Problema Sfântului Venant

În mecanica solidelor , problema Saint Venant este problema elasto-statică a teoriei de ordinul întâi referitoare la un solid cilindric liber în spațiu , compus din material elastic izotrop și liniar omogen , în absența forțelor de masă și cu contact de acțiune extern aplicat numai pe cele două baze extremale. Este una dintre puținele probleme ale teoriei elasticității a cărei soluție este cunoscută: aceasta se datorează lui Barré de Saint-Venant în 1855 , pe baza celebrului său procedeu semi-invers.

În plus față de natura istorică, importanța problemei este legată de generalizarea soluției făcută de Sfântul Venant însuși prin conjectura care îi poartă numele ( principiul lui de Saint-Venant ), astfel încât să permită o reprezentare a unui clasa mare de teorie a fasciculului și probleme de mecanică structurală . Prin urmare, această problemă este unul dintre cele mai importante subiecte din cursurile de bază de științe ale construcțiilor .

Introducere

Pentru geometria alocată și pentru sarcinile și așezările inițiale atribuite, problema elastostatică constă în determinarea soluției, în termeni de solicitări, deformări și deplasări ( ${\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }},\mathbf {u}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}, \ mathbf {u}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}, \ boldsymbol {\ varepsilon}, \ mathbf {u}$ ), respectând relațiile de echilibru dintre sarcinile externe și tensiunile interne, congruența cinematică între deplasări, deformări și așezări și legătura constitutivă elasto-liniară. În contextul teoriei ordinii (mici deplasări) și pentru materialele izotrope, această problemă este definită în formă diferențială prin următoarele $\ldots$ ${\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$

ecuații de câmp , pe domeniu ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ :

\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\rho ~\mathbf {b} ={\mathbf {0} }

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ rho ~ \ mathbf {b} = {\ mathbf {0}}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ rho ~ \ mathbf {b} = {\ mathbf {0}}}

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ dreapta]}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ dreapta]}

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathsf {C}}: {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

\ boldsymbol {\ sigma} = \ mathsf {C}: \ boldsymbol {\ varepsilon}

ecuații interne de echilibru

ecuații interne de congruență cinematică

ecuații de legătură constitutivă ( legea generalizată a lui Hooke )

condiții limită , pe piesele libere ${\mathcal {C}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {f}}$ ${\ mathcal C} _f$ și legat ${\mathcal {C}}_{u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u}}$ ${\ mathcal C} _u$ a hotarului de ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$

{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} =\mathbf {f}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {f}}

\ boldsymbol {\ sigma} \ mathbf {N} = \ mathbf {f}

\mathbf {u} ={\bar {\mathbf {u} }}

{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ bar {\ mathbf {u}}}}

\ mathbf {u} = \ bar {\ mathbf {u}}

natural , de echilibru între tensiunile interne și tensiunile superficiale asupra ${\mathcal {C}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {f}}$ ${\ mathcal C} _f$

esențial , de congruență cinematică între deplasare și așezări pe ${\mathcal {C}}_{u}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u}}$ ${\ mathcal C} _u$

În condițiile problemei de Saint-Venant

solid de formă cilindrică în absența constrângerilor cinematice ${\mathcal {C}}_{u}\equiv 0$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u} \ equiv 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {u} \ equiv 0}$
compus din material liniar-elastic, izotrop și omogen
în absența forțelor de masă $\mathbf {b}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b}}$ $\ mathbf {b}$ și cu acțiuni de contact aplicate numai pe cele două baze extreme ale cilindrului și nule pe mantaua acestuia

ecuațiile problemei sunt simplificate pentru:

ecuații de câmp , pe domeniu ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ (legătura constitutivă se referă la coeficienții elastici ai lui Lamé):

\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\mathbf {0} }

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathbf {0}}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathbf {0}}}

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ dreapta]}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ left [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ dreapta]}

{\boldsymbol {\sigma }}=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~\mu ~{\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

numai condiții de graniță naturale , pe cele trei părți (cele două baze ${\mathcal {A}}_{o}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {o}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {o}}$ ${\mathcal {A}}_{l}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {l}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {l}}$ iar mantia ${\mathcal {A}}_{m}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {m}}$ ) a frontierei libere ${\mathcal {C}}_{f}\equiv {\mathcal {A}}_{o}\oplus {\mathcal {A}}_{l}\oplus {\mathcal {A}}_{m}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {f} \ equiv {\ mathcal {A}} _ {o} \ oplus {\ mathcal {A}} _ {l} \ oplus {\ mathcal {A} } _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {f} \ equiv {\ mathcal {A}} _ {o} \ oplus {\ mathcal {A}} _ {l} \ oplus {\ mathcal {A} } _ {m}}$

{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} =\mathbf {f} _{o}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{o}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} =\mathbf {f} _{l}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{l}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} =\mathbf {0} \,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{m}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {f} _ {o} \ ,, \ forall \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {A}} _ {o} \ ; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {f} _ {l} \ ,, \ forall \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {A}} _ {l} \; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {0} \ ,, \ forall \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {A} } _ {m}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {f} _ {o} \ ,, \ forall \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {A}} _ {o} \ ; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {f} _ {l} \ ,, \ forall \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {A}} _ {l} \; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {0} \ ,, \ forall \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {A} } _ {m}}

,

Relații de echilibru în termeni de rezultate și momente rezultante ale distribuției forțelor și tensiunilor

Observați că datele problemei, adică distribuirea acțiunilor de contact ( $\mathbf {f} _{o},\mathbf {f} _{l}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {o}, \ mathbf {f} _ {l}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {o}, \ mathbf {f} _ {l}}$ ) pe cele două baze, trebuie să respecte condițiile globale de echilibru static (anulați rezultatul și momentul rezultat față de un pol generic $\mathbf {x} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {p}}$ )

\int _{{\mathcal {A}}_{o}}\mathbf {f} _{o}\,dA+\int _{{\mathcal {A}}_{l}}\mathbf {f} _{l}\,dA=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} \ mathbf {f} _ {o} \, dA + \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} \ mathbf {f} _ {l} \, dA = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} \ mathbf {f} _ {o} \, dA + \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} \ mathbf {f} _ {l} \, dA = \ mathbf {0}}

\int _{{\mathcal {A}}_{o}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{p})\times \mathbf {f} _{o}\,dA+\int _{{\mathcal {A}}_{l}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{p})\times \mathbf {f} _{l}\,dA=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {p}) \ times \ mathbf {f} _ {o} \, dA + \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {p}) \ times \ mathbf {f} _ {l} \, dA = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {p}) \ times \ mathbf {f} _ {o} \, dA + \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {p}) \ times \ mathbf {f} _ {l} \, dA = \ mathbf {0}}

Relațiile de echilibru static sunt exprimate și prin relații echivalente

\mathbf {r} _{o}+\mathbf {r} _{l}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o} + \ mathbf {r} _ {l} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o} + \ mathbf {r} _ {l} = \ mathbf {0}}

\mathbf {m} _{o}+\mathbf {m} _{l}+(\mathbf {x} _{l}-\mathbf {x} _{o})\times \mathbf {r} _{l}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} + \ mathbf {m} _ {l} + (\ mathbf {x} _ {l} - \ mathbf {x} _ {o}) \ times \ mathbf {r } _ {l} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} + \ mathbf {m} _ {l} + (\ mathbf {x} _ {l} - \ mathbf {x} _ {o}) \ times \ mathbf {r } _ {l} = \ mathbf {0}}

indicând cu vectorii ( $\mathbf {r} _{o},\mathbf {r} _{l}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o}, \ mathbf {r} _ {l}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o}, \ mathbf {r} _ {l}}$ ) cei doi rezultanți ai celor două distribuții și cu vectorii ( $\mathbf {m} _{o},\mathbf {m} _{l}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o}, \ mathbf {m} _ {l}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o}, \ mathbf {m} _ {l}}$ ) cele două momente referite la centrele de greutate respective ( $\mathbf {x} _{o},\mathbf {x} _{l}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {o}, \ mathbf {x} _ {l}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {o}, \ mathbf {x} _ {l}}$ ) din cele două secțiuni extremale

\mathbf {r} _{o}=\int _{{\mathcal {A}}_{o}}\mathbf {f} _{o}\,dA\;\;,\;\;\mathbf {m} _{o}=\int _{{\mathcal {A}}_{o}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{o})\times \mathbf {f} _{o}\,dA

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} \ mathbf {f} _ {o} \, dA \; \ ;,;; \ mathbf {m} _ {o} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {o}) \ times \ mathbf {f} _ {o} \, dA}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} \ mathbf {f} _ {o} \, dA \; \; \; \; \ mathbf {m} _ {o} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {o}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {o}) \ times \ mathbf {f} _ {o} \, dA}

\mathbf {r} _{l}=\int _{{\mathcal {A}}_{l}}\mathbf {f} _{l}\,dA\;\;,\;\;\mathbf {m} _{l}=\int _{{\mathcal {A}}_{l}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{l})\times \mathbf {f} _{l}\,dA

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {l} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} \ mathbf {f} _ {l} \, dA \; \ ;,;; \ mathbf {m} _ {l} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {l}) \ times \ mathbf {f} _ {l} \, dA}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {l} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} \ mathbf {f} _ {l} \, dA \; \ ;,;; \ mathbf {m} _ {l} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {l}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {l}) \ times \ mathbf {f} _ {l} \, dA}

Indicarea cu ( $\mathbf {r} _{s},\mathbf {m} _{s}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}, \ mathbf {m} _ {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}, \ mathbf {m} _ {s}}$ ) momentul rezultant și barycentric al distribuției tensiunii interne pe secțiunea transversală generică ${\mathcal {A}}_{s}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {s}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {s}}$ a solidului

\mathbf {r} _{s}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} \,dA\;\;,\;\;\mathbf {m} _{s}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{s})\times {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} \,dA

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} \, dA \; \;, \; \; \ mathbf {m} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {s}) \ times { \ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} \, dA}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} \, dA \; \;, \; \; \ mathbf {m} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {s}) \ times { \ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} \, dA}

pentru echilibrul părții generice în care secțiunea împarte solidul este și el

\mathbf {r} _{o}+\mathbf {r} _{s}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o} + \ mathbf {r} _ {s} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {o} + \ mathbf {r} _ {s} = \ mathbf {0}}

\mathbf {m} _{o}+\mathbf {m} _{s}+(\mathbf {x} _{s}-\mathbf {x} _{o})\times \mathbf {r} _{s}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} + \ mathbf {m} _ {s} + (\ mathbf {x} _ {s} - \ mathbf {x} _ {o}) \ times \ mathbf {r } _ {s} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {m} _ {o} + \ mathbf {m} _ {s} + (\ mathbf {x} _ {s} - \ mathbf {x} _ {o}) \ times \ mathbf {r } _ {s} = \ mathbf {0}}

Din aceasta rezultă că, odată ce rezultatul și momentul rezultant al distribuției acțiunilor de contact pe o bază, valorile rezultantului și momentului rezultant pe cealaltă bază și pe orice altă secțiune transversală a solidului sunt determinat automat.

De asemenea, în această formă simplificată, căutarea eficientă a soluției pentru alocări generice și arbitrare de sarcini ( $\mathbf {f} _{o},\mathbf {f} _{l}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {o}, \ mathbf {f} _ {l}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {o}, \ mathbf {f} _ {l}}$ ) este orice altceva decât simplu, dacă nu imposibil. Abordarea urmată de Sfântul Venant, pe de altă parte, este mai puțin riguroasă și generală, dar plină de implicații de aplicare.

Metoda semi-inversă a soluției

Strategia de rezolvare a problemelor urmată de de Saint-Venant cu metoda sa semi-inversă constă în

lăsați inițial sarcinile nedefinite,
caracterizează a priori unele aspecte parțiale ale soluției căutate,
folosiți ecuațiile problemei pentru a finaliza determinarea soluției,
folosiți condițiile de echilibru la limită pentru a determina a posteriori sarcinile corespunzătoare soluției găsite.

Proprietatea de unicitate a soluției elastice garantează că soluția găsită cu metoda semi-inversă este exact soluția clasică a problemei pornind de la acele sarcini particulare la care ajunge această metodă. În acest sens, soluția determinată are o semnificație foarte limitată, numai pentru acele sarcini particulare. Pe de altă parte, își asumă un sens mai general dacă se acceptă validitatea principiului de Saint-Venant care, în spiritul căutării unei soluții aproximative, leagă soluția de Saint-Venant doar de rezultant și rezultant moment al distribuțiilor acțiunilor de contact pe cele două baze și, prin urmare, își extinde valabilitatea pentru o clasă mai largă și mai generală de distribuții de încărcare echivalente din punct de vedere static (cu același moment rezultant și rezultant).

Bunătatea metodei semi-inversă este legată de intuiția corectă asupra caracteristicilor parțiale pe care trebuie să le aibă soluția, care trebuie asumată a priori în formulare. În special, de Saint-Venant face ipoteza că corpul cilindric, sub acțiunea forțelor de suprafață asupra bazelor, se deformează astfel încât fibrele sale longitudinale să schimbe un sistem de acțiuni de contact interne cu doar componente tangențiale paralele cu fibrele. După cum presupune De Saint-Venant, această ipoteză este cu atât mai adevărată cu cât este mai pronunțată zveltura cilindrului, deoarece acțiunea de încercuire asupra fibrei generice tinde să se anuleze.

Presupus un sistem de coordonate cartezian $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $(x_1, x_2, x_3)$ , cu axa $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ paralel cu liniile cilindrului și axele $(x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, x_ {3})}$ barentric la secțiunea sa transversală, ipoteza lui de Saint-Venant corespunde presupunerii următoarei caracterizări pentru componente $\sigma _{ij}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ $\ sigma_ {ij}$ a tensorului de tensiune ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$

\sigma _{22}=\sigma _{33}=\sigma _{23}=0\;\;\Rightarrow \;\;[{\boldsymbol {\sigma }}]\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&0&0\\\sigma _{13}&0&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ sigma _ {22} = \ sigma _ {33} = \ sigma _ {23} = 0 \; \; \ Rightarrow \; \; [{\ boldsymbol {\ sigma}}] \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {12} & 0 & 0 \\\ sigma _ {13} & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {22} = \ sigma _ {33} = \ sigma _ {23} = 0 \; \; \ Rightarrow \; \; [{\ boldsymbol {\ sigma}}] \ equiv {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {12} & 0 & 0 \\\ sigma _ {13} & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}

Caracterizată inițial prin unele aspecte ale soluției, discutarea problemei de Saint-Venant poate fi, prin urmare, desfășurată în două părți:

determinarea soluției de Saint-Venant în formă completă, exploatând ecuațiile problemei;
extinderea soluției bazată pe principiul de Saint-Venant.

Soluția de Saint-Venant

Pentru a determina pe deplin soluția de Saint-Venant, o strategie convenabilă este de a face referire la o formulare a problemei numai în stresuri ^[1] . În schimb, Clebsch datorează o soluție completă la problema realizată cu o strategie diferită bazată pe o formulare în doar schimburi. În formularea variabilelor de tensiune, ecuațiile de câmp sunt definite de relațiile de echilibru, de legătura constitutivă (denumite în continuare coeficienții elastici $E,\nu$ ${\ displaystyle E, \ nu}$ ${\ displaystyle E, \ nu}$ ) și prin relațiile explicite de congruență (de Saint-Venant), acestea din urmă s-au combinat în relațiile Beltrami-Michell (81 de ecuații dintre care doar 6 independente)

\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\mathbf {0} }

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathbf {0}}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathbf {0}}}

\nabla \times \nabla \times {\bigl (}{\tfrac {1+\nu }{E}}\,{\boldsymbol {\sigma }}-{\tfrac {\nu }{E}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\,{\boldsymbol {\mathit {1}}}{\bigr )}=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ times {\ bigl (} {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ tfrac {\ nu} {E} } \, {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \, {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} {\ bigr)} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla \ times {\ bigl (} {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ tfrac {\ nu} {E} } \, {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \, {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} {\ bigr)} = \ mathbf {0}}

Relațiile de echilibru presupun, în ipotezele lui de Saint-Venant cu privire la caracterizarea tensorului ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ , următoarele expresii din componentele scalare:

\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\mathbf {0} }\;\;\Rightarrow \;\;\left\{{\begin{array}{l}\sigma _{11},_{1}+\sigma _{12},_{2}+\sigma _{13},_{3}=0\\\sigma _{12},_{1}=0\\\sigma _{13},_{1}=0\end{array}}\right.\;\;\Rightarrow \;\;\left\{{\begin{array}{l}\sigma _{12},_{2}+\sigma _{13},_{3}=-\sigma _{11},_{1}\\\sigma _{12}=\sigma _{12}(x_{2},x_{3})\\\sigma _{13}=\sigma _{13}(x_{2},x_{3})\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathbf {0}} \; \; \ Rightarrow \; \; \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sigma _ { 11}, _ {1} + \ sigma _ {12}, _ {2} + \ sigma _ {13}, _ {3} = 0 \\\ sigma _ {12}, _ {1} = 0 \\ \ sigma _ {13}, _ {1} = 0 \ end {array}} \ right. \; \; \ Rightarrow \; \; \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sigma _ {12 }, _ {2} + \ sigma _ {13}, _ {3} = - \ sigma _ {11}, _ {1} \\\ sigma _ {12} = \ sigma _ {12} (x_ {2} }, x_ {3}) \\\ sigma _ {13} = \ sigma _ {13} (x_ {2}, x_ {3}) \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathbf {0}} \; \; \ Rightarrow \; \; \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sigma _ { 11}, _ {1} + \ sigma _ {12}, _ {2} + \ sigma _ {13}, _ {3} = 0 \\\ sigma _ {12}, _ {1} = 0 \\ \ sigma _ {13}, _ {1} = 0 \ end {array}} \ right. \; \; \ Rightarrow \; \; \ left \ {{\ begin {array} {l} \ sigma _ {12 }, _ {2} + \ sigma _ {13}, _ {3} = - \ sigma _ {11}, _ {1} \\\ sigma _ {12} = \ sigma _ {12} (x_ {2} }, x_ {3}) \\\ sigma _ {13} = \ sigma _ {13} (x_ {2}, x_ {3}) \ end {array}} \ right.}

Componentele de tensiune ( $\sigma _{12},\sigma _{13}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {12}, \ sigma _ {13}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {12}, \ sigma _ {13}}$ ) sunt doar funcții ale punctelor $(x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, x_ {3})}$ a planului de secțiune și poate fi reprezentat cu referire la un vector ${\boldsymbol {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ $\ boldsymbol {\ tau}$ a tensiunilor tangențiale aparținând planului secțiunii transversale a solidului cilindric

{\boldsymbol {\tau }}=\sigma _{12}\,\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\,\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ sigma _ {12} \, \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} \, \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ sigma _ {12} \, \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} \, \ mathbf {e} _ {3}}

Relațiile de echilibru pot fi, prin urmare, reprezentate sub forma compactă:

\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=-\sigma _{11},_{1}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\tau }}(x_{2},x_{3})=\sigma _{12}(x_{2},x_{3})\,\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}(x_{2},x_{3})\,\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} = - \ sigma _ {11}, _ {1} \; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ tau}} (x_ {2} , x_ {3}) = \ sigma _ {12} (x_ {2}, x_ {3}) \, \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} (x_ {2}, x_ { 3}) \, \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} = - \ sigma _ {11}, _ {1} \; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ tau}} (x_ {2} , x_ {3}) = \ sigma _ {12} (x_ {2}, x_ {3}) \, \ mathbf {e} _ {2} + \ sigma _ {13} (x_ {2}, x_ { 3}) \, \ mathbf {e} _ {3}}

din care este încă derivat prin derivare ulterioară

\sigma _{11},_{11}=0

{\ displaystyle \ sigma _ {11}, _ {11} = 0}

{\ displaystyle \ sigma _ {11}, _ {11} = 0}

Relațiile Beltrami-Michell își asumă în ipotezele lui de Saint-Venant următoarea reprezentare în componente

{\begin{aligned}&{\tfrac {1}{E}}\,\sigma _{11},_{22}-{\tfrac {\nu }{E}}\,\sigma _{11},_{11}={\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{12},_{12}&,&&&-{\tfrac {\nu }{E}}\,\sigma _{11},_{33}-{\tfrac {\nu }{E}}\,\sigma _{11},_{22}=0\\&{\tfrac {1}{E}}\,\sigma _{11},_{33}-{\tfrac {\nu }{E}}\,\sigma _{11},_{11}={\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{13},_{13}&,&&&-{\tfrac {\nu }{E}}\,\sigma _{11},_{13}+{\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{13},_{22}={\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{12},_{23}\\&{\tfrac {1}{E}}\,\sigma _{11},_{23}={\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{12},_{13}&,&&&-{\tfrac {\nu }{E}}\,\sigma _{11},_{12}+{\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{12},_{33}={\tfrac {1+\nu }{E}}\,\sigma _{13},_{23}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ tfrac {1} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {22} - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {11} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {12} &, &&& - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {33} - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {22} = 0 \\ & {\ tfrac {1} { E}} \, \ sigma _ {11}, _ {33} - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {11} = {\ tfrac {1+ \ nu } {E}} \, \ sigma _ {13}, _ {13} &, &&& - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {13} + {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {13}, _ {22} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {23} \\ & {\ tfrac {1} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {23} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {13} &, &&& - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {12} + {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {33} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {13}, _ {23} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ tfrac {1} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {22} - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {11} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {12} &, &&& - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {33} - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {22} = 0 \\ & {\ tfrac {1} { E}} \, \ sigma _ {11}, _ {33} - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {11} = {\ tfrac {1+ \ nu } {E}} \, \ sigma _ {13}, _ {13} &, &&& - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {13} + {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {13}, _ {22} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {23} \\ & {\ tfrac {1} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {23} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {13} &, &&& - {\ tfrac {\ nu} {E}} \, \ sigma _ {11}, _ {12} + {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {12}, _ {33} = {\ tfrac {1+ \ nu} {E}} \, \ sigma _ {13}, _ {23} \\\ end {align}}}

care poate fi simplificat, ținând cont de relațiile de echilibru, în

\sigma _{11},_{11}=\sigma _{11},_{22}=\sigma _{11},_{33}=\sigma _{11},_{23}=0

{\ displaystyle \ sigma _ {11}, _ {11} = \ sigma _ {11}, _ {22} = \ sigma _ {11}, _ {33} = \ sigma _ {11}, _ {23} = 0}

{\ displaystyle \ sigma _ {11}, _ {11} = \ sigma _ {11}, _ {22} = \ sigma _ {11}, _ {33} = \ sigma _ {11}, _ {23} = 0}

{\bigl (}\sigma _{13},_{2}-\sigma _{12},_{3}{\bigr )},_{2}=+{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,\sigma _{11},_{13}

{\ displaystyle {\ bigl (} \ sigma _ {13}, _ {2} - \ sigma _ {12}, _ {3} {\ bigr)}, _ {2} = + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, \ sigma _ {11}, _ {13}}

{\ displaystyle {\ bigl (} \ sigma _ {13}, _ {2} - \ sigma _ {12}, _ {3} {\ bigr)}, _ {2} = + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, \ sigma _ {11}, _ {13}}

{\bigl (}\sigma _{13},_{2}-\sigma _{12},_{3}{\bigr )},_{3}=-{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,\sigma _{11},_{12}

{\ displaystyle {\ bigl (} \ sigma _ {13}, _ {2} - \ sigma _ {12}, _ {3} {\ bigr)}, _ {3} = - {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, \ sigma _ {11}, _ {12}}

{\ displaystyle {\ bigl (} \ sigma _ {13}, _ {2} - \ sigma _ {12}, _ {3} {\ bigr)}, _ {3} = - {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, \ sigma _ {11}, _ {12}}

Primele relații permit să exprime pe deplin distribuția componentei de solicitare normală la planul secțiunii transversale a solidului cilindric $\sigma _{11}(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle \ sigma _ {11} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {11} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ în formă

\sigma _{11}=a_{o}+a_{2}\,x_{2}+a_{3}\,x_{3}+x_{1}\,{\bigl (}b_{o}+b_{2}\,x_{2}+b_{3}\,x_{3}{\bigr )}

{\ displaystyle \ sigma _ {11} = a_ {o} + a_ {2} \, x_ {2} + a_ {3} \, x_ {3} + x_ {1} \, {\ bigl (} b_ { sau} + b_ {2} \, x_ {2} + b_ {3} \, x_ {3} {\ bigr)}}

{\ displaystyle \ sigma _ {11} = a_ {o} + a_ {2} \, x_ {2} + a_ {3} \, x_ {3} + x_ {1} \, {\ bigl (} b_ { sau} + b_ {2} \, x_ {2} + b_ {3} \, x_ {3} {\ bigr)}}

în timp ce ultimele două sunt regrababile în formă compactă

{\bigl (}\nabla \times {\boldsymbol {\tau }}{\bigr )},_{2}=+{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,b_{3}\;\;,\;\;{\bigl (}\nabla \times {\boldsymbol {\tau }}{\bigr )},_{3}=-{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,b_{2}

{\ displaystyle {\ bigl (} \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} {\ bigr)}, _ {2} = + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, b_ { 3} \; \ ;, \; \; {\ bigl (} \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} {\ bigr)}, _ {3} = - {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, b_ {2}}

{\ displaystyle {\ bigl (} \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} {\ bigr)}, _ {2} = + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, b_ { 3} \; \ ;, \; \; {\ bigl (} \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} {\ bigr)}, _ {3} = - {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, b_ {2}}

integrabil în

\nabla \times {\boldsymbol {\tau }}=c+{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,(b_{3}\,x_{2}-b_{2}\,x_{3})

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} = c + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, (b_ {3} \, x_ {2} -b_ {2} \, x_ {3})}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} = c + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, (b_ {3} \, x_ {2} -b_ {2} \, x_ {3})}

În rezumat, problema lui Saint-Venant este readusă la căutarea unei componente a tensiunii $\sigma _{11}(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle \ sigma _ {11} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {11} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ de formă polinomială liniară predefinită și a două componente scalare ale stresului tangențial

{\boldsymbol {\tau }}(x_{2},x_{3})=\sigma _{12}(x_{2},x_{3})\,\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}(x_{2},x_{3})\,\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} (x_ {2}, x_ {3}) = \ sigma _ {12} (x_ {2}, x_ {3}) \, \ mathbf {e} _ {2 } + \ sigma _ {13} (x_ {2}, x_ {3}) \, \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} (x_ {2}, x_ {3}) = \ sigma _ {12} (x_ {2}, x_ {3}) \, \ mathbf {e} _ {2 } + \ sigma _ {13} (x_ {2}, x_ {3}) \, \ mathbf {e} _ {3}}

legat de respectarea următoarelor ecuații de câmp pe puncte ( $x_{2},x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {2}, x_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {2}, x_ {3}}$ ) aparținând domeniului ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ a secțiunii transversale a solidului cilindric

\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=-\,\sigma _{11},_{1}=-\,(b_{o}+b_{2}\,x_{2}+b_{3}\,x_{3})

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} = - \, \ sigma _ {11}, _ {1} = - \, (b_ {o} + b_ {2} \, x_ {2} + b_ {3} \, x_ {3})}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} = - \, \ sigma _ {11}, _ {1} = - \, (b_ {o} + b_ {2} \, x_ {2} + b_ {3} \, x_ {3})}

\nabla \times {\boldsymbol {\tau }}=c+{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,(b_{3}\,x_{2}-b_{2}\,x_{3})

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} = c + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, (b_ {3} \, x_ {2} -b_ {2} \, x_ {3})}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} = c + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, (b_ {3} \, x_ {2} -b_ {2} \, x_ {3})}

și respectarea condițiilor de echilibru la graniță. În special, cele de pe manta ${\mathcal {A}}_{m}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {m}}$ a cilindrului

{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {N} =\mathbf {0} \;\;\Rightarrow \;\;{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&0&0\\\sigma _{13}&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\n_{2}\\n_{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\end{bmatrix}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\sigma _{12}\,n_{2}+\sigma _{13}\,n_{3}=0\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}n_{2}\\n_{3}\\\end{bmatrix}}=0\;\;\Leftrightarrow \;\;{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} =0

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {0} \; \; \ Rightarrow \; \; {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12 } & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {12} & 0 & 0 \\\ sigma _ {13} & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ sigma _ {12} \, n_ {2} + \ sigma _ {13} \, n_ {3} = 0 \; \; \ Leftrightarrow \; \; {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {12} \\ \ sigma _ {13} \\\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} n_ {2} \\ n_ {3} \\\ end {bmatrix}} = 0 \; \; \ Leftrightarrow \; \; {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n} = 0}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {N} = \ mathbf {0} \; \; \ Rightarrow \; \; {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12 } & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {12} & 0 & 0 \\\ sigma _ {13} & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}} \; \; \ Leftrightarrow \; \; \ sigma _ {12} \, n_ {2} + \ sigma _ {13} \, n_ {3} = 0 \; \; \ Leftrightarrow \; \; {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {12} \\ \ sigma _ {13} \\\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} n_ {2} \\ n_ {3} \\\ end {bmatrix}} = 0 \; \; \ Leftrightarrow \; \; {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n} = 0}

sunt exprimate prin starea nulă a produsului scalar ${\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} =0$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n} = 0}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n} = 0}$ pe punctele de contur $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ a domeniului ${\mathcal {A}}_{s}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {s}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {s}}$ din secțiune, după ce a fost indicat cu vectorul $\mathbf {n} =n_{2}\,\mathbf {e} _{2}+n_{3}\,\mathbf {e} _{3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} = n_ {2} \, \ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} \, \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} = n_ {2} \, \ mathbf {e} _ {2} + n_ {3} \, \ mathbf {e} _ {3}}$ limita normală în aceste puncte (aparținând planului de secțiune).

Problema câmpului (planului) astfel definită în termeni de ${\boldsymbol {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ $\ boldsymbol {\ tau}$ este admisibil, adică rezolvabil, dacă se verifică condiția legată de teorema divergenței

\int _{{\mathcal {A}}_{s}}\,\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}\,dA=\oint _{C}\,{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n}

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \, \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} \, dA = \ oint _ {C} \, {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \, \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} \, dA = \ oint _ {C} \, {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n}}

prin urmare, luând în considerare proprietățile transportatorului ${\boldsymbol {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ $\ boldsymbol {\ tau}$ și alegerea axelor ( $x_{2},x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {2}, x_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {2}, x_ {3}}$ ) barycentric, starea derivă $b_{o}=0$ ${\ displaystyle b_ {o} = 0}$ ${\ displaystyle b_ {o} = 0}$

Prin urmare, problema de câmp fezabilă pentru determinarea formei distribuției tensiunilor tangențiale ${\boldsymbol {\tau }}(x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} (x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} (x_ {2}, x_ {3})}$ este readus în cele ce urmează

ecuații de câmp pe ${\mathcal {A}}_{s}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {s}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {s}}$

\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=b_{2}\,x_{2}+b_{3}\,x_{3}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} = b_ {2} \, x_ {2} + b_ {3} \, x_ {3}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} = b_ {2} \, x_ {2} + b_ {3} \, x_ {3}}

\nabla \times {\boldsymbol {\tau }}=c+{\tfrac {\nu }{1+\nu }}\,(b_{3}\,x_{2}-b_{2}\,x_{3})

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} = c + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, (b_ {3} \, x_ {2} -b_ {2} \, x_ {3})}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ tau}} = c + {\ tfrac {\ nu} {1+ \ nu}} \, (b_ {3} \, x_ {2} -b_ {2} \, x_ {3})}

cu condiții limită pe $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$

{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} =0

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n} = 0}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} \ cdot \ mathbf {n} = 0}

Se arată că această problemă poate fi urmărită înapoi la o problemă matematică cunoscută, cea a lui Neumann (sau Dirichlet ), care poate fi rezolvată univoc în funcție de valorile constantelor ( $b_{2},b_{3},c$ ${\ displaystyle b_ {2}, b_ {3}, c}$ ${\ displaystyle b_ {2}, b_ {3}, c}$ ). În cele din urmă, întreaga soluție în termeni de $(\sigma _{11},{\boldsymbol {\tau }})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {11}, {\ boldsymbol {\ tau}})}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {11}, {\ boldsymbol {\ tau}})}$ este complet determinată odată ce valorile celor șase constante au fost atribuite ( $a_{0},a_{2},a_{3},b_{2},b_{3},c$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {2}, b_ {3}, c}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {2}, b_ {3}, c}$ ).

Caracteristicile stresului și soluția Sfântului Venant

Pe o secțiune a unui fascicul , caracteristicile normale ale stresului de solicitare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , de solicitări de forfecare $(T_{2},T_{3})$ ${\ displaystyle (T_ {2}, T_ {3})}$ ${\ displaystyle (T_ {2}, T_ {3})}$ , de cuplu $M_{t}$ ${\ displaystyle M_ {t}}$ $M_ {t}$ și momente de încovoiere $(M_{2},M_{3})$ ${\ displaystyle (M_ {2}, M_ {3})}$ ${\ displaystyle (M_ {2}, M_ {3})}$ sunt definite ca componentele (axiale și transversale) ale vectorului rezultat și ale vectorului moment rezultat al distribuției tensiunilor interne pe secțiune,

\mathbf {r} _{s}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}\,dA=N\mathbf {e} _{1}+T_{2}\mathbf {e} _{2}+T_{3}\mathbf {e} _{3}\;\;,\;\;\mathbf {m} _{s}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{s})\times {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}\,dA=M_{t}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {e} _ {1} \, dA = N \ mathbf {e} _ {1} + T_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + T_ {3} \ mathbf {e} _ {3} \; \ ;, \; \; \ mathbf { m} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {s}) \ times {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {e} _ {1} \, dA = M_ {t} \ mathbf {e} _ {1} + M_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + M_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {e} _ {1} \, dA = N \ mathbf {e} _ {1} + T_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + T_ {3} \ mathbf {e} _ {3} \; \ ;, \; \; \ mathbf { m} _ {s} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {s}) \ times {\ boldsymbol {\ sigma}} \ mathbf {e} _ {1} \, dA = M_ {t} \ mathbf {e} _ {1} + M_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + M_ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

Prin urmare, valorile relative sunt strict legate de valorile celor șase constante ( $a_{0},a_{2},a_{3},b_{2},b_{3},c$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {2}, b_ {3}, c}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {2}, b_ {3}, c}$ ) care determină soluția Sfântului Venant $(\sigma _{11},{\boldsymbol {\tau }})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {11}, {\ boldsymbol {\ tau}})}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {11}, {\ boldsymbol {\ tau}})}$ trebuind să merite

N=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}\sigma _{11}\,dA\;\;,\;\;T_{2}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}\sigma _{12}\,dA\;\;,\;\;T_{3}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}\sigma _{13}\,dA

{\ displaystyle N = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {11} \, dA \; \ ;,;;; T_ {2} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {12} \, dA \; \ ;, \; \; T_ {3} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {13} \, dA}

{\ displaystyle N = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {11} \, dA \; \ ;,;;; T_ {2} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {12} \, dA \; \ ;, \; \; T_ {3} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {13} \, dA}

M_{t}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}(\sigma _{13}\,x_{2}-\sigma _{12}\,x_{3})\,dA\;\;,\;\;M_{2}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}\sigma _{11}\,x_{3}\,dA\;\;,\;\;M_{3}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}-\sigma _{11}\,x_{2}\,dA

{\ displaystyle M_ {t} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} (\ sigma _ {13} \, x_ {2} - \ sigma _ {12} \, x_ {3} ) \, dA \; \;, \; \; M_ {2} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} \ sigma _ {11} \, x_ {3} \, dA \ ; \;, \; \; M_ {3} = \ int _ {{\ mathcal {A}} _ {s}} - \ sigma _ {11} \, x_ {2} \, dA}

M_{t}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}(\sigma _{13}\,x_{2}-\sigma _{12}\,x_{3})\,dA\;\;,\;\;M_{2}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}\sigma _{11}\,x_{3}\,dA\;\;,\;\;M_{3}=\int _{{\mathcal {A}}_{s}}-\sigma _{11}\,x_{2}\,dA

D'altra parte, nel rispetto delle condizioni di equilibrio, i valori delle caratteristiche di sollecitazione nella generica sezione sono univocamente definiti mediante l'equilibrio in termini delle caratteristiche di sollecitazione di una delle due basi estremali

N=N^{o}=N^{l}=cost\;\;,\;\;T_{2}=T_{2}^{o}=T_{2}^{l}=cost\;\;,\;\;T_{3}=T_{3}^{o}=T_{3}^{l}=cost\;\;,\;\;M_{t}=M_{t}^{o}=M_{t}^{l}=cost

N=N^{o}=N^{l}=cost\;\;,\;\;T_{2}=T_{2}^{o}=T_{2}^{l}=cost\;\;,\;\;T_{3}=T_{3}^{o}=T_{3}^{l}=cost\;\;,\;\;M_{t}=M_{t}^{o}=M_{t}^{l}=cost

N=N^{o}=N^{l}=cost\;\;,\;\;T_{2}=T_{2}^{o}=T_{2}^{l}=cost\;\;,\;\;T_{3}=T_{3}^{o}=T_{3}^{l}=cost\;\;,\;\;M_{t}=M_{t}^{o}=M_{t}^{l}=cost

M_{2}=M_{2}^{0}+T_{3}\,x_{2}\;\;,\;\;M_{3}=M_{3}^{0}+T_{2}\,x_{3}

M_{2}=M_{2}^{0}+T_{3}\,x_{2}\;\;,\;\;M_{3}=M_{3}^{0}+T_{2}\,x_{3}

M_{2}=M_{2}^{0}+T_{3}\,x_{2}\;\;,\;\;M_{3}=M_{3}^{0}+T_{2}\,x_{3}

Sulla base di queste considerazioni, si ricava

il valore della costante $a_{0}$ $a_{0}$ $a_{0}$ è univocamente determinato dal solo valore dello sforzo normale, valendo

a_{0}={\frac {N}{A}}

a_{0}={\frac {N}{A}}

a_{0}={\frac {N}{A}}

i valori delle due costanti $(a_{2},a_{3})$ $(a_{2},a_{3})$ $(a_{2},a_{3})$ sono univocamente determinati dai soli valori dei due momenti flettenti $(M_{2}^{o},M_{3}^{o})$ $(M_{2}^{o},M_{3}^{o})$ $(M_{2}^{o},M_{3}^{o})$ nella base ${\mathcal {A}}_{o}$ ${\mathcal {A}}_{o}$ ${\mathcal {A}}_{o}$ , valendo

a_{2}=-{\frac {M_{2}^{o}\,J_{23}+M_{3}^{o}\,J_{2}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}\;\;,\;\;a_{3}=+{\frac {M_{2}^{o}\,J_{2}+M_{3}^{o}\,J_{23}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}

a_{2}=-{\frac {M_{2}^{o}\,J_{23}+M_{3}^{o}\,J_{2}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}\;\;,\;\;a_{3}=+{\frac {M_{2}^{o}\,J_{2}+M_{3}^{o}\,J_{23}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}

a_{2}=-{\frac {M_{2}^{o}\,J_{23}+M_{3}^{o}\,J_{2}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}\;\;,\;\;a_{3}=+{\frac {M_{2}^{o}\,J_{2}+M_{3}^{o}\,J_{23}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}

i valori delle due costanti $(b_{2},b_{3})$ $(b_{2},b_{3})$ $(b_{2},b_{3})$ sono univocamente determinati dai soli valori dei due sforzi taglianti $(T_{2},T_{3})$ $(T_{2},T_{3})$ $(T_{2},T_{3})$ valendo

b_{2}={\frac {T_{2}\,J_{2}-T_{3}\,J_{23}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}\;\;,\;\;b_{3}={\frac {-T_{2}\,J_{23}+T_{3}\,J_{3}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}

b_{2}={\frac {T_{2}\,J_{2}-T_{3}\,J_{23}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}\;\;,\;\;b_{3}={\frac {-T_{2}\,J_{23}+T_{3}\,J_{3}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}

b_{2}={\frac {T_{2}\,J_{2}-T_{3}\,J_{23}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}\;\;,\;\;b_{3}={\frac {-T_{2}\,J_{23}+T_{3}\,J_{3}}{J_{2}\,J_{3}-J_{23}^{2}}}

il valore della costante $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ è univocamente determinato dai soli valori degli sforzi taglianti e del momento torcente $(T_{2},T_{3},M_{t})$ $(T_{2},T_{3},M_{t})$ $(T_{2},T_{3},M_{t})$

dove $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ indica l'area della sezione e $(J_{2},J_{3},J_{23})$ $(J_{2},J_{3},J_{23})$ $(J_{2},J_{3},J_{23})$ i relativi momenti d'inerzia rispetto agli assi $x_{2}$ $x_{2}$ $x_2$ ed $x_{3}$ $x_{3}$ $x_3$

