Îndoirea sub presiune

Îndoirea sub presiune este o tensiune compusă din compresie și îndoire , care este generată de o forță de compresie axială și un moment de îndoire .

Îndoire simplă și deviată

Îndoirea simplă este o solicitare generată de un efort normal asociat cu un moment de încovoiere . Deflexia deviată este o tensiune generată de un efort normal, asociat cu o deflexiune deviată, adică rezultată din suma a două componente (momente de încovoiere) $M_{x}$ ${\ displaystyle M_ {x}}$ $M_x$ , $M_{y}$ ${\ displaystyle M_ {y}}$ ${\ displaystyle M_ {y}}$ ).

Îndoirea poate fi generată și de o solicitare excentrică normală ca în cazul tipic al unei coloane cu sarcină neaxială.

Rezistența la îndoire

Trebuie subliniat faptul că există materiale rezistente la tracțiune, oțel, beton armat corespunzător și invers, materiale care rezistă puțin sau nimic, cum ar fi solul. În acest din urmă caz, este întotdeauna bine să aveți centrul de presiune în interiorul miezului central de inerție.

În cazul materialului simplu la îndoire și rezistență la tracțiune, adoptând ipoteza DSV (menținerea secțiunilor plane ...) este posibil să se calculeze tensiunea care solicită o fibră generică a secțiunii, la o distanță y de axa x, folosind PSE, adică adăugând tensiunile individuale derivate din CDS individuale:

{\sigma }={\frac {N}{A}}\pm {\frac {M_{x}}{W}}

{\ displaystyle {\ sigma} = {\ frac {N} {A}} \ pm {\ frac {M_ {x}} {W}}}

{\ displaystyle {\ sigma} = {\ frac {N} {A}} \ pm {\ frac {M_ {x}} {W}}}

${\sigma }$ ${\ displaystyle {\ sigma}}$ ${\ displaystyle {\ sigma}}$ tensiunea unei fibre generice a secțiunii (în mod convențional pozitivă la tracțiune, negativă la compresie)
${N}$ ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle {N}}$ efort normal
${A}$ ${\ displaystyle {A}}$ ${\ displaystyle {A}}$ zona secțiunii
${M_{x}}$ ${\ displaystyle {M_ {x}}}$ ${\ displaystyle {M_ {x}}}$ momentul de îndoire
${W}={\frac {I_{x}}{y}}$ ${\ displaystyle {W} = {\ frac {I_ {x}} {y}}}$ ${\ displaystyle {W} = {\ frac {I_ {x}} {y}}}$ modulul de rezistență
$I_{x}$ ${\ displaystyle I_ {x}}$ $I_x$ momentul de inerție al secțiunii examinate
y distanța fibrei generice de axa x

Observând formula sau raționamentul prin intuiție cu cantitățile implicate, se poate observa că:

un moment ridicat de inerție , fiind un numitor, permite o reducere a tensiunii de stres.
Momentul de îndoire ridicat ridică tensiunea de îndoire .
Tensiunea are o tendință liniară care se încadrează în compresie (sau simplă tracțiune) dacă este momentul $M_{x}$ ${\ displaystyle M_ {x}}$ $M_x$ este nul; simplă îndoire dacă efortul normal este zero.

Îndoirea sub presiune și relațiile dintre axa neutră și nucleul central de inerție în materialele reactive la întindere

Când un fascicul solid (în general o prismă cu secțiune dreptunghiulară) este supus unei solicitări excentrice normale, punctul în care se aplică tensiunea normală (centrul de presiune) are o linie de acțiune paralelă, dar nu coincidentă cu axa barentrică a fasciculului. Prin urmare, centrul de presiune este deplasat în raport cu centrul de greutate al secțiunii valorice $x_{c},y_{c}$ ${\ displaystyle x_ {c}, y_ {c}}$ ${\ displaystyle x_ {c}, y_ {c}}$ care determină excentricitatea. De exemplu, în cel mai simplu caz de solicitare normală și îndoire dreaptă în jurul axei x, se dovedește $x_{c}=0,y_{c}=e$ ${\ displaystyle x_ {c} = 0, y_ {c} = e}$ ${\ displaystyle x_ {c} = 0, y_ {c} = e}$ . Pe de altă parte, tratând cazul mai general al tensiunii normale asociate cu îndoirea deviată, propunem să calculăm ecuația axei neutre; numite xc și yc coordonatele de aplicare a forței N, momentele acestei forțe față de axele x și y sunt: $M_{x}=N\cdot y_{c},M_{y}=-N\cdot x_{c}$ ${\ displaystyle M_ {x} = N \ cdot y_ {c}, M_ {y} = - N \ cdot x_ {c}}$ ${\ displaystyle M_ {x} = N \ cdot y_ {c}, M_ {y} = - N \ cdot x_ {c}}$ . Tensiunea care va fi creată pe secțiune va fi dată de: ${\sigma _{z}}={\frac {N}{A}}+{\frac {M_{x}\cdot y}{J_{x}}}-{\frac {M_{y}\cdot x}{J_{y}}}\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} = {\ frac {N} {A}} + {\ frac {M_ {x} \ cdot y} {J_ {x}}} - {\ frac {M_ {y } \ cdot x} {J_ {y}}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} = {\ frac {N} {A}} + {\ frac {M_ {x} \ cdot y} {J_ {x}}} - {\ frac {M_ {y } \ cdot x} {J_ {y}}} \ Rightarrow}$ ${\sigma _{z}}={\frac {N}{A}}+{\frac {N\cdot y_{c}\cdot y}{J_{x}}}+{\frac {N\cdot x_{c}\cdot x}{J_{y}}}\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} = {\ frac {N} {A}} + {\ frac {N \ cdot y_ {c} \ cdot y} {J_ {x}}} + {\ frac { N \ cdot x_ {c} \ cdot x} {J_ {y}}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} = {\ frac {N} {A}} + {\ frac {N \ cdot y_ {c} \ cdot y} {J_ {x}}} + {\ frac { N \ cdot x_ {c} \ cdot x} {J_ {y}}} \ Rightarrow}$ Adesea ecuația axei neutre este dată ca o funcție a giratorului de inerție ${\rho _{x}^{2}}={\frac {J_{x}}{A}},{\rho _{y}^{2}}={\frac {J_{y}}{A}},\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ rho _ {x} ^ {2}} = {\ frac {J_ {x}} {A}}, {\ rho _ {y} ^ {2}} = {\ frac {J_ {y }} {A}}, \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ rho _ {x} ^ {2}} = {\ frac {J_ {x}} {A}}, {\ rho _ {y} ^ {2}} = {\ frac {J_ {y }} {A}}, \ Rightarrow}$ ${\sigma _{z}}={\frac {N}{A}}\left(1+{\frac {y_{c}\cdot y}{\rho _{x}^{2}}}+{\frac {x_{c}\cdot x}{\rho _{y}^{2}}}\right)\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} = {\ frac {N} {A}} \ left (1 + {\ frac {y_ {c} \ cdot y} {\ rho _ {x} ^ {2} }} + {\ frac {x_ {c} \ cdot x} {\ rho _ {y} ^ {2}}} \ right) \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} = {\ frac {N} {A}} \ left (1 + {\ frac {y_ {c} \ cdot y} {\ rho _ {x} ^ {2} }} + {\ frac {x_ {c} \ cdot x} {\ rho _ {y} ^ {2}}} \ right) \ Rightarrow}$ Axa neutră n va fi cea pentru care: ${\sigma _{z}}=$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} =}$ ${\ displaystyle {\ sigma _ {z}} =}$ $1+{\frac {y_{c}\cdot y}{\rho _{x}^{2}}}+{\frac {x_{c}\cdot x}{\rho _{y}^{2}}}=0$ ${\ displaystyle 1 + {\ frac {y_ {c} \ cdot y} {\ rho _ {x} ^ {2}}} + {\ frac {x_ {c} \ cdot x} {\ rho _ {y} ^ {2}}} = 0}$ ${\ displaystyle 1 + {\ frac {y_ {c} \ cdot y} {\ rho _ {x} ^ {2}}} + {\ frac {x_ {c} \ cdot x} {\ rho _ {y} ^ {2}}} = 0}$

Valorile mai mici ale excentricității corespund unei distanțe mai mari a axei neutre față de centrul de greutate. Axa neutră este antipolara centrului de solicitare C. Este legitim să se afirme că axa neutră este secantă, tangentă sau exterioară secțiunii, în funcție de faptul dacă C este dispus în exterior, la limită sau în interiorul miezului central de inerție. În primul caz, axa neutră taie secțiunea, astfel încât aceasta să fie o parte întinsă și o parte comprimată. În al doilea caz, axa neutră este tangentă la secțiune: tensiunile au același semn și se anulează la punctul de contact. În al treilea caz, axa neutră este externă secțiunii și tensiunile au același semn peste tot și nu se anulează în niciun punct din secțiune. Desenarea miezului central de inerție (figura plană cu centrul în centrul de greutate al secțiunii) se efectuează analitic sau grafic dacă elipsa centrală este cunoscută și dacă sunt urmate proprietățile antipolarității inerției: dacă figura are un vârf , de exemplu, corespunde unei secțiuni rectilinii a miezului și, invers, dacă figura are o secțiune rectilinie, un vârf al miezului îi corespunde. Prin urmare, deducem că nucleul este întotdeauna o figură convexă. Dacă secțiunea este poligonală, miezul este și poligonal. Dacă secțiunea este circulară, miezul va fi și circular. Razele de bază sunt date de: ${\omega _{x}}={\frac {\rho _{x}^{2}}{Ymax}},{\omega _{y}}={\frac {\rho _{y}^{2}}{Xmax}}\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ omega _ {x}} = {\ frac {\ rho _ {x} ^ {2}} {Ymax}}, {\ omega _ {y}} = {\ frac {\ rho _ {y } ^ {2}} {Xmax}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {x}} = {\ frac {\ rho _ {x} ^ {2}} {Ymax}}, {\ omega _ {y}} = {\ frac {\ rho _ {y } ^ {2}} {Xmax}} \ Rightarrow}$

Din definiția giratorului rezultă: ${\omega _{x}}={\frac {J_{x}}{A\cdot Ymax}},{\omega _{y}}={\frac {J_{y}}{A\cdot Xmax}}\Rightarrow$ ${\ displaystyle {\ omega _ {x}} = {\ frac {J_ {x}} {A \ cdot Ymax}}, {\ omega _ {y}} = {\ frac {J_ {y}} {A \ cdot Xmax}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {x}} = {\ frac {J_ {x}} {A \ cdot Ymax}}, {\ omega _ {y}} = {\ frac {J_ {y}} {A \ cdot Xmax}} \ Rightarrow}$

${\omega _{x}}={\frac {W_{x}}{A}},{\omega _{y}}={\frac {W_{y}}{A}}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {x}} = {\ frac {W_ {x}} {A}}, {\ omega _ {y}} = {\ frac {W_ {y}} {A}}}$ ${\ displaystyle {\ omega _ {x}} = {\ frac {W_ {x}} {A}}, {\ omega _ {y}} = {\ frac {W_ {y}} {A}}}$

De exemplu într-o secțiune pătrată $a\cdot a$ ${\ displaystyle a \ cdot a}$ ${\ displaystyle a \ cdot a}$ raza miezului este:

${\omega }={\frac {W}{A}}={\frac {a^{3}}{6\cdot a^{2}}}={\frac {a}{6}}$ ${\ displaystyle {\ omega} = {\ frac {W} {A}} = {\ frac {a ^ {3}} {6 \ cdot a ^ {2}}} = {\ frac {a} {6} }}$ ${\ displaystyle {\ omega} = {\ frac {W} {A}} = {\ frac {a ^ {3}} {6 \ cdot a ^ {2}}} = {\ frac {a} {6} }}$

