone per la trave un qualsiasi tipo di vincolo, tale da rendere la trave isostatica. Per semplicità ad esempio si suppone di avere un incastro sul primo vertice e che il secondo vertice sia libero. A seguito dell'applicazione dei carichi esterni infranodali, si ha sulla trave una deformazione assiale totale $\lambda (z)={\frac {N(z)}{EA(z)}}+{\bar {\lambda }}(z)$ $\lambda (z)={\frac {N(z)}{EA(z)}}+{\bar {\lambda }}(z)$ $\lambda (z)={\frac {N(z)}{EA(z)}}+{\bar {\lambda }}(z)$ ed una curvatura totale $\mu (z)={\frac {M(z)}{EJ(z)}}+{\bar {\mu }}(z)$ $\mu (z)={\frac {M(z)}{EJ(z)}}+{\bar {\mu }}(z)$ $\mu (z)={\frac {M(z)}{EJ(z)}}+{\bar {\mu }}(z)$ .

Si calcolano le reazioni vincolari nel vincolo incastrato, indicate con $S_{1}^{*}$ $S_{1}^{*}$ $S_{1}^{*}$ , $S_{2}^{*}$ $S_{2}^{*}$ $S_{2}^{*}$ ed $S_{3}^{*}$ $S_{3}^{*}$ $S_{3}^{*}$ , tali valori vengono inseriti nel vettore $S^{*}$ $S^{*}$ $S^{*}$ , così definito:

{\begin{Bmatrix}S^{*}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}S_{1}^{*}\\S_{2}^{*}\\S_{3}^{*}\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S^{*}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}S_{1}^{*}\\S_{2}^{*}\\S_{3}^{*}\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S^{*}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}S_{1}^{*}\\S_{2}^{*}\\S_{3}^{*}\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}

Si calcolano ora gli spostamenti nodali nel vertice libero. Per fare questo si utilizza il principio dei lavori virtuali , assumendo come struttura di confronto sempre una trave incastrata sul primo vertice e libera nel secondo. Gli spostamenti della trave saranno:

{\begin{Bmatrix}\eta _{1}^{**}\\\eta _{2}^{**}\\\eta _{3}^{**}\\\eta _{4}^{**}\\\eta _{5}^{**}\\\eta _{6}^{**}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\\int _{0}^{l}\lambda (z)\,dz\\\int _{0}^{l}l\left({\frac {z}{l}}-1\right)\mu (z)\,dz\\\int _{0}^{l}\mu (z)\,dz\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}\eta _{1}^{**}\\\eta _{2}^{**}\\\eta _{3}^{**}\\\eta _{4}^{**}\\\eta _{5}^{**}\\\eta _{6}^{**}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\\int _{0}^{l}\lambda (z)\,dz\\\int _{0}^{l}l\left({\frac {z}{l}}-1\right)\mu (z)\,dz\\\int _{0}^{l}\mu (z)\,dz\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}\eta _{1}^{**}\\\eta _{2}^{**}\\\eta _{3}^{**}\\\eta _{4}^{**}\\\eta _{5}^{**}\\\eta _{6}^{**}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\\int _{0}^{l}\lambda (z)\,dz\\\int _{0}^{l}l\left({\frac {z}{l}}-1\right)\mu (z)\,dz\\\int _{0}^{l}\mu (z)\,dz\end{Bmatrix}}

Le forze nodali ${\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}$ possono essere calcolate servendosi della matrice di rigidezza secondo la relazione:

{\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta ^{**}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta ^{**}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\eta ^{**}\end{Bmatrix}}

Per il principio di sovrapposizione degli effetti il vettore ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ cercato sarà dato dalla relazione:

{\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}S^{*}\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}S^{*}\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}S^{*}\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}S^{**}\end{Bmatrix}}

Il vettore ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ così ottenuto si riferisce al sistema di riferimento locale della trave analizzata. Per il passaggio al sistema di riferimento globale utilizziamo la matrice ${\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}$ sopra definita, secondo la relazione:

{\begin{Bmatrix}S_{0,G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S_{0,G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}S_{0,G}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}G\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}

Rimane infine da assemblare il vettore ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ dell'intera struttura. Per fare questo si dovrà analizzare l'equilibrio di ciascun nodo della struttura. In questo modo si ottengono nuovamente i termini della matrice di incidenza, secondo:

{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{0,G}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{0,G}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}S_{0,G}\end{Bmatrix}}

Non linearità

Finora si è sviluppato il modello assumendo un comportamento elastico lineare del materiale; più nello specifico si è supposto l'esistenza di una relazione lineare tra curvatura, deformazione media assiale e caratteristiche di sollecitazione.

I materiali utilizzati nella tecnica corrente si discostano molto da tale comportamento teorico. Tale aspetto viene genericamente individuato con l'espressione non-linearità meccanica .

Un'altra ipotesi fatta riguarda l'influenza delle deformazioni sullo stato finale di equilibrio: si calcolano le caratteristiche di sollecitazione della trave riferendoci alla configurazione indeformata ma se si considera ad esempio il caso di un pilastro snello incastrato alla base e soggetto sull'estremo libero a due carichi, uno verticale ed uno orizzontale, le deformazioni assunte dal pilastro fanno sì che il carico verticale determini la comparsa di sollecitazioni flessionali sulla trave per carico di punta .

Nel seguito si modificherà il modello di modo che riesca a considerare anche queste problematiche.

Non linearità meccanica

Per analizzare le problematiche legate alla non linearità meccanica si dovrà scendere ad un maggior livello di dettaglio, arrivando ad analizzare il comportamento dei singoli punti costituenti la sezione della trave.

Si suppone di avere una sezione definita tramite un insieme di punti riferiti ad un certo sistema di riferimento. All'interno dell'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, la deformazione di un generico punto costituente la sezione può essere ottenuta a partire da quella dell'origine della sezione secondo:

{\begin{matrix}\varepsilon _{z}(y)=\lambda +\mu \ y\\\gamma =\eta \end{matrix}}

{\begin{matrix}\varepsilon _{z}(y)=\lambda +\mu \ y\\\gamma =\eta \end{matrix}}

{\begin{matrix}\varepsilon _{z}(y)=\lambda +\mu \ y\\\gamma =\eta \end{matrix}}

Assumendo per il materiale costituente la sezione un legame costitutivo di tipo elastico-lineare isotropo, si dovrà associare a tali deformazioni delle tensioni ottenute secondo:

{\begin{matrix}\sigma _{z}(y)=E\left(\lambda +\mu \ y\right)\\\tau =G\ \eta \end{matrix}}

{\begin{matrix}\sigma _{z}(y)=E\left(\lambda +\mu \ y\right)\\\tau =G\ \eta \end{matrix}}

{\begin{matrix}\sigma _{z}(y)=E\left(\lambda +\mu \ y\right)\\\tau =G\ \eta \end{matrix}}

Tali tensioni si traducono in un legame lineare tra le caratteristiche di sollecitazione ed i parametri deformativi.

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}N\\M\\T\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA&ES&0\\ES&EJ&0\\0&0&tGA\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda \\\mu \\\eta \end{Bmatrix}}\end{matrix}}

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}N\\M\\T\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA&ES&0\\ES&EJ&0\\0&0&tGA\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda \\\mu \\\eta \end{Bmatrix}}\end{matrix}}

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}N\\M\\T\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA&ES&0\\ES&EJ&0\\0&0&tGA\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda \\\mu \\\eta \end{Bmatrix}}\end{matrix}}

Si trascura il taglio (per travi snelle il taglio ha un contributo ridotto rispetto alle altre sollecitazioni interne) e ci si concentra solo su momento flettente e sforzo normale (ipotesi più che plausibile nella maggior parte dei casi). La relazione sopra esposta mostra un legame di tipo lineare tra sforzo normale, momento flettente e le caratteristiche di deformazione della sezione.

Sia l'acciaio che il calcestruzzo hanno un comportamento diverso da quello lineare fin qui descritto. Per entrambi i materiali la non-linearità del legame costitutivo del materiale si traduce in una non-linearità del legame tra sforzo normale, momento flettente e caratteristiche deformative. Si dovrà quindi modificare il modello teorico per fare in modo che tenga conto di quest'ultimo aspetto.

Purtroppo non è disponibile una formula chiusa che permetta di calcolare il telaio sotto queste ipotesi, servirà perciò utilizzare dei metodi iterativi.

Si possono individuare nella trave un certo numero significativo di sezioni e su queste andare a verificare la discrepanza tra modello teorico lineare e comportamento effettivo del materiale.

A questo punto un primo approccio è quello di modificare i parametri di rigidezza della sezione, sostanzialmente area e momento di inerzia, per riportare il comportamento teorico in quello effettivo.

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}N\\M\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA^{*}&ES^{*}\\ES^{*}&EJ^{*}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda \\\mu \end{Bmatrix}}\end{matrix}}

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}N\\M\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA^{*}&ES^{*}\\ES^{*}&EJ^{*}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda \\\mu \end{Bmatrix}}\end{matrix}}

{\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}N\\M\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA^{*}&ES^{*}\\ES^{*}&EJ^{*}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda \\\mu \end{Bmatrix}}\end{matrix}}

A questo punto si deve ricalcolare la matrice di rigidezza della trave come se si trattasse di una nuova trave a sezione variabile o analogamente, un insieme di travi più piccole collegate tra loro. Si deve quindi ricalcolare tutte le matrici di rigidezza delle singole travi e successivamente riassemblare la matrice di rigidezza del telaio. Risolvere il sistema lineare così definito e verificare nuovamente quale discrepanza c'è tra il modello adottato e quello effettivo del materiale. Si procede così fino a quando lo scarto tra i due sarà sufficientemente piccolo.

Computazionalmente questo approccio presenta non poche difficoltà. Il difetto principale del metodo appena descritto è nella necessità di ricalcolare più volte la matrice di rigidezza e successivamente di doverla risolvere. Per telai minimamente realistici questo vuol dire avere a disposizione una notevole potenza di calcolo.

Un approccio meno dispendioso sotto questo punto di vista lascia invece invariati i parametri di rigidezza della sezione e trasla la legge costitutiva fino a portarla a coincidere con quella effettiva del materiale. Traducendo il tutto in formule, questo vuol dire introdurre due coefficienti ${\bar {\lambda }}$ ${\bar {\lambda }}$ ${\bar {\lambda }}$ e ${\bar {\mu }}$ ${\bar {\mu }}$ ${\bar {\mu }}$ tali per cui il legame della sezione diventi:

{\begin{Bmatrix}N\\M\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA&ES\\ES&EJ\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda +{\bar {\lambda }}\\\mu +{\bar {\mu }}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}N\\M\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA&ES\\ES&EJ\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda +{\bar {\lambda }}\\\mu +{\bar {\mu }}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}N\\M\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}EA&ES\\ES&EJ\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\lambda +{\bar {\lambda }}\\\mu +{\bar {\mu }}\end{Bmatrix}}

Le grandezze ${\bar {\lambda }}$ ${\bar {\lambda }}$ ${\bar {\lambda }}$ e ${\bar {\mu }}$ ${\bar {\mu }}$ ${\bar {\mu }}$ si presentano come deformazioni impresse sulla sezione e quindi alla stregua di normali carichi infranodali. Utilizzando l'approccio descritto sopra, si può tradurre quindi tali parametri in vettori ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}S_{0}\end{Bmatrix}}$ e quindi in un vettore ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ proprio della struttura.

A questo punto si è evitato il ricalcolo della matrice di rigidezza della struttura però si deve comunque risolvere il sistema:

{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}

{\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}

A questo punto bisogna ricalcolare nuovamente lo scarto tra modello teorico e modello reale e ripetere il procedimento sopra indicato fino ad ottenere un livello sufficiente di precisione.

Volendo risparmiare tempo si può apportare una piccola modifica al procedimento sopra esposto: la prima volta che si risolve il sistema ${\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}$ , invertire la matrice ${\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}H\end{bmatrix}}$ . Il maggiore onere computazionale necessario tornerà utile nei passaggi successivi, allorché sarà sufficiente calcolare:

{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H^{-1}\end{bmatrix}}\left({\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}\right)

{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H^{-1}\end{bmatrix}}\left({\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}\right)

{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}H^{-1}\end{bmatrix}}\left({\begin{Bmatrix}F\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}F_{0}\end{Bmatrix}}\right)

in cui i termini a destra del segno uguale sono tutti noti.

Non è detto che il procedimento iterativo così descritto porti sempre ad una soluzione; si può ad esempio verificare che il telaio non è in grado di sopportare i carichi imposti.

Non linearità geometrica

Nella stragrande maggioranza dei casi ingegneristici si possono ritenere trascurabili gli effetti delle deformazioni della struttura sull'entità delle sollecitazioni e sui fenomeni di instabilità.

Pertanto fino ad ora l'analisi del telaio si è potuta effettuare con la teoria del primo ordine ( analisi del primo ordine ) e cioè imponendo l'equilibrio sulla configurazione iniziale della struttura (struttura indeformata).

In presenza di elementi strutturali snelli gli spostamenti non più trascurabili prodotti dalle azioni applicate determinano l'insorgere di un'eccentricità del carico assiale agente, con conseguente formazione di un momento flettente ( carico di punta ) o incremento di quello già presente sull'elemento strutturale (strutture pressoinflesse).

In questo caso di parla di effetti del secondo ordine e il relativo momento flettente addizionale è detto momento del secondo ordine .

Tale fenomeno influenza notevolmente sia la deformabilità in esercizio, sia la capacità resistente ultima di una struttura snella.

Le verifiche di stabilità si devono condurre attraverso un' analisi del secondo ordine , imponendo l'equilibrio sulla configurazione deformata della struttura.

Voci correlate

Portale Ingegneria : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di ingegneria