Il principio del de Saint-Venant ei casi di sollecitazione semplice

I valori delle sei costanti ( $a_{0},a_{2},a_{3},b_{2},b_{3},c$ $a_{0},a_{2},a_{3},b_{2},b_{3},c$ $a_{0},a_{2},a_{3},b_{2},b_{3},c$ ) andrebbero determinati nel rispetto delle condizioni di equilibrio puntuale sulle due basi estremali ${\mathcal {A}}_{o}$ ${\mathcal {A}}_{o}$ ${\mathcal {A}}_{o}$ ${\mathcal {A}}_{l}$ ${\mathcal {A}}_{l}$ ${\mathcal {A}}_{l}$ :

-{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {f} _{o}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{o}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {f} _{l}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{l}

-{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {f} _{o}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{o}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {f} _{l}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{l}

-{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {f} _{o}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{o}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {f} _{l}\,,\forall \mathbf {x} \in {\mathcal {A}}_{l}

Tali condizioni vincolerebbero naturalmente la tipologia di distribuzione di carichi di contatto agente sulle due basi. In tale ottica, la soluzione trovata avrebbe quindi un carattere molto limitato, relativa cioè a quei particolari carichi che verificano le suddette relazioni. Assume invece un carattere più generale se, nello spirito di ricerca di una soluzione approssimata, si accetta la validità del principio del Saint Venant

«Nei punti del solido posti a sufficiente distanza dalle due basi, lo stato tensionale soluzione del problema del S. Venant non dipende dalla particolare distribuzione di carichi applicati sulle basi ma solo dal relativo risultante e momento risultante.»

In altri termini tale principio afferma che due diverse distribuzioni aventi lo stesso risultante e momento risultante producono (approssimativamente) la stessa soluzione del problema. Ciò in pratica, sostituendo il rispetto delle condizioni puntuali di equilibrio sulle basi con il rispetto delle condizioni di equilibrio in media col risultante e momento risultante della distribuzione su una delle due basi, crea delle classi di equivalenza di condizioni di carico sulla base dei valori del risultante e del momento risultante della distribuzione, che estende in modo ampio la validità della soluzione del Saint Venant. Tali classi di equivalenza sono dettati dai sei parametri scalari di caratteristiche di sollecitazione $(N,T_{2},T_{3},M_{t},M_{2}^{o},M_{3}^{o})$ $(N,T_{2},T_{3},M_{t},M_{2}^{o},M_{3}^{o})$ $(N,T_{2},T_{3},M_{t},M_{2}^{o},M_{3}^{o})$ che esprimono i risultanti ed i momenti risultanti della distribuzione.

Valendo il principio di sovrapposizione degli effetti , la soluzione del Saint Venant può pertanto essere studiata decomponendola nei seguenti casi elementari di sollecitazione semplice:

di solo sforzo normale con $N\neq 0$ $N\neq 0$ $N\neq 0$ e $T_{2}=T_{3}=M_{t}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$ $T_{2}=T_{3}=M_{t}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$ $T_{2}=T_{3}=M_{t}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$
di flessione pura con $(M_{2},M_{3})\neq 0$ $(M_{2},M_{3})\neq 0$ $(M_{2},M_{3})\neq 0$ e $N=T_{2}=T_{3}=M_{t}=0$ $N=T_{2}=T_{3}=M_{t}=0$ $N=T_{2}=T_{3}=M_{t}=0$ , a sua volta distinta in flessione retta e flessione deviata .
di flessione e taglio con $(T_{2},T_{3})\neq 0$ $(T_{2},T_{3})\neq 0$ $(T_{2},T_{3})\neq 0$ e $N=M_{t}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$ $N=M_{t}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$ $N=M_{t}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$
di torsione pura con $M_{t}\neq 0$ $M_{t}\neq 0$ $M_{t}\neq 0$ e $N=T_{2}=T_{3}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$ $N=T_{2}=T_{3}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$ $N=T_{2}=T_{3}=M_{2}^{o}=M_{3}^{o}=0$

Note

^ Baldacci, 1984

Bibliografia

A. Barré de Saint-Venant, Mém. Savants étrangers , vol. 14, p. 223 (1855).
A. Clebsch, Theorie der Elasticität fester Körper , p 74, Leipzig (1862).
R. Baldacci, Scienza delle Costruzioni, vol I, Utet, Torino, 1984. ISBN 8802038376 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse su problema di Saint Venant

Teoria e Modello di de Saint Venant
	Sollecitazione interna - Sollecitazione esterna - Compressione o Trazione - Flessione retta Flessione deviata - Taglio - Torsione - Pressoflessione - Pressoflessione deviata

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 38538

Portale Fisica

Portale Ingegneria

Portale Matematica

[1] Baldacci, 1984

[1]

V · D · M Meccanica classica e meccanica del continuo
Grandezze intensive	Densità · Velocità macroscopica · Campo medio · Tensione interna · Temperatura · Deformazione · Densità termica
Grandezze estensive	Massa · Portata · Quantità di moto · Forza esterna · Energia interna · Calore · Dissipazione · Lavoro termodinamico
Bilanci	Conservazione della massa · Bilancio della quantità di moto · Bilancio di energia interna
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano