Numărul lui Reynolds

Numărul Reynolds (prescurtat în Re ) este un număr adimensional utilizat în dinamica fluidelor , proporțional cu raportul dintre forțele de inerție și forțele vâscoase .

Își ia numele de la Osborne Reynolds , care l-a introdus în 1883 efectuând pentru prima dată într-un mod sistematic experimente asupra fluxului din interiorul tuburilor cu o secțiune circulară transparentă cu o axă dreaptă în care un flux circula la un debit constant, în care, prin intermediul unui ac, s-a injectat un colorant pentru a evidenția regimul de curgere.

Definiție

În cel mai general caz, numărul Reynolds poate fi definit ca: ^[1]

\mathrm {Re} ={uL \over \nu }={\rho uL \over \mu }

{\ displaystyle \ mathrm {Re} = {uL \ over \ nu} = {\ rho uL \ over \ mu}}

{\ displaystyle \ mathrm {Re} = {uL \ over \ nu} = {\ rho uL \ over \ mu}}

unde este:

u este debitul local (m / s);
L este o lungime caracteristică a fenomenului luat în considerare (de exemplu, în cazul mișcării unui fluid într-o conductă, aceasta corespunde cu diametrul conductei, în timp ce în cazul unei foi aeriene corespunde lungimii coardei ) ( m);
$ν$ {\ displaystyle \ nu} $\ nu$ este difuzivitatea cinematică (m ² / s) egală cu raportul dintre:
- μ: vâscozitatea dinamică (Pa so N s / m ² sau kg / (m s)), e
- ρ: densitatea (sau densitatea) (kg / m ³ )

Aplicarea la ecuațiile Navier

Același subiect în detaliu: ecuațiile Navier-Stokes .

Numărul Reynolds poate fi explicat în ecuațiile Navier , plasându-le într-una dintre cele mai cunoscute forme adimensionale, așa cum este ilustrat mai jos. Poate fi găsit și în cele mai simple ecuații Stokes pentru fluxul vâscos . Acestea pot fi obținute din ecuația originală (considerând pentru simplitate o accelerație externă generică a volumului g )

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g}

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} + \ rho \ mathbf {g}}

\ rho \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ partial t} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {v} \ right) = - \ nabla p + \ mu \ nabla ^ 2 \ mathbf {v} + \ rho \ mathbf {g}

făcând substituții simple care fac ca termenii care apar în acesta să fie adimensionali, și anume:

{\vec {v}}'={\frac {\vec {v}}{U}},p'={\frac {p}{\rho U^{2}}},x'={\frac {x}{L}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} '= {\ frac {\ vec {v}} {U}}, p' = {\ frac {p} {\ rho U ^ {2}}}, x '= {\ frac {x} {L}}}

\ vec v '= \ frac {\ vec v} {U}, p' = \ frac {p} {\ rho U ^ 2}, x '= \ frac {x} {L}

unde U și L corespund celor definite anterior, obținem pentru operatori

{\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {L}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t '}} = {\ frac {L} {U}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}

\ frac {\ partial} {\ partial t '} = \ frac {L} {U} \ frac {\ partial} {\ partial t}

Și

\nabla '=L\nabla

{\ displaystyle \ nabla '= L \ nabla}

\ nabla '= L \ nabla

deci ecuația devine:

\rho {\frac {U^{2}}{L}}\left({\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} \right)=-{\frac {\rho U^{2}}{L}}\nabla 'p'+\mu {\frac {U}{L^{2}}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\rho \mathbf {g}

{\ displaystyle \ rho {\ frac {U ^ {2}} {L}} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {v '}} {\ partial t'}} + \ mathbf {v '} \ cdot \ nabla '\ mathbf {v'} \ right) = - {\ frac {\ rho U ^ {2}} {L}} \ nabla 'p' + \ mu {\ frac {U} {L ^ {2 }}} \ nabla '^ {2} \ mathbf {v'} + \ rho \ mathbf {g}}

\ rho \ frac {U ^ 2} {L} \ left (\ frac {\ partial \ mathbf {v '}} {\ partial t'} + \ mathbf {v '} \ cdot \ nabla' \ mathbf {v ' } \ right) = - \ frac {\ rho U ^ 2} {L} \ nabla 'p' + \ mu \ frac {U} {L ^ 2} \ nabla '^ 2 \ mathbf {v'} + \ rho \ mathbf {g}

Înmulțind întreaga ecuație cu ${\frac {L}{\rho U^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L} {\ rho U ^ {2}}}}$ $\ frac {L} {\ rho U ^ 2}$ și definitorii $\mathbf {g'} =\mathbf {g} {\frac {L}{U^{2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g '} = \ mathbf {g} {\ frac {L} {U ^ {2}}}}$ $\ mathbf {g '} = \ mathbf {g} \ frac {L} {U ^ 2}$ primesti:

{\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {\mu }{\rho LU}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {g'}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {v '}} {\ partial t'}} + \ mathbf {v '} \ cdot \ nabla' \ mathbf {v '} = - \ nabla' p '+ { \ frac {\ mu} {\ rho LU}} \ nabla '^ {2} \ mathbf {v'} + \ mathbf {g '}}

\ frac {\ partial \ mathbf {v '}} {\ partial t'} + \ mathbf {v '} \ cdot \ nabla' \ mathbf {v '} = - \ nabla' p '+ \ frac {\ mu} {\ rho LU} \ nabla '^ 2 \ mathbf {v'} + \ mathbf {g '}

Deci ecuația poate fi scrisă:

{\frac {\partial \mathbf {v'} }{\partial t'}}+\mathbf {v'} \cdot \nabla '\mathbf {v'} =-\nabla 'p'+{\frac {1}{Re}}\nabla '^{2}\mathbf {v'} +\mathbf {g'}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {v '}} {\ partial t'}} + \ mathbf {v '} \ cdot \ nabla' \ mathbf {v '} = - \ nabla' p '+ { \ frac {1} {Re}} \ nabla '^ {2} \ mathbf {v'} + \ mathbf {g '}}

\ frac {\ partial \ mathbf {v '}} {\ partial t'} + \ mathbf {v '} \ cdot \ nabla' \ mathbf {v '} = - \ nabla' p '+ \ frac {1} { Re} \ nabla '^ 2 \ mathbf {v'} + \ mathbf {g '}

Interpretarea fizică

Numărul Reynolds reprezintă fizic raportul dintre inerția și forțele vâscoase care acționează asupra unei particule de fluid care se mișcă cu viteza U în același fluid:

\mathrm {Re} =F_{i}/F_{\nu }

{\ displaystyle \ mathrm {Re} = F_ {i} / F _ {\ nu}}

\ mathrm {Re} = F_i / F_ ​​\ nu

De fapt, forța inerțială este:

F_{i}=m\,a\simeq \rho SL\,{\frac {L}{t^{2}}}

{\ displaystyle F_ {i} = m \, a \ simeq \ rho SL \, {\ frac {L} {t ^ {2}}}}

F_i = m \, a \ simeq \ rho S L \, \ frac {L} {t ^ 2}

cel de viscoză în schimb:

F_{\nu }={\frac {\mu S\Delta U}{\Delta L}}\simeq {\frac {\mu SL}{(Lt)}}

{\ displaystyle F _ {\ nu} = {\ frac {\ mu S \ Delta U} {\ Delta L}} \ simeq {\ frac {\ mu SL} {(Lt)}}}

F_ \ nu = \ frac {\ mu S \ Delta U} {\ Delta L} \ simeq \ frac {\ mu S L} {(Lt)}

relația dintre cele două forțe dă expresia generală a numărului Reynolds:

Re=\rho L\,{\frac {L}{t}}\,{\frac {1}{\mu }}={\frac {\rho LU}{\mu }}

{\ displaystyle Re = \ rho L \, {\ frac {L} {t}} \, {\ frac {1} {\ mu}} = {\ frac {\ rho LU} {\ mu}}}

Re = \ rho L \, \ frac {L} {t} \, \ frac {1} {\ mu} = \ frac {\ rho L U} {\ mu}

Numărul Reynolds critic este definit ca valoarea numărului Reynolds la care are loc tranziția de la regimul laminar la regimul de tranziție. ^[2]

Aplicații

Numărul Reynolds ne permite să evaluăm dacă fluxul unui fluid se află într-un regim laminar (în care există valori mai mici decât numărul Reynolds) sau într-un regim turbulent (în care există valori mai mari ale parametrului). Această tranziție între condițiile laminare și turbulente poate fi prezisă prin exploatarea diagramei Moody , cu care coeficientul de frecare vâscos poate fi calculat pornind de la valorile numărului Reynolds și rugozitatea relativă .

Valorile numărului Reynolds trebuie considerate „scăzute” sau „ridicate” în raport cu un sistem specific, în care sunt fixate:

geometria corpului lovit de flux;
natura fluidului;
condițiile de funcționare ( temperatura și presiunea ) în care are loc experiența.

Dependența de geometria sistemului

Având în vedere un anumit fluid la condiții fixe de temperatură și presiune (menținând astfel densitatea și vâscozitatea constante în expresia numărului Reynolds), valorile limită obținute în experiența Reynolds sunt valabile numai pentru geometria specifică luată în considerare, în care fluid se face să treacă pe suprafața exterioară a unui tub cilindric cu ax drept, într-o direcție perpendiculară pe axa tubului.

În special, valoarea numărului Reynolds care separă regimul laminar și turbulent depinde de forma corpului (sau a setului de corpuri) în corespondență cu care trece fluidul și de orientarea corpului în raport cu fluxul (cu excepția corpurilor sferice, fiind simetrice în toate direcțiile).

Deci, dacă luăm în considerare, de exemplu, cazul unui fluid care trece pe suprafața externă a unei sfere, a unui tub, a unui cub sau a unui set de tuburi, vom avea pentru fiecare caz un număr Reynolds diferit la care are loc tranziția laminară / turbulentă .

Următorul tabel colectează câteva valori limită ale numărului Reynolds pentru diferite geometrii: ^[3]

Geometrie	Regimul laminar	Regim tranzitoriu	Regim turbulent
Curge în jurul unei plăci plate, într-o direcție paralelă cu axa lamelei	Re <	<Re <	Re>
Curge în jurul unui cilindru, perpendicular pe axa cilindrului ^[4]	Re <	Regele ≅	Re>
Curge în jurul unei sfere	Re <	Regele ≅	Re>
Curge în interiorul unui tub cilindric	Re <2300	2300 <Re <4000	Re> 4000

Curge într-un tub circular

În cazul unui fluid în interiorul unui tub având o secțiune circulară ^[5] :

după valori $\mathrm {Re} \leq 2\,000$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ leq 2 \, 000}$ $\ mathrm {Re} \ le 2 \, 000$ există flux laminar ;
după valori $2\,000\leq \mathrm {Re} \leq 4\,000$ ${\ displaystyle 2 \, 000 \ leq \ mathrm {Re} \ leq 4 \, 000}$ $2 \, 000 \ le \ mathrm {Re} \ le 4 \, 000$ treci prin regimul de tranziție ;
după valori $\mathrm {Re} \geq 4\,000$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} \ geq 4 \, 000}$ $\ mathrm {Re} \ ge 4 \, 000$ se produce un flux turbulent .

Dependența de viteza fluidului

După ce a stabilit geometria sistemului, compoziția fluidului, temperatura și presiunea, numărul Reynolds depinde în mod direct de viteza fluidului; prin urmare, un fluid într-un regim laminar are o viteză mai mică decât același fluid într-un regim turbulent sau, cu alte cuvinte, tranziția între regimul laminar și regimul turbulent are loc prin creșterea vitezei fluidului.

De exemplu, în cazul unui fluid care curge în interiorul unei țevi, trecerea la regim turbulent poate fi obținută prin creșterea numărului de rotații ale unei pompe poziționate în amonte de conductă.

Notă

^(EN) scienceworld.wolfram.com, Reynolds Number
^ http://pcque.unica.it/dispense/Appunti%20Laboratorio.pdf
^ Copie arhivată ( PDF ), pe diiar.polimi.it . Adus la 29 octombrie 2010 (arhivat din original la 29 decembrie 2009) .
^ Reprezentarea sistemului în regim laminar: cu roșu este indicată secțiunea cilindrului, în jurul căreia curge fluidul, reprezentat de unele dintre liniile sale de curgere (în albastru).
^ Focardi, Sergio., Fizică generală: mecanică și termodinamică , 2. ed., CEA, 2014, ISBN 9788808182159 ,OCLC 883543794 .

Bibliografie

( EN ) R. Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena , ediția a doua, New York, Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4 .
( EN ) Frank P. Incropera, David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer , ed. A VI-a, Wiley, 2006, ISBN 0-471-45728-0 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe numărul Reynolds

linkuri externe

( EN ) Numărul lui Reynolds , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85113557 · GND (DE) 4177959-9

Portalul aviației	Portal de inginerie
Portal mecanic	Portal de metrologie

[1] (EN) scienceworld.wolfram.com, Reynolds Number

[2] ttp://pcque.unica.it/dispense/Appunti%20Laboratorio.pdf

[3] Copie arhivată ( PDF ), pe diiar.polimi.it . Adus la 29 octombrie 2010 (arhivat din original la 29 decembrie 2009) .

[4] Reprezentarea sistemului în regim laminar: cu roșu este indicată secțiunea cilindrului, în jurul căreia curge fluidul, reprezentat de unele dintre liniile sale de curgere (în albastru).

[5] Focardi, Sergio., Fizică generală: mecanică și termodinamică , 2. ed., CEA, 2014, ISBN 9788808182159 ,OCLC 883543794 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]