Calculul tensiunilor din materiale care nu sunt rezistente la tracțiune

Luând în considerare orice secțiune dreptunghiulară de dimensiuni $a\cdot b$ ${\ displaystyle a \ cdot b}$ ${\ displaystyle a \ cdot b}$ , omogen și supus la îndoirea sub presiune, analizăm trei cazuri, în funcție de punctul de aplicare a forței de compresie, deci de excentricitatea acesteia. Materialul ipotezat are o rezistență redusă la întindere (sol, zidărie, cărămizi, pietre naturale etc.); întrucât ruperea acestui tip de materiale este de tip fragil, este de preferat să nu se bazeze pe capacitatea lor de a rezista la rezistența la tracțiune, introducând ipoteza de precauție că acestea nu rezistă deloc la solicitări de tracțiune. Este clar că situația ideală ar fi obținerea întregii secțiuni comprimate (centrul de presiune conținut în nucleul central de inerție); dacă centrul de presiune este în afara nucleului, dar încă în interiorul secțiunii, echilibrul este încă posibil, dar trebuie garantat numai prin solicitări de compresie. În consecință, poziția axei neutre nu coincide cu cea pe care ar fi presupus-o dacă materialul ar fi putut, de asemenea, să dezvolte solicitări de tracțiune. Zona comprimată are o extensie mai mică și în partea rămasă a secțiunii va exista o ușoară desprindere între o față și cealaltă. Pe de altă parte, echilibrul este imposibil dacă centrul de presiune cade în afara secțiunii, deoarece ar trebui să fie garantat numai prin solicitări de tracțiune că materialul nu este, prin ipoteză, capabil să se dezvolte.

Calculul excentricității

e={\frac {M}{N}}

{\ displaystyle e = {\ frac {M} {N}}}

{\ displaystyle e = {\ frac {M} {N}}}

Zero runout (compresie pură)

e=0\Rightarrow \sigma ={\frac {N}{A}}

{\ displaystyle e = 0 \ Rightarrow \ sigma = {\ frac {N} {A}}}

{\ displaystyle e = 0 \ Rightarrow \ sigma = {\ frac {N} {A}}}

Excentricitate mică (compresie și îndoire dreaptă)

În excentricitate mică ipotezele DSV sunt valabile. Secțiunile rămân plate și este posibil să se aplice principiul suprapunerii efectelor. Iată, atunci, că efortul de pe secțiunea dreptunghiulară supusă la îndoire poate fi calculat ca suma efortului datorat efortului normal centrat cu cel datorat îndoirii drepte (Navier).

e\leq w={\frac {b}{6}}\Rightarrow {\sigma }={\frac {N}{A}}\pm {\frac {M_{x}}{W}}\Rightarrow

{\ displaystyle e \ leq w = {\ frac {b} {6}} \ Rightarrow {\ sigma} = {\ frac {N} {A}} \ pm {\ frac {M_ {x}} {W}} \ Sageata dreapta}

{\ displaystyle e \ leq w = {\ frac {b} {6}} \ Rightarrow {\ sigma} = {\ frac {N} {A}} \ pm {\ frac {M_ {x}} {W}} \ Sageata dreapta}

pentru secțiunea dreptunghiulară rezultă că:

{\sigma }={\frac {N}{a\cdot b}}\pm {\frac {M_{x}}{\frac {a\cdot b^{2}}{6}}}={\frac {N}{a\cdot b}}\left(1\pm {\frac {6\cdot e}{b}}\right)

{\ displaystyle {\ sigma} = {\ frac {N} {a \ cdot b}} \ pm {\ frac {M_ {x}} {\ frac {a \ cdot b ^ {2}} {6}}} = {\ frac {N} {a \ cdot b}} \ left (1 \ pm {\ frac {6 \ cdot e} {b}} \ right)}

{\ displaystyle {\ sigma} = {\ frac {N} {a \ cdot b}} \ pm {\ frac {M_ {x}} {\ frac {a \ cdot b ^ {2}} {6}}} = {\ frac {N} {a \ cdot b}} \ left (1 \ pm {\ frac {6 \ cdot e} {b}} \ right)}

Mare excentricitate (materiale nerezistente la tracțiune) adică ${\frac {b}{6}}\leq e\leq {\frac {b}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {6}} \ leq și \ leq {\ frac {b} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {6}} \ leq și \ leq {\ frac {b} {2}}}$

Excentricitatea este mai mare decât raza miezului. Centrul de presiune nu poate ieși din secțiune, altfel nu ar mai exista echilibru.

${\frac {M}{N}}>w={\frac {b}{6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M} {N}}> w = {\ frac {b} {6}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {M} {N}}> w = {\ frac {b} {6}}}$

Pot calcula distanța dintre centrul de presiune și marginea cea mai stresată prin compresie: $u={\frac {b}{2}}-e$ ${\ displaystyle u = {\ frac {b} {2}} - e}$ ${\ displaystyle u = {\ frac {b} {2}} - e}$

Nu știu a priori ce valoare are zona de reacție, cu atât mai puțin poziția axei de separare (axa neutră în cazul materialelor care nu sunt rezistente la tracțiune); Dar geometria secțiunii mă ajută. De fapt, știu că diametrul principal al miezului unei secțiuni dreptunghiulare este egal cu 1/3 din partea cu care este paralelă. Apoi această zonă reactivă $A_{r}$ ${\ displaystyle A_ {r}}$ ${\ displaystyle A_ {r}}$ Este lung $3\cdot u$ ${\ displaystyle 3 \ cdot u}$ ${\ displaystyle 3 \ cdot u}$ . Deoarece tensiunile se anulează pe axa de separare, atunci centrul de presiune C trebuie să fie neapărat pe marginea noului miez în raport cu zona de reacție, poziție în care $\sigma _{max}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {max}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {max}}$ . Deci, distanța axei de separare de marginea cea mai comprimată va fi $y_{s}=3\cdot u$ ${\ displaystyle y_ {s} = 3 \ cdot u}$ ${\ displaystyle y_ {s} = 3 \ cdot u}$ .

În condiții de echilibru, tensiunea normală de compresiune trebuie să fie egală cu reacția zonei rezistente: $N=R$ ${\ displaystyle N = R}$ ${\ displaystyle N = R}$

dar $R={\frac {1}{2}}\cdot {\sigma _{max}}\cdot 3u\cdot a\Rightarrow$ ${\ displaystyle R = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sigma _ {max}} \ cdot 3u \ cdot a \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle R = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sigma _ {max}} \ cdot 3u \ cdot a \ Rightarrow}$

echivalând forțele rezultă că:

$N={\frac {1}{2}}\cdot {\sigma _{max}}\cdot 3u\cdot a\Rightarrow$ ${\ displaystyle N = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sigma _ {max}} \ cdot 3u \ cdot a \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle N = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ sigma _ {max}} \ cdot 3u \ cdot a \ Rightarrow}$

$\sigma _{max}={\frac {2N}{3u\cdot a}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {max} = {\ frac {2N} {3u \ cdot a}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {max} = {\ frac {2N} {3u \ cdot a}}}$

Exemplu

O macara , instalată pe un șantier, ridică o sarcină de 500 kgf (kilogram-forță) la capătul brațului său. Frânghia de care este atârnată sarcina, supusă tracțiunii , provoacă o îndoire în braț de care este atârnată frânghia. Brațul transferă stresul sub formă de îndoire de presiune în turn (fermă verticală care se poate roti în jurul axei sale în cazul macaralelor cu rotație la bază sau rămâne fixă în cazul macaralelor cu rotație mare, unde doar brațul se rotește).

contragreutatea servește la contrabalansarea momentului mecanic al greutății.
materialul care constituie rețeaua structurală trebuie să aibă o rezistență mecanică adecvată, atât la tracțiune, cât și la compresiune.
soclul care susține turnul are dimensiuni mari, 5m x 5m sau mai mult (de obicei), deoarece solul nu rezistă la tracțiune și în cazul dimensionării slab proiectate, poate apărea o parțializare excesivă a secțiunii rezistente a fundației . Spaliul trebuie, de asemenea, să fie bine conectat la acesta, pentru a evita ruperile periculoase.
Dacă sarcina se află la vârf, limita maximă a sarcinii de ridicare va fi mai mică decât limita maximă corespunzătoare unei poziționări în mijlocul brațului sau aproape de turnul macaralei.

Perspective

Tratamentul îndoirii sub presiune este studiat cu ajutorul geometriei maselor și în special cu utilizarea miezului central de inerție .

Elemente conexe

Îndoire sub presiune în beton armat

Teoria și modelul lui de Saint Venant
	Stres intern - Stres extern - Compresie sau Tracțiune - Flexie dreaptă Deflectate flexie - forfecare - torsiunea - Încovoiere - deformare deflectate

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie