Instabilitate de flambaj

În inginerie, instabilitatea datorată unei sarcini de vârf axiale care acționează asupra unui element este o prăbușire bruscă a unui element structural supus la solicitări intense de compresie, deși solicitarea efectivă de compresiune care generează prăbușirea este mai mică decât tensiunea maximă pe care o are componenta materială capabil să îndure. Acest tip de colaps se mai numește colaps din cauza instabilității elastice .

Flambarea axială este o solicitare de compresie aplicată pe capul unei tije. Deoarece în realitatea fizică este imposibil ca o astfel de compresie să tensioneze elementul cu o tensiune normală pură, tensiunea nu va avea exact axa care coincide cu axa barcentrică a secțiunii, ci va fi la o anumită distanță de aceasta, creând astfel o momentul de îndoire.

O structură subțire, care primește astfel de solicitări, tinde să se aplece până la punctul de rupere și să se prăbușească. Prin urmare, fenomenul de instabilitate vârfului de sarcină, de asemenea , numit instabilitate Eulerian, instabilitate Eulerian sau, în limba engleză , flambaj, trebuie evitată cu mare precauție, deoarece este dezastruoasă.

Pentru a evita acest fenomen, este necesar să se prevadă corect sarcinile de proiectare și acțiunile de stres, modificându-le parametrii dacă este necesar. De exemplu:

reducerea compresiei;
încercarea de a reduce excentricitatea sarcinii;
mărirea suprafeței secțiunii pentru a reduce flexibilitatea tijei;
reducerea lungimii obiectului;
adăugarea de constrângeri cu alți membri din apropiere sau cu solul;

Ultimele două măsuri sunt menite să reducă lungimea de deviere liberă a grinzii.

Un exemplu de element supus instabilității flambării poate fi o coloană sau o grindă încastrată la un capăt și liberă în celălalt, caracterizată printr-o subțire considerabilă (raportul lungime / diametru). În mod similar, copacii semi-maturi sau maturi cu o valoare modestă a parametrului "h / d" ("Slenderness Ratio" sau "Tapering Index") sunt supuși acestui tip de colaps. Acest tip de solicitare afectează, de asemenea, bielele motoarelor rapide: atunci când, de fapt, pistonul trece de la punctul mort superior la centrul mort inferior și invers, biela este comprimată.

Legare

Coeficientul de deviere pentru diferite suporturi ale grinzii

Dovada matematică a ceea ce urmează se datorează lui Euler și este dată mai jos.

Profilul de deviere depinde puternic de tipul de constrângeri. De fapt, în primul rând este definit un coeficient de constrângere , indicat cu μ în figură. Corespunde cu raportul dintre lungimea de deviere liberă a fasciculului și lungimea sa fizică (indicată cu „l” în figură).

Valorile coeficientului pentru unele cazuri de constrângere sunt:

- μ = 1 pentru un fascicul constrâns cu 2 balamale la capete: după cum puteți vedea în figură, deformarea este a unui sinusoid simplu care are o lungime de undă egală cu dublul lungimii fasciculului
- μ = 2 pentru un fascicul constrâns cu o singură potrivire perfectă (consolă). Se poate vedea în figură că lungimea de undă a deformării este de patru ori lungimea fizică a fasciculului
- μ = 1/2 pentru un fascicul constrâns cu 2 îmbinări perfecte la capete: lungimea de undă a sinusoidului coincide cu lungimea fasciculului
- μ = 2/3 pentru un fascicul constrâns cu o potrivire perfectă și o balama

Din acest coeficient, lungimea de deformare liberă este calculată odată ce se cunoaște măsurarea fasciculului, cu un produs simplu:

$\lambda =\mu \,l$ ${\ displaystyle \ lambda = \ mu \, l}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ mu \, l}$

Slenderness

Este indicat cu raportul de subțire sau pur și simplu subțire (este un număr pur ):

\lambda '={\frac {\lambda }{\rho }}

{\ displaystyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda} {\ rho}}}

{\ displaystyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda} {\ rho}}}

unde este:

\rho ={\sqrt {\frac {I}{A}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {\ frac {I} {A}}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {\ frac {I} {A}}}}

unde este:

ρ este raza de inerție a secțiunii transversale
I este momentul de inerție al secțiunii
A este zona secțiunii

Apoi se calculează valoarea maximă a zveltei, ca raport între lungimea deviată calculată cu coeficientul de deviere și măsurarea fasciculului și valoarea razei de inerție a fasciculului (minimul dacă avem un fascicul cu secțiune variabilă ). Alternativ, formula echivalentă este:

\lambda '_{max}=\mu {\frac {l}{\rho _{min}}}

{\ displaystyle \ lambda '_ {max} = \ mu {\ frac {l} {\ rho _ {min}}}}

{\ displaystyle \ lambda '_ {max} = \ mu {\ frac {l} {\ rho _ {min}}}}

Limite de reglementare

Pentru grinzile de oțel, standardul italian ^[1] recomandă să nu depășească valoarea de 200 pentru elementele principale și 250 pentru cele secundare.

În prezența unor acțiuni dinamice semnificative, valorile menționate mai sus trebuie să fie limitate la 150 și respectiv 200.
În structurile din beton armat, coloanele cu secțiune constantă sunt considerate subțiri pentru care zveltura maximă este mai mare de 35.

Lipsa unei prescripții ferme, prezentă anterior, se datorează faptului că aceste valori reprezintă mai mult o limită de validitate a criteriilor de verificare prescrise. Pentru a demonstra această afirmație, este suficient să se compare zveltura a două profile goale a căror secțiune diferă doar în ceea ce privește grosimea. Profilul cu grosime mai mare va avea un raport de zveltură mai mare, deși este cu siguranță mai rezistent.

Schema statică

Metoda lui Euler

Același subiect în detaliu: încărcătura critică a lui Euler .

Metoda lui Euler este o metodă concepută de aceeași în 1755, care implică soluția unui sistem de ecuații diferențiale pentru fasciculul elastic.

Soluția acestor ecuații oferă următoarea expresie a stresului critic eulerian al îndoirii presiunii ^[2] :

 ${\frac {\sigma _{cr}}{E}}=\left({\frac {\pi }{\lambda '}}\right)^{2}$  $σ$   $c$   $r$   $ȘI$   $=$   $($   $π$   $λ$   $'$   $)$   $2$   ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {cr}} {E}} = \ left ({\ frac {\ pi} {\ lambda '}} \ right) ^ {2}}$   ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {cr}} {E}} = \ left ({\ frac {\ pi} {\ lambda '}} \ right) ^ {2}}$

unde este:

σ este tensiunea mecanică în fasciculul elastic liniar luat în considerare
E reprezintă modulul de elasticitate normală a materialului care constituie fasciculul elastic liniar
λ ' este subțire (raportul dintre lungimea deviată (NU a fasciculului) și raza de inerție .
π este numărul pi

Deci, practic, stresul normal al instabilității eulerian depinde doar de forma (forma secțiunii și subțire) și materialul fasciculului. În timpul fazei de verificare, pentru a determina coeficientul de siguranță la sarcina maximă, această valoare trebuie pur și simplu comparată cu tensiunea normală echivalentă de îndoire :

FS={\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{e}}}={\frac {\pi ^{2}E}{{\lambda }^{2}\sigma _{e}}}

{\ displaystyle FS = {\ frac {\ sigma _ {cr}} {\ sigma _ {e}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {{\ lambda} ^ {2} \ sigma _ {Și}}}}

FS = \ frac {\ sigma_ {cr}} {\ sigma_e} = \ frac {\ pi ^ 2 E} {{\ lambda} ^ 2 \ sigma_e}

În mod corespunzător, în timpul fazei de proiectare, tensiunea normală maximă permisă este determinată de raportul dintre sarcina critică euleriană și factorul de siguranță ales.

\sigma _{a}={\frac {\sigma _{cr}}{FS}}={\frac {\pi ^{2}E}{FS\,{\lambda }^{2}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {a} = {\ frac {\ sigma _ {cr}} {FS}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {FS \, {\ lambda} ^ {2} }}}

\ sigma_a = \ frac {\ sigma_ {cr}} {FS} = \ frac {\ pi ^ 2 E} {FS \, {\ lambda} ^ 2}

Cu toate acestea, în practica inginerească, utilizarea echivalentă a raportării forțelor corespunzătoare încă supraviețuiește, în ciuda faptului că expresia sarcinii critice euleriană ca forță conține mai mulți termeni și, prin urmare, este mai complicat de reținut și depinde și de mărimea fascicul și nu numai pe forma sa. cu alte cuvinte, grinzile similare din același material au aceeași solicitare critică (aceleași megapascali), dar sarcină critică diferită ( kilonewtoni diferiți).

Expresia sarcinii critice euleriană în termeni de forță normală este ^[2] :

F_{cr}=\sigma _{cr}A={\frac {\pi ^{2}EI_{min}}{L_{0}^{2}}}

{\ displaystyle F_ {cr} = \ sigma _ {cr} A = {\ frac {\ pi ^ {2} EI_ {min}} {L_ {0} ^ {2}}}}

F_ {cr} = \ sigma_ {cr} A = \ frac {\ pi ^ 2 E I_ {min}} {L_0 ^ 2}

unde sunt termenii suplimentari:

L ₀ este lungimea liberă a flexiunii
I _min este momentul minim de inerție al secțiunii transversale

prin urmare, coeficientul de siguranță sub sarcină euleriană este:

FS={\frac {F_{cr}}{F}}={\frac {\pi ^{2}EI_{min}}{L_{0}^{2}F}}

{\ displaystyle FS = {\ frac {F_ {cr}} {F}} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI_ {min}} {L_ {0} ^ {2} F}}}

FS = \ frac {F_ {cr}} {F} = \ frac {\ pi ^ 2 E I_ {min}} {L_0 ^ 2 F}

iar forța normală maximă admisibilă este calculată ca:

F_{a}={\frac {F_{cr}}{FS}}={\frac {\pi ^{2}EI_{min}}{FSL_{0}^{2}}}

{\ displaystyle F_ {a} = {\ frac {F_ {cr}} {FS}} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI_ {min}} {FSL_ {0} ^ {2}}}}

F_a = \ frac {F_ {cr}} {FS} = \ frac {\ pi ^ 2 E I_ {min}} {FS L_0 ^ 2}

.

Formula Rankine

Formula Rankine se numără printre cele mai utilizate metode de mărire a flambajului, datorită simplității sale. A fost definită o sarcină admisibilă de compresie $\sigma _{amm}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {amm}}$ $\ sigma_ {amm}$ , calculată prin împărțirea rezistenței la randament a materialului la un factor de siguranță adecvat, sarcina de siguranță la sarcina de vârf este:

K_{p}={\frac {\sigma _{amm}}{1+\alpha (\lambda )\lambda ^{2}}}

{\ displaystyle K_ {p} = {\ frac {\ sigma _ {amm}} {1+ \ alpha (\ lambda) \ lambda ^ {2}}}}

K_p = \ frac {\ sigma_ {amm}} {1 + \ alpha (\ lambda) \ lambda ^ 2}

Parametrul $\alpha (\lambda )$ ${\ displaystyle \ alpha (\ lambda)}$ $\ alfa (\ lambda)$ de fapt depinde de material și de subțire $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ și trebuie să fie alese de proiectant.

pentru oțel $\alpha =0,00010-0,00015-0,00020$ ${\ displaystyle \ alpha = 0.00010-0.00015-0.00020}$ $\ alpha = 0.00010 - 0.00015 - 0.00020$ ;
pentru fonta $\alpha =0,00020-0,00060$ ${\ displaystyle \ alpha = 0.00020-0.00060}$ $\ alpha = 0.00020 - 0.00060$ ;
pentru beton armat $\alpha =0,00010-0,00015$ ${\ displaystyle \ alpha = 0.00010-0.00015}$ $\ alfa = 0,00010 - 0,00015$ .

Dintre valorile indicate, cele mai scăzute se aplică pentru slăbiciune redusă, în timp ce cele mai mari se aplică pentru slăbiciune ridicată.

Metoda Omega

Același subiect în detaliu: metoda Omega .

Cu metoda tensiunilor admisibile , a fost introdusă o metodă simplificată numită metoda ω pentru studiul problemelor de flambaj.

Dacă luăm în considerare un membru care este comprimat axial, dar suficient de ghemuit pentru a putea crede că nu pot exista fenomene de instabilitate ( efecte de ordinul doi ), sarcina maximă admisibilă este:

P=\sigma _{amm}A

{\ displaystyle P = \ sigma _ {amm} A}

P = \ sigma_ {amm} A

unde este:

σ _amm este stresul admisibil al materialului
A este aria secțiunii transversale a elementului.

Să presupunem că mărim lungimea l a stâlpului: pentru a nu declanșa fenomenul instabilității, este necesar să se reducă P sau să se reducă stresul de calcul admisibil.

Apelând ω coeficientul de reducere al σ _amm vom avea că sarcina critică este:

P={\frac {\sigma _{amm}}{\omega }}A

{\ displaystyle P = {\ frac {\ sigma _ {amm}} {\ omega}} A}

P = \ frac {\ sigma_ {amm}} {\ omega} A

această formulă poate fi scrisă și în felul următor:

{\frac {P}{A}}={\frac {\sigma _{amm}}{\omega }}

{\ displaystyle {\ frac {P} {A}} = {\ frac {\ sigma _ {amm}} {\ omega}}}

\ frac {P} {A} = \ frac {\ sigma_ {amm}} {\ omega}

din formula de încărcare critică Euler rezultă că:

{\frac {P_{cr}}{A}}=\sigma _{cr}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {cr}} {A}} = \ sigma _ {cr}}

\ frac {P_ {cr}} {A} = \ sigma_ {cr}

Prin urmare:

σ _cr = σ _amm / ω
ω = σ _amm / σ _cr .

Se poate observa că ω fiind egal cu un raport de tensiune, este un număr pur, care ia în considerare și teoria lui Euler și subțire a elementului ( λ ).

Există tabele specifice, pentru fiecare material, prin care ω este determinat în funcție de valoarea asumată de λ .

Cu metoda ω este posibil să se efectueze verificarea flambării unui element subțire prin aplicarea metodologiei standard pentru verificări simple de comprimare a elementelor ghemuit.

De fapt, stabilesc mai întâi tensiunea de acțiune:

\sigma ={\frac {P}{A}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {P} {A}}}

\ sigma = \ frac {P} {A}

Ulterior, pe baza tipului de material, a caracteristicilor geometrice și a constrângerilor care acționează, stabilesc subțiritatea coloanei și, în consecință, din tabele, valoarea lui ω .

În acest moment formula de flambare pentru un element slab devine următoarea:

\omega {\frac {P}{A}}\leq \sigma _{amm}.

{\ displaystyle \ omega {\ frac {P} {A}} \ leq \ sigma _ {amm}.}

\ omega \ frac {P} {A} \ le \ sigma_ {amm}.

Notă

^ Monitorul Oficial , pe www.gazzettaufficiale.it . Adus la 13 iulie 2021 .
^ ^a ^b Niemann, Winter, Elements of machines, vol. 1 p.57

Bibliografie

Pentru secțiunea formulei Rankine, s-a făcut referire la: G. Cagliero, Meccanica Vol. 1, Zanichelli / ESAC, Bologna 1992.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse privind instabilitatea de vârf
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Buckling Instability

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85017438

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie

[1] Monitorul Oficial , pe www.gazzettaufficiale.it . Adus la 13 iulie 2021 .

[Niemann-2] Niemann, Winter, Elements of machines, vol. 1 p.57

[1]

[2]