Teoria plasticității

Teoria plasticității indică modelarea matematică capabilă să reprezinte comportamentul plastic al materialelor și structurilor, definind legile constitutive relative. Teoria la care se face referire în prezent este așa-numita teorie incrementală a plasticității (sau teoria fluxului ), bazată pe relații constitutive scrise în termeni de creșteri infinitezimale ale stresului , deformării și deplasării.

fundal

Problema comportamentului neliniar al materialelor (și structurilor) a fost prezentă chiar de la începuturile mecanicii, deja pe vremea lui Leonardo și Galileo . Cu toate acestea, dezvoltarea unei teorii matematice moderne a plasticității a întâmpinat dificultăți considerabile în trecut datorită complexității fenomenului care urmează să fie reprezentat. Această complexitate se datorează atât caracterului ireversibil al fenomenului plastic, cât și caracterului său neholonomic, în sensul că deformarea finală atinsă depinde nu numai de valoarea finală a sarcinii, ci și de calea sarcinii, adică de istoricul trecut al metodei de aplicare a încărcăturii în sine.

Primele studii moderne privind comportamentul elastic-plastic al structurilor datează din a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Printre cei mai importanți autori din această fază sunt menționați Tresca , S. Venant și Levy. O nouă dezvoltare a teoriei a avut loc atunci la începutul secolului al XX-lea , în special de von Mises și von Karman .

În jurul anului 1940 a fost dezvoltată o teorie a plasticității în termeni finiti cunoscută sub numele de teoria deformării , în special de școala rusă Nadai și Iliushin. Această teorie se bazează în esență pe presupunerea unei legături între tensiuni $\mathbf {\sigma }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}$ și deformări $\mathbf {\varepsilon }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon}}$ în termeni globali ai tipului

${\mathbf {\sigma } }=f({\mathbf {\varepsilon } })$ ${\ displaystyle {\ mathbf {\ sigma}} = f ({\ mathbf {\ varepsilon}})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {\ sigma}} = f ({\ mathbf {\ varepsilon}})}$

și referindu-se în esență la procesele de încărcare care nu implică reveniri la faza elastică a părților plastificate anterior ale structurii. În acest fel, problema elastic-plastică a fost tratată ca un fel de problemă elastică neliniară.

Mai recent, a apărut o teorie diferită în panorama studiilor mecanice ale plasticității. Aceasta, cunoscută sub numele de teoria fluxului sau „teoria incrementală a plasticității”, este legată în esență de numele Melan, Prager (1930-40), Hodge, Hill, Drucker, Budiansky, Koiter (1950-60), Maier, Mandel (1960) - 70). Această teorie reflectă un punct de vedere incremental, adică studiază relațiile dintre creșterea încărcăturii infinitesimale $\mathbf {\dot {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}}}$ și creșterile corespunzătoare ale soluției în termeni de solicitări, deformări și deplasări $(\mathbf {\dot {\sigma }} ,\mathbf {\dot {\varepsilon }} ,\mathbf {\dot {u}} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ dot {\ sigma}}, \ mathbf {\ dot {\ varepsilon}}, \ mathbf {\ dot {u}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ dot {\ sigma}}, \ mathbf {\ dot {\ varepsilon}}, \ mathbf {\ dot {u}})}$ , rețineți situația preexistentă în ceea ce privește sarcina, deformarea și tensiunea. Această abordare s-a dovedit a fi mai semnificativă și mai eficientă în a înțelege natura neholonomică a comportamentului elastic-plastic și poate fi extinsă la procese de încărcare complet generice, incluzând și reveniri în faza elastică a pieselor plastificate anterior.

Axiome ale teoriei

Domeniul solicitărilor admisibile

Teoria incrementală a plasticității se bazează pe următoarele axiome:

[A1] Materialele au un prag de rezistență , adică eforturile posibile sunt limitate.

Acest lucru este formalizat presupunând că, pentru fiecare punct al structurii, este posibil să se definească un domeniu al spațiului de solicitări, numit domeniul elastic al materialului, ale cărui puncte (interne și de margine) sunt singurele care reprezintă stări de solicitare admisibile . Acest domeniu poate fi reprezentat de condiția admisibilității plastice

f({\boldsymbol {\sigma }})\leq 0

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ leq 0}

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ leq 0}

prin utilizarea funcției de randament

f({\boldsymbol {\sigma }})

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}})}

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}})}

. Acest domeniu este în general o funcție a unui anumit număr de parametri de stare internă (temperatură, stare fizică) și a istoricului de încărcare, astfel încât să poată reprezenta variațiile în comportamentul materialului în urma proceselor mecanice sau termice (întărire, oboseală) , etc.).

[A2] Există deformări ireversibile , adică într-un ciclu de încărcare și descărcare structura nu recuperează complet configurația inițială.

Acest lucru este formalizat prin separarea incrementelor de deformare

{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{e}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}

în cele două componente elastice

{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{e}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e}}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e}}

și plastic

{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}

, dintre care doar primul este legat de creșterea tensiunii

[A3] Pentru niveluri scăzute de tensiune, comportamentul poate fi schematizat ca elastic .

Acest lucru este formalizat presupunând că componenta plastică

{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}

creșterii deformării poate fi diferită de zero numai dacă tensiunea este aranjată pe limita domeniului elastic, adică

{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}\neq 0\iff f({\boldsymbol {\sigma }})=0

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ neq 0 \ if f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ neq 0 \ if f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0}

Pentru valori mai mici ale tensiunii, în sensul valorilor din domeniul elastic, comportamentul incremental este pur elastic.

Model elastic-plastic perfect

Model elastic-plastic rezistent la uzură

Acest model elastic-plastic asigură următoarele tipuri de comportament:

faza elastica : $f({\boldsymbol {\sigma }})<0$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0}$ ;
faza plastică : $f({\boldsymbol {\sigma }})=0\;\;\cup \;\;{\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})=0$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0}$ ;
retur elastic : $f({\boldsymbol {\sigma }})=0\;\;\cup \;\;{\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})<0$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0}$ .

Pe de altă parte, modelul nu prevede un prag al deformărilor posibile, prin urmare nu limitează valorile deformațiilor plastice ${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}$ . În modelul elastic-plastic propus se admite, de asemenea, că, așa cum se întâmplă pentru deformările elastice, deformările plastice sunt instantanee, adică nu există fenomene de întârziere vâscoasă între deformările plastice și acțiunile care le-au determinat (rata plasticității independente). Eliminarea acestei ipoteze duce la modele visco-plastice (plasticitatea dependentă de rata).

În cele din urmă, se aplică următoarele observații:

S-a spus că domeniul elastic depinde în general de istoricul sarcinii. Dacă acest lucru are loc de fapt, vorbim despre o lege elastic-plastică rezistentă. Dacă, pe de altă parte, domeniul elastic este independent de istoricul sarcinii, vorbim despre legea elastic-plastică ideală.
Formularea legii constitutive în termeni de creșteri infinitezimale ale tensiunii și deformării face posibilă abordarea mai ușoară a comportamentului diferit în timpul încărcării și descărcării și, prin urmare, poate fi extinsă la procesele de încărcare complet generice.
Comportamentul elastic-plastic este neholonomic, în sensul că depinde în general de traseul de încărcare. De fapt, prezența unor deformări plastice ireversibile implică faptul că starea de tensiune și deformare prezentă în corp în urma aplicării unei sarcini depinde nu numai de entitatea finală a sarcinii, ci și de metodele de aplicare.

Postulatul lui Drucker (materiale stabile)

Cadrul dat al teoriei este încă prea general. În special, completarea modelului constitutiv propus necesită

a unei caracterizări mai precise a deformărilor plastice ${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}$ (legea fluxului plastic),
legii evoluției domeniului elastic (legea întăririi), în cazul materialelor de întărire.

În acest sens, dacă acceptăm validitatea postulatului lui Drucker (1951), avem un bun punct de plecare pentru definirea teoriei.

„Având un corp într-o stare de tensiune și sarcină atribuită. Luați în considerare aplicarea (într-un mod cvasi-static) și ulterior eliminarea unui sistem generic de forțe suplimentare. Atunci:

în timpul fazei de încărcare, forțele suplimentare fac o muncă non-negativă;
pe parcursul întregului ciclu de încărcare și descărcare, forțele suplimentare continuă să lucreze negativ. "

Un material elasto-plastic care respectă postulatul lui Drucker se numește stabil (conform lui Drucker) sau chiar elasto-plastic standard . Postulatul lui Drucker se dovedește a fi valid dacă relația este valabilă

$({\boldsymbol {\sigma }}_{y}-{\boldsymbol {\sigma }}_{a})\cdot {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}\geq 0\;\;,$ ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y} - {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {a}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ geq 0 \; \;,}$ ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y} - {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {a}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ geq 0 \; \;,}$

unde este ${\boldsymbol {\sigma }}_{a}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {a}}$ este o stare de tensiune admisibilă în interiorul domeniului elastic, ${\boldsymbol {\sigma }}_{y}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y}}$ o stare de tensiune aparținând frontierei de dominație e ${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p}}$ deformarea plastică asociată stării ${\boldsymbol {\sigma }}_{y}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y}}$ .

Legea normală a fluxului plastic și a convexității domeniului elastic

Pentru materialele elastico-plastice stabile, validitatea postulatului lui Drucker duce la următoarea caracterizare atât a domeniului elastic, cât și a fluxurilor plastice și a legii de întărire:

(convexitatea domeniului elastic) : pentru materialele stabile, domeniul elastic este convex.
(legea normalității fluxului plastic) : deformarea plastică este direcționată în funcție de normalul extern către suprafața de randament, limita domeniului elastic

{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}=\gamma \;\nabla {\sigma }f({\boldsymbol {\sigma }})\;\;{\mbox{con}}\;\left\{{\begin{array}{ll}\gamma =0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})<0\\\gamma =0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})=0\;\;\cup \;\;{\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})<0\\\gamma \geq 0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})=0\;\;\cup \;\;{\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})=0\end{array}}\right.

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; \ nabla {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \; \; {\ mbox {cu }} \; \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma \ geq 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ punct {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; \ nabla {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \; \; {\ mbox {cu }} \; \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma \ geq 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ punct {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \ end {array}} \ right.}

Materialele stabile se mai numesc asociate .

(legea de întărire) În prezența materialelor de întărire , se arată că postulatul lui Drucker caracterizează și mai exact legea de întărire aferentă. În special: un material elastic-plastic standard nu poate suferi un fenomen de contracție a propriului domeniu elastic. Cu alte cuvinte, materialele elasto-plastice cu comportament de înmuiere (și materialele fragile, al căror domeniu elastic este anulat brusc la rupere) încalcă postulatul lui Drucker.

Legile constitutive

Într-un proces la limită pentru ${\boldsymbol {\sigma }}_{a}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {a}}$ tinde să ${\boldsymbol {\sigma }}_{y}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} _ {y}}$ , este posibil să rescriem în formă relația derivată din postulatul lui Drucker

${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}\geq 0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ geq 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ geq 0}$

valabil nu numai la punctele de frontieră $f({\boldsymbol {\sigma }})=0$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0}$ , dar și pe punctele din interiorul domeniului elastic $f({\boldsymbol {\sigma }})<0$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0}$ , pentru care este banal să observăm că rezultă ${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = 0}$ .

Legea constitutivă a unui material elastic-plastic standard poate fi rezumată în următoarele relații:

{\begin{aligned}&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{e}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}\\&{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=\mathbf {E} \,{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{e}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}=\gamma \;{\mbox{Grad}}_{\sigma }f({\boldsymbol {\sigma }})\\&\;\;{\begin{array}{ll}\gamma =0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})<0\\\gamma =0&{\mbox{se}}\;\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})=0\;\;\cup \;\;{\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})<0\\\gamma \geq 0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})=0\;\;\cup \;\;{\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})=0\end{array}}\\&\ldots {\mbox{legge di incrudimento}}\ldots \\&{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}\geq 0\\&f({\boldsymbol {\sigma }})\leq 0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon} }} ^ {p} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = \ mathbf {E} \, {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \\ & \; \; { \ begin {array} {ll} \ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma = 0 & {\ mbox {se} } \; \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \ \\ gamma \ geq 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({ \ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \ end {array}} \\ & \ ldots {\ mbox {law hardening law}} \ ldots \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ cdot { \ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ geq 0 \\ & f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ leq 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon} }} ^ {p} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = \ mathbf {E} \, {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \\ & \; \; { \ begin {array} {ll} \ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma = 0 & {\ mbox {se} } \; \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \ \\ gamma \ geq 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \; \; \ cup \; \; {\ dot {f}} ({ \ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \ end {array}} \\ & \ ldots {\ mbox {law hardening law}} \ ldots \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ cdot { \ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} \ geq 0 \\ & f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ leq 0 \ end {align}}}

Materiale elastic-plastice perfecte și stabile

Alte consecințe pot fi trase din acceptarea postulatului lui Drucker în cazul materialelor perfect elastic-plastice. Pentru aceste materiale, domeniul elastic rămâne constant și independent de istoricul sarcinii: cu alte cuvinte, punctul de tensiune este menținut în limite (domeniul elastic, de fapt) fixate în timp. Se arată că în această condiție postulatul lui Drucker se caracterizează prin

${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = 0}$

Fiind

${\dot {f}}({\boldsymbol {\sigma }})={\mbox{Grad}}_{\sigma }f({\boldsymbol {\sigma }})\;\cdot \;{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\ displaystyle {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \; \ cdot \; {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {f}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \; \ cdot \; {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}}}$

și amintindu-mi legea fluxului

${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}=\gamma \;{\mbox{Grad}}_{\sigma }f({\boldsymbol {\sigma }})\;\;$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \; \ ;}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \; \ ;}$

relația găsită poate fi exprimată și prin produsul a doi scalari

$\gamma \,{\dot {f}}=0$ ${\ displaystyle \ gamma \, {\ dot {f}} = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma \, {\ dot {f}} = 0}$

care evidențiază îndeplinirea condițiilor ${\dot {f}}\neq 0\;\Rightarrow \;\gamma =0\;\;\;,\;\;\;\gamma \neq 0\;\Rightarrow \;{\dot {f}}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {f}} \ neq 0 \; \ Rightarrow \; \ gamma = 0 \; \; \; \; \; \; \ gamma \ neq 0 \; \ Rightarrow \; {\ dot {f}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {f}} \ neq 0 \; \ Rightarrow \; \ gamma = 0 \; \; \; \; \; \; \ gamma \ neq 0 \; \ Rightarrow \; {\ dot {f}} = 0}$

Prin urmare, legea constitutivă a materialului elasto-plastic, perfectă și stabilă conform lui Drucker, se reduce la următoarele relații:

{\begin{aligned}&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{e}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}\\&{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=\mathbf {E} \,{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{e}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}^{p}=\gamma \;{\mbox{Grad}}_{\sigma }f({\boldsymbol {\sigma }})\\&\;\;{\begin{array}{ll}\gamma =0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})<0\\\gamma \geq 0&{\mbox{se}}\;\;f({\boldsymbol {\sigma }})=0\end{array}}\\&\gamma \,{\dot {f}}=0\\&f({\boldsymbol {\sigma }})\leq 0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon} }} ^ {p} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = \ mathbf {E} \, {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \\ & \; \; { \ begin {array} {ll} \ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma \ geq 0 & {\ mbox {se }} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \ end {array}} \\ & \ gamma \, {\ dot {f}} = 0 \\ & f ({\ boldsymbol { \ sigma}}) \ leq 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon} }} ^ {p} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = \ mathbf {E} \, {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {e} \\ & {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} ^ {p} = \ gamma \; {\ mbox {Grad}} _ {\ sigma} f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \\ & \; \; { \ begin {array} {ll} \ gamma = 0 & {\ mbox {se}} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) <0 \\\ gamma \ geq 0 & {\ mbox {se }} \; \; f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = 0 \ end {array}} \\ & \ gamma \, {\ dot {f}} = 0 \\ & f ({\ boldsymbol { \ sigma}}) \ leq 0 \ end {align}}}

Condiții de producție pentru materialele izotrope

Funcția de randament $f({\boldsymbol {\sigma }})$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}})}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}})}$ , așa cum a fost definit, este într-un anumit sens indicativ al nivelului de plastic atins de material. Este o funcție a stării de tensiune în punctul generic al materialului, care în cazul stresului pluriaxial este reprezentat de cel puțin șase componente independente ${\sigma }_{ij}$ ${\ displaystyle {\ sigma} _ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ sigma} _ {ij}}$ al tensorului de stres Cauchy ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ $\ boldsymbol {\ sigma}$ . În cazul particular al materialelor izotrope ^[1] , reprezentarea domeniului elastic poate fi urmărită doar în termeni ai celor trei solicitări principale $(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III}\!)$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III} \!)}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III} \!)}$ , excluzând dependența de direcțiile principale de tensiune .

f({\boldsymbol {\sigma }})\equiv f(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III})\leq 0

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ equiv f (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III}) \ leq 0}

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ equiv f (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III}) \ leq 0}

O reprezentare echivalentă, din nou pentru materialele izotrope, este în termenii celor trei invarianți ai tensorului de solicitare

f({\boldsymbol {\sigma }})\equiv f(J_{1},J_{2},J_{3})\leq 0

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ equiv f (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) \ leq 0}

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ equiv f (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) \ leq 0}

unde este

{\begin{aligned}J_{1}({\boldsymbol {\sigma }})&\equiv tr\,{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\J_{2}({\boldsymbol {\sigma }})&\equiv {\frac {1}{2}}\left((tr\,{\boldsymbol {\sigma }})^{2}-tr({\boldsymbol {\sigma }}^{2})\right)\\J_{3}({\boldsymbol {\sigma }})&\equiv det\,{\boldsymbol {\sigma }}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} J_ {1} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) & \ equiv tr \, {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ sigma _ {11} + \ sigma _ {22 } + \ sigma _ {33} \\ J_ {2} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) & \ equiv {\ frac {1} {2}} \ left ((tr \, {\ boldsymbol {\ sigma }}) ^ {2} -tr ({\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {2}) \ right) \\ J_ {3} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) & \ equiv det \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} J_ {1} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) & \ equiv tr \, {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ sigma _ {11} + \ sigma _ {22 } + \ sigma _ {33} \\ J_ {2} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) & \ equiv {\ frac {1} {2}} \ left ((tr \, {\ boldsymbol {\ sigma }}) ^ {2} -tr ({\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {2}) \ right) \\ J_ {3} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) & \ equiv det \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \\\ end {align}}}

În special, în metalele ductile, testele efectuate de PW Brigman ne-au permis să demonstrăm că plastifierea nu depinde de condițiile de presiune hidrostatică, adică sunt independente de primul invariant $J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ .

Același subiect în detaliu: criteriile de rezistență , stresul de randament , criteriul lui Tresca și criteriul lui von Mises .

O condiție de randament definită pe baza criteriului von Mises este redusă la forma simplă

f({\boldsymbol {\sigma }})\equiv f(J_{2})=J_{2}-k\leq 0

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ equiv f (J_ {2}) = J_ {2} -k \ leq 0}

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) \ equiv f (J_ {2}) = J_ {2} -k \ leq 0}

în ceea ce privește doar al doilea invariant al tensorului de deformare. În acest sens, dezvoltarea teoriei este adesea menționată ca $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$ - plasticitatea o $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$ teoria fluxului. Ecuațiile constitutive relative se numesc ecuații Prandtl- Reuss.

Notă

^ În termeni mai exacți, ar trebui să vorbim despre material izotrop inițial , deoarece intervenția fenomenelor de plasticizare, care sunt anisotrope prin natură, duce la distrugerea oricărei posibile simetrii constitutive a materialului.

Bibliografie

R. Baldacci, G. Ceradini, E. Giangreco, Plasticitate , CISIA, Milano, 1974.
R. Hill, The Mathematical Theory of Plasticity , Oxford University Press, 1998, ISBN 0-198-50367-9 .
Jacob Lubliner, Teoria plasticității , Editura Macmillan, New York, 1990, ISBN 0-023-72161-8 .
JC Simo, TJ Hughes, Computational Inelasticity , Springer, 1994, ISBN 0-387-97520-9 .
M. Jirasek, Z. Bazant, Inelastic Analysis of Structures , Wiley, 2001, ISBN 0-471-98716-6 .
Yehia M. Haddad, „Comportamentul mecanic al materialelor de inginerie”, vol. 1, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN 0-7923-6354-X .
Leone Corradi Dell'Acqua, „Mecanica structurilor”, vol. 3, McGraw-Hill, Milano, 1994, ISBN 88-386-0667-6 .

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 22342

Portal de inginerie

Portalul de matematică

[1] În termeni mai exacți, ar trebui să vorbim despre material izotrop inițial , deoarece intervenția fenomenelor de plasticizare, care sunt anisotrope prin natură, duce la distrugerea oricărei posibile simetrii constitutive a materialului.

[1]

V · D · M Mecanica clasică și mecanica continuumului
Cantități intensive	Densitate · Viteză macroscopică · Câmp mediu · Tensiune internă · Temperatură · Deformare · Densitate termică
Cantități mari	Masă · Debit · Moment · Forță externă · Energie internă · Căldură · Disipare · Lucrare termodinamică
Bilanțe contabile	Conservarea masei · Echilibrul impulsului · Echilibrul energiei interne
Aproximări	Ecuații Euler · Ecuații Navier-Stokes · Ecuații Burnett
Citit	Legea lui Pascal · Legea lui Newton · Legea Fourier · Stokes Legea · Legea lui Hooke
Mecanica solidelor	Solid · Teoria elasticității · Teoria plasticității · Reologie · Viscoelasticitate
Mecanica fluidelor	Fluid · statice ale fluidelor · Fluid · Vâscozitate · Fluid newtonian · Fluid non-newtonian