Ecuațiile Navier-Stokes

Simularea numerică a fluxurilor de aer, fie că este creată de-a lungul corpului automobilului : ecuațiile Navier-Stokes descriu analitic aceste fluxuri

În dinamica fluidelor , ecuațiile Navier-Stokes sunt un sistem de trei ecuații de echilibru ( ecuații diferențiale parțiale ) ale mecanicii continuum , care descriu un fluid vâscos liniar; în ele legea lui Stokes (în echilibrul cinematic) și legea lui Fourier (în echilibrul energetic) sunt introduse ca legi constitutive ale materialului. Ecuațiile poartă numele lui Claude-Louis Navier și George Stokes .

Aceste ecuații corespund aproximării lui Chapman a primului grad al ecuațiilor de echilibru . În mod corespunzător, ecuațiile de echilibru ale lui Euler constituie prima și cea mai importantă aproximare (corespund cu aproximarea la zero a expansiunii), în timp ce ecuațiile Burnett constituie a doua aproximare în expansiunea asimptotică , care ia în considerare efectele ordinului al doilea. Soluția analitică a ecuațiilor în cazul general reprezintă una dintre problemele nerezolvate ale matematicii moderne (așa-numitele 7 probleme pentru mileniu ), pentru care a fost stabilit Premiul Clay . Soluțiile analitice particulare se obțin în cazuri simplificate, în timp ce soluțiile aproximative sunt obținute în mod obișnuit prin recurgerea la metodele de analiză numerică și la utilizarea în comun a computerului .

Modelul matematic

Eficiența predictivă mai mare a unor astfel de ecuații în comparație cu cele ale lui Euler este plătită din punct de vedere al dificultății soluției. De fapt, în cazul general, acestea implică cinci ecuații diferențiale parțiale și 20 de variabile. Echilibrul dintre ecuații și necunoscute are loc cu definirea proprietăților fluidului considerat, a oricăror forțe de câmp implicate și cu considerații matematice. Mai mult, datorită neliniarității lor, ecuațiile Navier-Stokes aproape niciodată nu admit o soluție analitică (adică o soluție exactă), ci exclusiv numerică (o soluție aproximativă cu o metodă numerică ).

Ecuațiile Navier-Stokes sunt capabile să descrie complet orice flux de fluid, chiar turbulent . În special pentru un flux turbulent, adică în care traiectoriile particulelor de flux nu mai sunt constante în timp, o abordare de calcul numeric este numită în general simulare numerică directă (DNS). Datorită faptului că resursele de calcul necesare pentru rezoluția lor cresc odată cu numărul Reynolds (aproape cu Re³) și că acest număr poate avea valori de ordinul 10 ⁶ -10 ⁹ , această abordare rămâne imposibilă din punct de vedere tehnic. Ca alternativă la simularea numerică, este posibil să se adopte sisteme mai puțin oneroase, cum ar fi formularea LES sau ecuațiile medii .

Ecuațiile sunt completate de condițiile limită și condițiile inițiale (condiții impuse la începutul temporal al fenomenului care urmează să fie studiat). Ele pot fi, de asemenea, integrate prin ecuația stării gazelor ideale și prin ecuațiile de conservare ale speciilor gazoase individuale în cazul unui amestec de gaze.

Soluția ecuațiilor dă câmpul de viteză al fluidului. Din aceasta va fi posibilă urmărirea tuturor celorlalte cantități care caracterizează fluxul.

Ipoteza modelului

Modelul matematic care permite analiza dinamicii continuităților deformabile se bazează pe următoarele caracteristici:

fluid continuu;
fluid omogen chimic și nereactiv;
fluid fără sarcini electrice .

Ipoteza fluidului continuu

Natura discontinuă a materiei este neglijată, astfel se va putea face ca un volum de fluid să tindă la zero, fără ca aceasta să poată rămâne fără materie.

Un parametru fundamental care caracterizează mediul din punct de vedere al continuității este numărul Knudsen , definit ca raportul dintre calea liberă medie a unei particule constitutive și lungimea caracteristică a fluxului:

\mathrm {Kn} ={\frac {l}{L}}

{\ displaystyle \ mathrm {Kn} = {\ frac {l} {L}}}

{\ mathrm {Kn}} = {\ frac {l} {L}}

Dacă numărul Knudsen este mult mai mic decât unul, atunci este posibil să se ia în considerare fluidul continuu. În caz contrar, va fi necesar să se studieze comportamentul gazului numai pe o bază statistică, prin intermediul teoriei cinetice a gazelor , care analizează statistic distribuția vitezei moleculare și din aceasta derivă toate proprietățile gazului.

Ipoteza fluidului omogen chimic și care nu reacționează

Perturbările cauzate de neomogenitatea fluxului și reacțiile chimice vor fi neglijate. Acest lucru nu va fi în întregime posibil pentru fluxurile de reactanți, cum ar fi cele din interiorul unei camere de ardere, de exemplu.

Ipoteza fluidului lipsit de sarcini electrice

Perturbările datorate câmpului electromagnetic vor fi neglijate. Interacțiunea fluxurilor cu câmpurile electromagnetice este studiată prin magnetofluidodinamică .

Deducerea empirică

Ecuațiile Navier-Stokes sunt formalizarea matematică a trei principii fizice la care fluidele răspund, stabilește condiția deformării continue:

Din acest motiv, ele sunt deseori denumite ecuații de echilibru .

În paragrafele următoare vom indica întotdeauna vectorul vitezei fluidului cu notația ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ , în timp ce p și ρ vor indica presiunea statică și densitatea fluidului în sine. Simbolul ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ vec a}$ va reprezenta vectorul accelerațiilor de câmp.

Descrieri ale mișcării materiale și externe

Fiecare variabilă de stare locală este în general dependentă de poziția sa în spațiu și timp. Poziția unei particule fluide depinde apoi de timp și de viteza de curgere.

De fapt, este de obicei folosit pentru a descrie temporar mișcarea unui fluid, în special prin două puncte de vedere, corespunzătoare a două tipuri diferite de derivate .

Cea mai sintetică descriere este descrierea materialului (sau Lagrangian ), care urmărește traiectoria fiecărei particule fluide, implicând derivata obișnuită în raport cu timpul variabilelor de stare locale (densitate, viteză de curgere, temperatură).

Punctul de vedere eulerian, pe de altă parte, observă variațiile proprietăților fizice pentru orice poziție spațială dată ( x ; y ; z ) și folosește derivate parțiale . Coordonatele spațiale (împreună cu variabila de timp) vor fi, prin urmare, variabile independente. Variabilele dependente sunt deci o funcție a celor spațiale și temporale. De exemplu, pentru viteză:

{\vec {u}}={\vec {u}}(x;y;z;t).

{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} (x; y; z; t).}

{\ vec u} = {\ vec u} (x; y; z; t).

Teorema transportului Reynolds

Același subiect în detaliu: teorema transportului Reynolds și teorema divergenței .

Pentru comoditatea discuției, raportăm teorema transportului Reynolds , care, pentru o proprietate:

A=A(x;y;z;t)

{\ displaystyle A = A (x; y; z; t)}

A = A (x; y; z; t)

conținut într-un volum arbitrar V , care se deplasează cu fluidul și are o suprafață S (căreia i se poate asocia un vector, cu o intensitate corespunzătoare valorii numerice a suprafeței și spre normal față de suprafață), este indicat ca :

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}A\,dV=\int _{V(t)}{\frac {\partial A}{\partial t}}\,dV+\int _{S(t)}A{\vec {u}}\cdot \,d{\vec {S}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \, dV + \ int _ {S (t)} A {\ vec {u}} \ cdot \, d {\ vec {S}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \, dV + \ int _ {S (t)} A {\ vec {u}} \ cdot \, d {\ vec {S}}.}

Reamintind teorema divergenței , este posibilă și exprimarea celei anterioare ca:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}A\,dV=\int _{V(t)}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(A{\vec {u}}\right)\right)\,dV

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (A {\ vec {u}} \ right) \ right) \, dV}

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} A \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ left ({\ frac {\ partial A} {\ parțial t}} + \ nabla \ cdot \ left (A {\ vec u} \ right) \ right) \, dV

și amintindu-mi că:

\nabla \cdot \left(A{\vec {u}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot \nabla \right)A+A\nabla \cdot {\vec {u}}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (A {\ vec {u}} \ right) = \ left ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla \ right) A + A \ nabla \ cdot {\ vec { u}}}

\ nabla \ cdot \ left (A {\ vec u} \ right) = \ left ({\ vec u} \ cdot \ nabla \ right) A + A \ nabla \ cdot {\ vec u}

precum și definiția derivatei totale , este posibil să se exprime teorema într-o formă foarte utilă:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}A\,dV=\int _{V(t)}\left({\frac {DA}{Dt}}+A\nabla \cdot {\vec {u}}\right)\,dV.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} \ left ({\ frac {DA} {Dt}} + A \ nabla \ cdot {\ vec {u}} \ right) \, dV.}

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} A \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ left ({\ frac {DA} {Dt}} + A \ nabla \ cdot {\ vec u} \ right) \, dV.

Ecuația de continuitate

Același subiect în detaliu: Legea conservării masei (fizică) .

Punct de vedere lagrangian

Principiul conservării masei, în cazul mișcării unui fluid, poate fi exprimat din punct de vedere lagrangian, afirmând că:

„Masa conținută într-un volum (deformabil) care se mișcă odată cu fluidul rămâne neschimbată în timp.”

În acest caz, prin urmare, în termeni matematici:

{\frac {dm}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho \,dV=0\,.

{\ displaystyle {\ frac {dm} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho \, dV = 0 \,.}

{\ frac {dm} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho \, dV = 0 \,.

Aplicând teorema de transport Reynolds la densitatea ρ (masă pe unitate de volum), obținem ecuația de continuitate sub formă de divergență:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec {u}} \ right) = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec u} \ right) = 0

care poate fi raportat și sub formă orientativă:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho u_{i}\right)}{\partial x_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho u_ {i} \ right)} {\ partial x_ {i}}} = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho u_ {i} \ right)} {\ partial x_ {i}}} = 0

care pot fi raportate și în formă extinsă:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho u\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial y}}+{\frac {\partial \left(\rho w\right)}{\partial z}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho u \ right)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho v \ right)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho w \ right)} {\ partial z}} = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho u \ right)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho v \ right)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ left (\ rho w \ right)} {\ partial z}} = 0

sau în ceea ce privește derivatul total:

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot {\vec {u}}=0\,.

{\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec {u}} = 0 \,.}

{\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec u} = 0 \,.

Punct de vedere eulerian

Același principiu de conservare, din punct de vedere eulerian, poate fi exprimat după cum urmează:

"Modificarea masei conținute într-un volum fix este egală cu diferența dintre fluxurile de masă primite și fluxurile de masă de ieșire (opuse fluxului de masă net )."

Un flux de masă generic pe unitate de suprafață, care trece printr-o pereche de fețe P și Q ale unui volum, este considerat ca produsul densității fluidului ρ , componenta vitezei într-o direcție perpendiculară pe fața considerată și aria feței în sine.

Având în vedere ipoteza unui element infinitesimal putem aproxima valoarea fluxului la punctul central al fiecărei fețe cu valoarea sa medie și să calculăm valoarea fluxului pe o față începând de la valoarea asumată pe fața anterioară printr-o serie Taylor tăiată până la gradul I de extindere:

\Phi _{P_{x}}=\rho u\,dydz\qquad \Phi _{Q_{x}}=\rho u\,dydz+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\,dxdydz

{\ displaystyle \ Phi _ {P_ {x}} = \ rho u \, dydz \ qquad \ Phi _ {Q_ {x}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ partial \ rho u} {\ parțial x}} \, dxdydz}

\ Phi _ {{P_ {x}}} = \ rho u \, dydz \ qquad \ Phi _ {{Q_ {x}}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ partial \ rho u} { \ partial x}} \, dxdydz

unde cu P _x și Q _x am indicat fețele normale (adică perpendiculare ) față de direcția x . În urma afirmației principiului, adică prin calcularea diferenței fluxurilor, obținem:

\Phi _{x}=\Phi _{Q_{x}}-\Phi _{P_{x}}=\rho u\,dydz+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\,dxdydz-\rho u\,dydz={\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\,dxdydz

{\ displaystyle \ Phi _ {x} = \ Phi _ {Q_ {x}} - \ Phi _ {P_ {x}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ partial \ rho u} {\ partial x}} \, dxdydz- \ rho u \, dydz = {\ frac {\ partial \ rho u} {\ partial x}} \, dxdydz}

\ Phi _ {x} = \ Phi _ {{Q_ {x}}} - \ Phi _ {{P_ {x}}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ partial \ rho u} {\ partial x}} \, dxdydz- \ rho u \, dydz = {\ frac {\ partial \ rho u} {\ partial x}} \, dxdydz

Extinzând raționamentul la celelalte direcții spațiale, obținem că fluxul net va fi egal cu:

\Phi =\left({\frac {\partial \rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial \rho w}{\partial z}}\right)\,dxdydz=\left[\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)\right]\,dxdydz.

{\ displaystyle \ Phi = \ left ({\ frac {\ partial \ rho u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ rho w} {\ partial z}} \ right) \, dxdydz = \ left [\ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec {u}} \ right) \ right] \, dxdydz.}

\ Phi = \ left ({\ frac {\ partial \ rho u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ rho v} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ rho w} {\ partial z}} \ right) \, dxdydz = \ left [\ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec u} \ right) \ right] \, dxdydz.

Acum punem schimbarea masei în timp egală cu opusul fluxului net:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dxdydz=-\left[\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)\right]\,dxdydz

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \, dxdydz = - \ left [\ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec {u}} \ right) \ right] \, dxdydz}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \, dxdydz = - \ left [\ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec u} \ right) \ right] \, dxdydz

și în cele din urmă, după unitatea de volum:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec {u}} \ right) = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ rho {\ vec u} \ right) = 0

re-obținând expresia prezentată anterior.

Ecuația de echilibru a impulsului

Același subiect în detaliu: Legea conservării impulsului .

Punct de vedere lagrangian

Conservarea impulsului (definit ca produsul masei ori viteza sau, pe unitate de volum, densitatea ori viteza) se exprimă prin afirmarea că:

"Variația temporală a impulsului unui sistem coincide cu rezultanta forțelor externe sistemului"

și matematic:

{\frac {d{\vec {Q}}}{dt}}={\vec {F}}_{e}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {Q}}} {dt}} = {\ vec {F}} _ {e}}

{\ frac {d {\ vec Q}} {dt}} = {\ vec F} _ {e}

unde, de fapt, cu F _și este indicată suma forțelor externe, a masei (cum ar fi forța gravitațională ) și a suprafeței (cum ar fi forțele vâscoase).

Introducerea acestei diferențieri în forțe și o formulare integrală:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho {\vec {u}}\,dV=\int _{V(t)}\rho {\vec {F}}_{V}\,dV+\int _{S(t)}{\vec {F}}_{S}\,dS

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec {u}} \, dV = \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec { F}} _ {V} \, dV + \ int _ {S (t)} {\ vec {F}} _ {S} \, dS}

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec F} _ {V} \, dV + \ int _ {{S (t)}} {\ vec F} _ {S} \, dS

Primul membru poate fi transformat într-o formă mai convenabilă prin intermediul teoremei de transport Reynolds:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho {\vec {u}}\,dV=\int _{V(t)}\left({\frac {D\rho {\vec {u}}}{Dt}}+\rho {\vec {u}}\left(\nabla \cdot {\vec {u}}\right)\right)\,dV

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec {u}} \, dV = \ int _ {V (t)} \ left ({\ frac {D \ rho {\ vec {u}}} {Dt}} + \ rho {\ vec {u}} \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {u}} \ right) \ right) \, dV}

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ left ({\ frac { D \ rho {\ vec u}} {Dt}} + \ rho {\ vec u} \ left (\ nabla \ cdot {\ vec u} \ right) \ right) \, dV

care poate fi redus sub forma:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho {\vec {u}}\,dV=\int _{V(t)}\rho {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}\,dV+\int _{V(t)}{\vec {u}}\left({\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot {\vec {u}}\right)\,dV

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec {u}} \, dV = \ int _ {V (t)} \ rho {\ frac { D {\ vec {u}}} {Dt}} \, dV + \ int _ {V (t)} {\ vec {u}} \ left ({\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec {u}} \ right) \, dV}

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} \, dV + \ int _ {{V (t)}} {\ vec u} \ left ({\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec u} \ right) \, dV

unde ultima integrală coincide cu ecuația continuității și este deci zero.

Dacă aplicăm teorema divergenței la ultima integrală a ecuației impulsului, va fi posibil să o scriem ca o integrală de volum. Ecuația se transformă apoi după cum urmează:

\int _{V(t)}\left(\rho {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}-\rho {\vec {F}}_{V}-\nabla \cdot {\underline {\underline {T}}}\right)\,dV=0

{\ displaystyle \ int _ {V (t)} \ left (\ rho {\ frac {D {\ vec {u}}} {Dt}} - \ rho {\ vec {F}} _ {V} - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {T}}} \ right) \, dV = 0}

\ int _ {{V (t)}} \ left (\ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} - \ rho {\ vec F} _ {V} - \ nabla \ cdot \ underline {\ underline T} \ right) \, dV = 0

unde T cu subliniere dublă indică tensorul de solicitare . Deoarece egalitatea precedentă trebuie să fie valabilă pentru orice volum arbitrar de integrare, integrandul trebuie să fie nul:

\rho {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}=\rho {\vec {F}}_{V}+\nabla \cdot {\underline {\underline {T}}}

{\ displaystyle \ rho {\ frac {D {\ vec {u}}} {Dt}} = \ rho {\ vec {F}} _ {V} + \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {T} }}}

\ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} = \ rho {\ vec F} _ {V} + \ nabla \ cdot \ underline {\ underline T}

care exprimă ecuația impulsului (pe unitate de volum ).

Punct de vedere eulerian

Al doilea principiu al dinamicii exprimă conservarea impulsului și, pentru un element al fluidului, se poate afirma după cum urmează:

„Variația, în timp, a impulsului fluidului conținut în volumul de control τ , adăugat fluxului net de impuls prin suprafața σ , este egal cu rezultatul forțelor externe care acționează asupra fluidului conținut în volum în sine.”

Deci, cu formularea integrală:

{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho {\vec {u}}\,dV+\oint _{S}\left(\rho {\vec {u}}\right){\vec {u}}\cdot {\hat {n}}\,dS=\int _{V}{\vec {F}}_{V}\,dV+\oint _{S}{\underline {\underline {T}}}\,dS

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho {\ vec {u}} \, dV + \ oint _ {S} \ left (\ rho {\ vec {u}} \ right) {\ vec {u}} \ cdot {\ hat {n}} \, dS = \ int _ {V} {\ vec {F}} _ {V} \, dV + \ oint _ {S} {\ underline {\ underline {T}}} \, dS}

{\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho {\ vec u} \, dV + \ oint _ {S} \ left (\ rho {\ vec u} \ right) {\ vec u } \ cdot {\ hat n} \, dS = \ int _ {V} {\ vec F} _ {V} \, dV + \ oint _ {S} \ underline {\ underline T} \, dS

unde volumul (la fel ca suprafața S care îl cuprinde) nu este o funcție a timpului.

Tensorul de tensiune pentru un fluid

Același subiect în detaliu: relația constitutivă (mecanică) și tensiunea internă .

Forța generică care acționează pe o suprafață (orientată).

Tensorul de tensiune sau tensorul de tensiune este un tensor tridimensional de gradul doi , caracterizat prin nouă componente T _ik care reprezintă cele trei componente ale tensiunilor în cele trei direcții spațiale ale unui anumit sistem de referință cartesian . În formă matematică:

{\underline {\underline {T}}}={\begin{Bmatrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\\\end{Bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {T}}} = {\ begin {Bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \\ T_ {21} & T_ {22} & T_ {23 } \\ T_ {31} și T_ {32} și T_ {33} \\\ end {Bmatrix}}.}

\ underline {\ underline T} = {\ begin {Bmatrix} T _ {{11}} & T _ {{12}} & T _ {{13}} \\ T _ {{21}} & T _ { {22}} & T _ {{23}} \\ T _ {{31}} & T _ {{32}} & T _ {{33}} \\\ end {Bmatrix}}.

Dacă luăm în considerare o suprafață generică, orientată în funcție de vectorul n ca în figură, și rezultanta forțelor elementare pe care moleculele de fluid din apropierea feței pozitive le exercită asupra celor din apropierea feței negative, avem că stresul relativ la suprafața S și versorul n este:

{\vec {T}}_{n}={\frac {{\vec {F}}_{n}}{S}}

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {n} = {\ frac {{\ vec {F}} _ {n}} {S}}}

{\ vec T} _ {n} = {\ frac {{\ vec F} _ {n}} {S}}

Indicele n indică faptul că forța depinde de dimensiunea și orientarea suprafeței, în timp ce efortul depinde doar de orientare.

În cazul static, adică al unui fluid în repaus, spre deosebire de mecanica solidelor, singura forță va fi pur normală, iar tensiunea rezultată va fi numită presiune . Pe de altă parte, într-un fluid în mișcare, fricțiunea dintre straturile adiacente care se mișcă la viteze diferite va duce la forțe oblice.

Spre deosebire de solidele elastice, pentru care eforturile depind în esență de deformarea efectivă a particulelor, pentru fluidele eforturile depind de viteza de deformare.

Lichid non-micropolar

Dacă fluidul este non- micropolar , adică cu un tensor de solicitare simetric, atunci T _ik = T _ki , astfel încât cele nouă componente să fie reduse la șase cantități independente. Acest lucru se datorează faptului că momentele mecanice care acționează pe fețele unui anumit volum (de exemplu sub forma unui paralelipiped dreptunghiular ), în raport cu o anumită axă (de exemplu z ), care trece prin centrul volumului , sunt:

\left|{\vec {M}}_{z}\right|=T'_{12}\,bc\,{\frac {a}{2}}-T''_{12}\,bc\left(-{\frac {a}{2}}\right)+T'_{21}\,ac\left(-{\frac {b}{2}}\right)-T''_{21}\,ac\,{\frac {b}{2}}

{\ displaystyle \ left | {\ vec {M}} _ {z} \ right | = T '_ {12} \, bc \, {\ frac {a} {2}} - T' '_ {12} \, bc \ left (- {\ frac {a} {2}} \ right) + T '_ {21} \, ac \ left (- {\ frac {b} {2}} \ right) -T' '_ {21} \, ac \, {\ frac {b} {2}}}

{\ displaystyle \ left | {\ vec {M}} _ {z} \ right | = T '_ {12} \, bc \, {\ frac {a} {2}} - T' '_ {12} \, bc \ left (- {\ frac {a} {2}} \ right) + T '_ {21} \, ac \ left (- {\ frac {b} {2}} \ right) -T' '_ {21} \, ac \, {\ frac {b} {2}}}

în timp ce ecuația momentului mecanic al unei mișcări în jurul unui centru de greutate al unui paralelipiped este:

\left|{\vec {M}}_{z}\right|=I_{z}\,\omega _{z}=\rho \,abc\,{\frac {a^{2}+b^{2}}{12}}\,\omega _{z}

{\ displaystyle \ left | {\ vec {M}} _ {z} \ right | = I_ {z} \, \ omega _ {z} = \ rho \, abc \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z}}

\ left | {\ vec M} _ {z} \ right | = I_ {z} \, \ omega _ {z} = \ rho \, abc \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2 }} {12}} \, \ omega _ {z}

unde I _z indică momentul de inerție în jurul axei z și cu ω _z viteza unghiulară . Echivalând expresiile anterioare, obținem:

\rho \,{\frac {a^{2}+b^{2}}{12}}\,\omega _{z}={\frac {T'_{12}+T''_{12}}{2}}-{\frac {T'_{21}+T''_{21}}{2}}.

{\ displaystyle \ rho \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z} = {\ frac {T '_ {12} + T' ' _ {12}} {2}} - {\ frac {T '_ {21} + T' '_ {21}} {2}}.}

\ rho \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z} = {\ frac {T '_ {{12}} + T' '_ {{12}}} {2}} - {\ frac {T '_ {{21}} + T' '_ {{21}}} {2}}.

Deoarece volumul tinde la 0, lungimile a , b și c vor tinde la 0, în timp ce tensiunile de pe fețele opuse tind să aibă o valoare comună. Prin urmare, rămâne:

T_{12}-T_{21}=0

{\ displaystyle T_ {12} -T_ {21} = 0}

T _ {{12}} - T _ {{21}} = 0

care se aplică și celorlalte axe.

Relațiile dintre solicitări și rate de deformare: fluide izotropice newtoniene

Același subiect în detaliu: fluid Newtonian .

Un fluid este definit ca newtonian atunci când vâscozitatea acestuia nu variază în funcție de viteză și, din acest motiv, relația matematică care leagă tensorul de tensiune de componentele tensorului de viteză de deformare este liniară .

Dorind să găsim relațiile care leagă tensiunile și ratele de deformare, analizăm cele mai simple cazuri și apoi adăugăm efectele acestora (grație liniarității problemei), obținând cazul general.

Cel mai simplu caz dintre toate va fi cazul static: așa cum s-a observat deja, tensiunile vor fi pur normale, în timp ce tensorul vitezei de deformare (pe care îl vom indica prin ${\underline {\underline {\varepsilon }}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}}}$ $\ underline {\ underline \ varepsilon}$ ) este ipotetic nul. În termeni matematici:

{\begin{cases}T_{ik}=-p\qquad &\mathrm {per\ } i=k\\T_{ik}=0\qquad &\mathrm {per\ } i\neq k.\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} T_ {ik} = - p \ qquad & \ mathrm {pentru \} i = k \\ T_ {ik} = 0 \ qquad & \ mathrm {pentru \} i \ neq k. \\\ end {cases}}}

{\ begin {cases} T _ {{ik}} = - p \ qquad & {\ mathrm {for \}} i = k \\ T _ {{ik}} = 0 \ qquad & {\ mathrm {for \ }} i \ neq k. \\\ end {cases}}

Să luăm acum în considerare un flux în mișcare, unde totuși, pentru un anumit sistem cartezian de referință , tensiunile sunt pur normale pentru suprafețele unui element de formă parelelepipedă (sistemul de referință al axelor principale de deformare ). De exemplu, să presupunem că este:

{\begin{cases}T_{ik}=0\qquad &\mathrm {per\ } i\neq k\\T_{11}>T_{22}=T_{33}\,.\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} T_ {ik} = 0 \ qquad & \ mathrm {pentru \} i \ neq k \\ T_ {11}> T_ {22} = T_ {33} \ ,. \\\ sfârșit {cazuri}}}

{\ begin {cases} T _ {{ik}} = 0 \ qquad & {\ mathrm {for \}} i \ neq k \\ T _ {{11}}> T _ {{22}} = T _ {{33}} \ ,. \\\ end {cases}}

Efectele sistemului de stres anterior asupra unui fluid sunt diferite în cazul fluidului izotrop (cum ar fi apa și aerul ) sau al fluidului anizotrop (cum ar fi sângele , ale cărui molecule conferă fluidului proprietăți diferite în direcții diferite). Experiența fizică arată că fluidele care afectează aerodinamica și hidrodinamica sunt fluide newtoniene și izotrope, altfel numite fluide stokesiene . Prin urmare, vom analiza un fluid izotrop, unde trebuie să fie ε ₁₂ = 0:

{\begin{cases}\varepsilon _{ik}=0\qquad &\mathrm {per\ } i\neq k\\\varepsilon _{11}>0\\\varepsilon _{22}=\varepsilon _{33}<\varepsilon _{11}\,.\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ varepsilon _ {ik} = 0 \ qquad & \ mathrm {for \} i \ neq k \\\ varepsilon _ {11}> 0 \\\ varepsilon _ {22} = \ varepsilon _ {33} <\ varepsilon _ {11} \ ,. \\\ end {cases}}}

{\ begin {cases} \ varepsilon _ {{ik}} = 0 \ qquad & {\ mathrm {for \}} i \ neq k \\\ varepsilon _ {{11}}> 0 \\\ varepsilon _ {{ 22}} = \ varepsilon _ {{33}} <\ varepsilon _ {{11}} \ ,. \\\ end {cases}}

În cele din urmă, cazul mai general rămâne de luat în considerare, adică în care toate componentele eforturilor vor fi diferite de zero:

T_{ik}\neq 0\quad \forall i;k\qquad \Rightarrow \qquad \varepsilon _{ik}\neq 0\quad \forall i;k.

{\ displaystyle T_ {ik} \ neq 0 \ quad \ forall i; k \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ varepsilon _ {ik} \ neq 0 \ quad \ forall i; k.}

T _ {{ik}} \ neq 0 \ quad \ forall i; k \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ varepsilon _ {{ik}} \ neq 0 \ quad \ forall i; k.

Fiecare componentă a tensorului de solicitare va fi o anumită funcție, liniară pentru fluidele newtoniene, a componentelor tensorului de viteză de deformare. Dezvoltând această funcție în seria Taylor (arestată la primul grad datorită proprietății sale de liniaritate), obținem:

T_{ik}=f_{0}+f_{1}(\varepsilon _{mn}).

{\ displaystyle T_ {ik} = f_ {0} + f_ {1} (\ varepsilon _ {mn}).}

T _ {{ik}} = f_ {0} + f_ {1} (\ varepsilon _ {{mn}}).

Rămâne acum să derivăm aceste funcții liniare: abordând problema într-un anumit sistem de referință, cum ar fi cel al axelor principale de deformare, avem:

{\begin{cases}T_{11}=f_{0}+a_{1}\varepsilon _{11}+b_{1}\varepsilon _{22}+b_{1}\varepsilon _{33}\\T_{22}=f_{0}+a_{2}\varepsilon _{22}+b_{2}\varepsilon _{11}+b_{2}\varepsilon _{33}\\T_{33}=f_{0}+a_{3}\varepsilon _{33}+b_{3}\varepsilon _{11}+b_{3}\varepsilon _{22}.\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} T_ {11} = f_ {0} + a_ {1} \ varepsilon _ {11} + b_ {1} \ varepsilon _ {22} + b_ {1} \ varepsilon _ {33 } \\ T_ {22} = f_ {0} + a_ {2} \ varepsilon _ {22} + b_ {2} \ varepsilon _ {11} + b_ {2} \ varepsilon _ {33} \\ T_ {33 } = f_ {0} + a_ {3} \ varepsilon _ {33} + b_ {3} \ varepsilon _ {11} + b_ {3} \ varepsilon _ {22}. \\\ end {cases}}}

{\ begin {cases} T _ {{11}} = f_ {0} + a_ {1} \ varepsilon _ {{11}} + b_ {1} \ varepsilon _ {{22}} + b_ {1} \ varepsilon _ {{33}} \\ T _ {{22}} = f_ {0} + a_ {2} \ varepsilon _ {{22}} + b_ {2} \ varepsilon _ {{11}} + b_ { 2} \ varepsilon _ {{33}} \\ T _ {{33}} = f_ {0} + a_ {3} \ varepsilon _ {{33}} + b_ {3} \ varepsilon _ {{11}} + b_ {3} \ varepsilon _ {{22}}. \\\ end {cases}}

Prin urmare, în primul caz analizat vor fi:

f_{0}=-p.\

{\ displaystyle f_ {0} = - p. \}

f_ {0} = - p. \

Datorită faptului că studiem un fluid Stokesian, există, de asemenea, echivalența completă a comportamentului între cele trei direcții principale de deformare x ₁ , x ₂ , x ₃ și, prin urmare:

{\begin{cases}a_{1}=a_{2}=a_{3}=a\\b_{1}=b_{2}=b_{3}=b\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = a \\ b_ {1} = b_ {2} = b_ {3} = b \\\ end {cases} }}

{\ begin {cases} a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = a \\ b_ {1} = b_ {2} = b_ {3} = b \\\ end {cases}}

și, prin urmare, sistemul inițial poate fi scris ca:

{\begin{cases}T_{11}=f_{0}+(a-b)\varepsilon _{11}+b\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}\\T_{22}=f_{0}+(a-b)\varepsilon _{22}+b\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}\\T_{33}=f_{0}+(a-b)\varepsilon _{33}+b\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}.\\\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} T_ {11} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {11} + b \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ii} \\ T_ {22} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {22} + b \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ii} \\ T_ {33} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {33} + b \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ii}. \\\ end {cases}}}

{\ begin {cases} T _ {{11}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{11}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii}} \\ T _ {{22}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{22}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii}} \\ T _ {{33}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{33}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii}}. \\\ end {cases}}

Infine, tenendo conto che

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}=\nabla \cdot {\vec {u}}

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}=\nabla \cdot {\vec {u}}

\sum _{{i=1}}^{3}\varepsilon _{{ii}}=\nabla \cdot {\vec u}

e ponendo per comodità

{\begin{cases}a-b=2\mu \\b=\lambda \\\end{cases}}

{\begin{cases}ab=2\mu \\b=\lambda \\\end{cases}}

{\begin{cases}a-b=2\mu \\b=\lambda \\\end{cases}}

si ottiene:

{\begin{cases}T_{11}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{11}\\T_{22}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{22}\\T_{33}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{33}\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{11}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{11}\\T_{22}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{22}\\T_{33}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{33}\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{{11}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{11}}\\T_{{22}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{22}}\\T_{{33}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{33}}\\\end{cases}}

dove il secondo termine al secondo membro descrive l'effetto della viscosità dovuto alla variazione di volume di una particella di fluido.

Non resta ora che generalizzare il sistema di equazioni precedente al caso di una terna di riferimento qualsiasi:

{\begin{cases}T_{kk}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{kk}\\T_{ik}=2\mu \,\varepsilon _{ik}\qquad i\neq k.\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{kk}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{kk}\\T_{ik}=2\mu \,\varepsilon _{ik}\qquad i\neq k.\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{{kk}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{kk}}\\T_{{ik}}=2\mu \,\varepsilon _{{ik}}\qquad i\neq k.\\\end{cases}}

La prima equazione del sistema precedente evidenzia il fatto che, nel caso generale, i tre sforzi normali sono differenti tra loro. La loro media è:

{\begin{aligned}{\frac {T_{11}+T_{22}+T_{33}}{3}}&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)=\\&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \nabla \cdot {\vec {u}}\\&=-p+\mu '\nabla \cdot {\vec {u}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {T_{11}+T_{22}+T_{33}}{3}}&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)=\\&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \nabla \cdot {\vec {u}}\\&=-p+\mu '\nabla \cdot {\vec {u}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {T_{{11}}+T_{{22}}+T_{{33}}}{3}}&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+{\frac {2}{3}}\;\mu \left(\varepsilon _{{11}}+\varepsilon _{{22}}+\varepsilon _{{33}}\right)=\\&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+{\frac {2}{3}}\;\mu \nabla \cdot {\vec u}\\&=-p+\mu '\nabla \cdot {\vec u}\end{aligned}}

dove con μ' si è indicata la viscosità di volume (o in terminologia anglosassone bulk viscosity ), la quale descrive la differenza tra lo sforzo normale medio e la pressione di un fluido, dovuta alla viscosità. Il valore della viscosità di volume in genere è trascurabile per i gas, in particolare per quelli monoatomici.

Conservazione dell'energia

Lo stesso argomento in dettaglio: Legge di conservazione dell'energia .

Il primo principio della termodinamica, ovvero il principio di conservazione dell'energia può essere espresso dicendo che la variazione nell'unità di tempo dell'energia totale del fluido contenuto nel volume di controllo sommata al flusso netto di energia totale attraverso le facce del volume di controllo uguaglia la somma della potenza delle forze agenti sull'elemento di fluido e del flusso netto di energia termica trasmessa all'elemento di fluido per conduzione.

Come si nota in questa formulazione viene trascurata l'energia trasmessa all'elemento per irraggiamento. Formalizzando matematicamente questo principio si sfrutterà il concetto di energia totale per unità di massa $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ che è uno scalare definito come:

E=e+{\frac {1}{2}}V^{2}

E=e+{\frac {1}{2}}V^{2}

E=e+{\frac {1}{2}}V^{2}

cioè la somma tra l'energia interna delle molecole e l'energia meccanica degli elementini di fluido.

Nell'enunciato si parla di flusso netto di energia totale: come per la quantità di moto si indicherà questo flusso come il prodotto tra il flusso di massa e l'energia totale per unità di massa trasportata in ogni direzione:

\Phi _{E}={\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}

\Phi _{E}={\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}

\Phi _{E}={\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}

La potenza degli sforzi agenti sull'elementino di fluido considerato comprende sia la potenza sviluppata dagli sforzi viscosi del tensore $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ sia gli sforzi associati alla pressione .

Ricorrendo alla definizione di potenza come prodotto di una forza per una velocità , si potrà scrivere:

P_{S}={\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}

P_{S}={\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}

P_{S}={\frac {\partial (S_{{xx}}u+S_{{yx}}v+S_{{zx}}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{{xy}}u+S_{{yy}}v+S_{{zy}}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{{xz}}u+S_{{yz}}v+S_{{zz}}w)}{\partial z}}

per quanto riguarda gli sforzi viscosi , mentre per la pressione sarà:

P_{p}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)

P_{p}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)

P_{p}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)

La potenza delle forze di campo si definisce come:

P_{c}=\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w

P_{c}=\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w

P_{c}=\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w

Per quanto riguarda la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso le facce dell'elementino è necessaria la definizione di un vettore ${\vec {q}}=[q_{x},q_{y},q_{z}]^{T}$ ${\vec {q}}=[q_{x},q_{y},q_{z}]^{T}$ ${\vec q}=[q_{x},q_{y},q_{z}]^{T}$ flusso termico. Sarà possibile scrivere:

-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

L'equazione completa che formalizza il primo principio della termodinamica per i fluidi in movimento sarà quindi:

{\frac {\partial \rho E}{\partial t}}+{\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)+

{\frac {\partial \rho E}{\partial t}}+{\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)+

{\frac {\partial \rho E}{\partial t}}+{\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)+

+{\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}+

+{\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}+

+{\frac {\partial (S_{{xx}}u+S_{{yx}}v+S_{{zx}}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{{xy}}u+S_{{yy}}v+S_{{zy}}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{{xz}}u+S_{{yz}}v+S_{{zz}}w)}{\partial z}}+

+\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

+\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

+\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

Osservazioni e chiusura del problema

Le 3 equazioni (due equazioni scalari ed un'equazione vettoriale) appena derivate sono insufficienti, da sole, alla chiusura del problema della determinazione del campo di moto del fluido . Infatti le equazioni contengono 20 incognite:

densità
vettore velocità (3 incognite)
pressione
tensore degli sforzi viscosi $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ (9 incognite)
vettore accelerazione di campo (3 incognite)
energia interna $e$ ${\displaystyle e}$ $e$
vettore flusso termico ${\vec {q}}$ ${\vec {q}}$ ${\vec q}$ , sempre riconducibile a una funzione di un coefficiente di conducibilità termica e della temperatura (2 incognite).

Queste equazioni sono del tutto generali e per la loro applicazione è necessaria una sorta di specializzazione delle stesse alla situazione di lavoro.

Per la chiusura del problema è quindi necessario definire le proprietà termofisiche del fluido in esame (che permettono di definire la conducibilità termica , la densità , l'energia interna e una o più equazioni di stato in grado di determinare anche temperatura e pressione ) e il campo di forze in cui si muove (determinando il vettore di accelerazioni di campo ). Inoltre si osserva che il tensore degli sforzi viscosi $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ è simmetrico, con la conseguenza che le incognite effettivamente contenute sono 6 e non 9 e sono determinabili sperimentalmente o teoricamente specificando il tipo di fluido. Saranno successivamente necessarie le condizioni iniziali e le condizioni al contorno, trattandosi di equazioni differenziali ( problema di Cauchy o problema di Neumann ).

Le equazioni in forma adimensionale

Le equazioni scritte nei paragrafi precedenti sono in forma dimensionale, nel senso che ogni termine possiede dimensioni fisiche della grandezza considerata:

$\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{3}\,s}}\right]\qquad }$ $\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{3}\,s}}\right]\qquad }$ ${\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{3}\,s}}\right]\qquad }}$ nella prima equazione;
$\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}}\right]\qquad }$ $\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}}\right]\qquad }$ ${\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}}\right]\qquad }}$ nelle tre equazioni della quantità di moto;
$\mathrm {\left[{\frac {kg}{m\,s^{3}}}\right]\qquad }$ $\mathrm {\left[{\frac {kg}{m\,s^{3}}}\right]\qquad }$ ${\mathrm {\left[{\frac {kg}{m\,s^{3}}}\right]\qquad }}$ nell'ultima equazione.

Di conseguenza, volendo confrontare tra loro i numerosi coefficienti per sapere quali di essi sia il più preponderante nei vari casi in esame, bisognerebbe calcolare il valore di ogni singolo termine. Un metodo pratico per ovviare a questa necessità è quello di dividere ogni coefficiente per una certa grandezza omogenea di riferimento, in tal modo i coefficienti risulteranno adimensionali . Queste grandezze di riferimento saranno scelte in base alle condizioni al contorno ed alle condizioni iniziali del particolare problema fluidodinamico che si vuole esaminare. Qui sono indicate con il pedice 0 ( zero ):

\rho ^{*}={\frac {\rho }{\rho _{0}}}\qquad {u_{i}}^{*}={\frac {u_{i}}{U_{0}}}\qquad p^{*}={\frac {p}{p_{0}}}\qquad t^{*}={\frac {t}{t_{0}}}\qquad x^{*}={\frac {x_{i}}{L_{0}}}\qquad T^{*}={\frac {T}{T_{0}}}

\rho ^{*}={\frac {\rho }{\rho _{0}}}\qquad {u_{i}}^{*}={\frac {u_{i}}{U_{0}}}\qquad p^{*}={\frac {p}{p_{0}}}\qquad t^{*}={\frac {t}{t_{0}}}\qquad x^{*}={\frac {x_{i}}{L_{0}}}\qquad T^{*}={\frac {T}{T_{0}}}

\rho ^{*}={\frac {\rho }{\rho _{0}}}\qquad {u_{i}}^{*}={\frac {u_{i}}{U_{0}}}\qquad p^{*}={\frac {p}{p_{0}}}\qquad t^{*}={\frac {t}{t_{0}}}\qquad x^{*}={\frac {x_{i}}{L_{0}}}\qquad T^{*}={\frac {T}{T_{0}}}

L'equazione di conservazione della massa

L'equazione di conservazione della massa scritta nella forma:

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0

può essere resa adimensionale esprimendola nella forma:

\mathrm {St} \;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}+({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*})\rho ^{*}+\rho ^{*}{\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}=0

\mathrm {St} \;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}+({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*})\rho ^{*}+\rho ^{*}{\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}=0

{\mathrm {St}}\;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}+({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*})\rho ^{*}+\rho ^{*}{\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}=0

dove con il simbolo St si è indicato il gruppo adimensionale, detto numero di Strouhal :

$\mathrm {St} ={\frac {L_{0}}{U_{0}\;t_{0}}}$ $\mathrm {St} ={\frac {L_{0}}{U_{0}\;t_{0}}}$ ${\mathrm {St}}={\frac {L_{0}}{U_{0}\;t_{0}}}$ .

Le equazioni di conservazione della quantità di moto

Le equazioni di conservazione della quantità di moto possono essere adimensionalizzate nella forma:

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial {\vec {u}}^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right){\vec {u}}^{*}=-{\frac {1}{\mathrm {Ru} }}{\vec {\nabla }}^{*}p^{*}-{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\rho ^{*}{\vec {k}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}{\vec {u}}^{*}+{\frac {1}{3\,\mathrm {Re} }}{\vec {\nabla }}^{*}\left({\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}\right)

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial {\vec {u}}^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right){\vec {u}}^{*}=-{\frac {1}{\mathrm {Ru} }}{\vec {\nabla }}^{*}p^{*}-{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\rho ^{*}{\vec {k}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}{\vec {u}}^{*}+{\frac {1}{3\,\mathrm {Re} }}{\vec {\nabla }}^{*}\left({\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}\right)

{\mathrm {St}}\left(\rho ^{*}{\frac {\partial {\vec {u}}^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right){\vec {u}}^{*}=-{\frac {1}{{\mathrm {Ru}}}}{\vec {\nabla }}^{*}p^{*}-{\frac {1}{{\mathrm {Fr}}^{2}}}\rho ^{*}{\vec k}+{\frac {1}{{\mathrm {Re}}}}{\nabla ^{*}}^{2}{\vec {u}}^{*}+{\frac {1}{3\,{\mathrm {Re}}}}{\vec {\nabla }}^{*}\left({\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}\right)

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

$\mathrm {Re} ={\frac {U_{0}\,L_{0}}{\nu }}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}\,L_{0}}{\mu }}$ $\mathrm {Re} ={\frac {U_{0}\,L_{0}}{\nu }}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}\,L_{0}}{\mu }}$ ${\mathrm {Re}}={\frac {U_{0}\,L_{0}}{\nu }}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}\,L_{0}}{\mu }}$ numero di Reynolds ;
$\mathrm {Fr} ={\sqrt {\frac {U_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}$ $\mathrm {Fr} ={\sqrt {\frac {U_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}$ ${\mathrm {Fr}}={\sqrt {{\frac {U_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}}$ numero di Froude ;
$\mathrm {Ru} ={\frac {\rho _{0}\,U_{0}^{2}}{p_{0}}}$ $\mathrm {Ru} ={\frac {\rho _{0}\,U_{0}^{2}}{p_{0}}}$ ${\mathrm {Ru}}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}^{2}}{p_{0}}}$ numero di Ruark , inverso del numero di Eulero .

Nel caso in cui la viscosità dinamica $\mu$ $\mu$ $\mu$ non sia costante, si troverà un valore di riferimento $\mu _{0}$ $\mu _{0}$ $\mu _{0}$ e si utilizzerà all'interno dell'equazione il valore adimensionale $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ .

L'equazione di conservazione dell'energia termica

L'equazione di conservazione dell'energia termica, dato che quella dell'energia meccanica condurrebbe a gruppi adimensionali già visti per le equazioni della quantità di moto, viene espressa in funzione di termini adimensionali:

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)T^{*}=\mathrm {St} \,{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\,{\frac {\partial p^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)p^{*}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Re} }}\Phi ^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}T^{*}+{\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}\rho ^{*}{\dot {q}}^{*}

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)T^{*}=\mathrm {St} \,{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\,{\frac {\partial p^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)p^{*}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Re} }}\Phi ^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}T^{*}+{\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}\rho ^{*}{\dot {q}}^{*}

{\mathrm {St}}\left(\rho ^{*}{\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)T^{*}={\mathrm {St}}\,{\frac {{\mathrm {Ec}}}{{\mathrm {Ru}}}}\,{\frac {\partial p^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {{\mathrm {Ec}}}{{\mathrm {Ru}}}}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)p^{*}+{\frac {{\mathrm {Ec}}}{{\mathrm {Re}}}}\Phi ^{*}+{\frac {1}{{\mathrm {Pr}}\,{\mathrm {Re}}}}{\nabla ^{*}}^{2}T^{*}+{\frac {{\mathrm {Nu}}}{{\mathrm {Pr}}\,{\mathrm {Re}}}}\rho ^{*}{\dot {q}}^{*}

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

$\mathrm {Ec} ={\frac {U_{0}^{2}}{c_{p}\,T_{0}}}$ $\mathrm {Ec} ={\frac {U_{0}^{2}}{c_{p}\,T_{0}}}$ $\mathrm{Ec} = \frac{U_0^2}{c_p \, T_0}$ numero di Eckert ;
$\mathrm {Pr} ={\frac {\mu \,c_{p}}{K}}={\frac {\nu }{\alpha }}$ $\mathrm {Pr} ={\frac {\mu \,c_{p}}{K}}={\frac {\nu }{\alpha }}$ $\mathrm{Pr} = \frac{\mu \, c_p}{K} = \frac{\nu}{\alpha}$ numero di Prandtl , dove con ${\alpha }={\frac {K}{\rho \,c_{p}}}$ ${\alpha }={\frac {K}{\rho \,c_{p}}}$ ${\alpha} = \frac{K}{\rho \, c_p}$ si è indicato il coefficiente di diffusività termica ;
$\mathrm {Nu} =-{\frac {\lambda \,L_{0}}{K}}$ $\mathrm {Nu} =-{\frac {\lambda \,L_{0}}{K}}$ ${\mathrm {Nu}}=-{\frac {\lambda \,L_{0}}{K}}$ numero di Nusselt , dove con $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ si è indicato il coefficiente di scambio termico .

Equazioni di Eulero

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Eulero .

Relazioni di salto

Discontinuità di contatto

Onda d'urto

Lo stesso argomento in dettaglio: Onda d'urto (fluidodinamica) .

Bibliografia

( EN ) R. Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena , 2ª ed., New York, Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4 .
Quartapelle, Auteri, Fluidodinamica incomprimibile.
Quartapelle, Auteri, Fluidodinamica comprimibile.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Equazioni di Navier-Stokes , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 20867 · LCCN ( EN ) sh85090420 · GND ( DE ) 4041456-5 · BNF ( FR ) cb11932601z (data) · BNE ( ES ) XX4812802 (data)

Portale Aviazione

Portale Fisica

Portale Ingegneria

V · D · M Meccanica classica e meccanica del continuo
Grandezze intensive	Densità · Velocità macroscopica · Campo medio · Tensione interna · Temperatura · Deformazione · Densità termica
Grandezze estensive	Massa · Portata · Quantità di moto · Forza esterna · Energia interna · Calore · Dissipazione · Lavoro termodinamico
Bilanci	Conservazione della massa · Bilancio della quantità di moto · Bilancio di energia interna
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano