Probleme pentru mileniu
Problemele Premiului Mileniului ( Problemele Mileniului) sunt șapte probleme pe care matematicienii (dintre care unul le-a rezolvat acum) au fost aduse în atenția matematicienilor de la Institutul matematic de lut .
Descriere
Imitând problemele lui Hilbert , institutul a enumerat 7 probleme nerezolvate în matematică . Spre deosebire de precedentele, totuși, a fost acordat un premiu de un milion de dolari pentru fiecare dintre care este demonstrat. Premiile au fost stabilite în timpul Conferinței Millennium de la Paris, pe 24 mai 2000 . Singura dintre aceste probleme care a fost rezolvată este conjectura lui Poincaré , a rusului Grigori Perelman . Perelman a refuzat atât medalia Fields [1], cât și premiul Clay. [2] O altă diferență mult mai profundă este că, în timp ce problemele lui Hilbert priveau domeniile aflate în fruntea matematicii, cele șapte probleme ale mileniului sunt foarte tradiționale : există doar 2 dintre problemele originale ale lui Hilbert rămase fără nici măcar un răspuns. Parțial până în prezent ( 2012 ), dintre care cea mai importantă este ipoteza Riemann , chiar dacă o soluție propusă este examinată de comunitate. Toate problemele mileniului au implicații economice profunde, de la securitatea bancară la tranzacțiile pe internet, până la aplicabilitatea directă în rezolvarea problemelor tehnologice urgente: de exemplu, dacă conjectura Birch și Swinnerton-Dyer s-ar dovedi adevărată, ar fi posibil să se rupă criptarea bazat pe funcții eliptice în timp polinomial și nu exponențial .
Lista problemelor
P versus NP
Problema P versus NP se referă la acele probleme de calcul care admit un răspuns binar (da sau nu): pentru fiecare intrare problema cere să decidă dacă o proprietate este adevărată sau nu. Un exemplu este să decidem dacă sunt conectate două noduri ale unei rețele, altul este să decidem dacă există o soluție care să satisfacă un set de ecuații. Trebuie remarcat faptul că algoritmul este necesar doar pentru a răspunde corect, nu pentru a oferi soluția.
O problemă este în clasa P dacă există un algoritm care o rezolvă folosind un număr de operații polinomiale în lungimea intrării. O problemă este în NP dacă există un algoritm care „verifică” corectitudinea unei soluții folosind un număr de operații polinomiale în lungimea intrării (și, prin urmare, lungimea soluției trebuie să fie polinomială în cea a intrării). Luați, de exemplu, un puzzle: este posibil să nu puteți pune piesele împreună, dar odată ce cineva oferă o posibilă soluție, este foarte ușor să verificați dacă este corect sau nu.
Problema determinării dacă P este egal cu NP sau nu este în esență aceea de a înțelege dacă există probleme de calcul pentru care este posibil să „verifice” o soluție în timp polinomial, dar nu este posibil să „decidem”, întotdeauna în timp polinomial , dacă această soluție există. Aceasta este o întrebare foarte importantă pentru informatica teoretică . Consultați teoria complexității de calcul pentru o discuție mai completă.
Conjectura lui Hodge
Conjectura lui Hodge se referă la spații proiective și varietăți algebrice . Ciclurile Hodge sunt combinații raționale liniare de cicluri algebrice .
Conjectura Poincaré - Verificată și considerată a fi rezolvată în 2002
În topologie , suprafața sferică bidimensională se caracterizează prin faptul că este pur și simplu conectată . Conjectura lui Poincaré spune că sfera este singura suprafață care este conectată pur și simplu chiar dacă o aduceți la n-dimensiuni cu n un număr pozitiv mai mare de 0. Această problemă a fost rezolvată pentru toate dimensiunile mai mari de 3, rezolvați-o pentru dimensiunea 3 este crucială pentru dovedirea conjecturii. Proiectul soluției lui Grigorij Jakovlevič Perel'man a fost acceptat în 2002, ceea ce a condus doi cercetători chinezi, Zhu Xiping și Cao Huaidong, la soluția explicită. Perel'man a primit atât Medalia Fields [3], cât și Premiul Clay de 1.000.000 de dolari, dar a refuzat ambele și s-a retras în viața privată, trăind aparent cu mama sa, la periferia Sankt-Petersburgului . [1]
Ipoteza Riemann
În teoria analitică a numerelor , „ipoteza Riemann sau conjectura Riemann este o presupunere asupra distribuției zerourilor care nu este trivială funcția Riemann zeta ζ (s) . Importanța sa derivă din consecințele pe care le are asupra distribuției numerelor prime . Această ipoteză a fost testată cu computerele pentru un miliard și jumătate de numere prime, dar verificarea sa definitivă printr-o teoremă ar avea repercusiuni profunde atât în matematica pură, cât și în aplicațiile de criptologie .
Teoria Yang-Mills și decalajul de masă
În fizică, teoria cuantică Yang-Mills descrie ruperea simetriei fazelor primordiale ale universului. Această teorie a marcat o ruptură totală cu vechile teorii și este în prezent o piatră de temelie a modelului standard . Problema este de a demonstra riguros că:
- teoria există prin satisfacerea unor tipuri de axiome fundamentale (de exemplu , axiomele lui Wightman )
- masa celei mai ușoare particule este mai mare de 0 (problema decalajului de masă ).
Ecuațiile Navier-Stokes descriu comportamentul fluidelor , adică lichide și gaze. Chiar dacă au fost formulate în secolul al XIX-lea , nu s-a stabilit niciodată dacă problema matematică pe care o descriu este bine pusă și nu s-a stabilit niciodată o soluție analitică în formă închisă, cu excepția unor cazuri particulare. Problema este de a dezvolta o teorie matematică care să le permită să fie înțelese și analizate. Această teorie ar fi foarte utilă pentru studiile de dinamică a fluidelor .
Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer
Conjectura Birch și Swinnerton-Dyer se referă la un anumit tip de curbe, curbe eliptice peste numere raționale . Această presupunere este strâns legată de problema dacă există o modalitate ușoară de a determina dacă astfel de ecuații au un număr finit sau infinit de soluții raționale. A zecea problemă a lui Hilbert a fost similară, dar a tratat ecuațiile diofantine și s-a demonstrat că nu se poate decide dacă există sau nu o soluție.
Notă
- ^ A b (EN) Faceți cunoștință cu cel mai inteligent om din lume (care va spune nu unui premiu de 1 milion de dolari) , în The Guardian, 16 august 2006.
- ^ Geniul matematic refuză un premiu de 1 milion , pe lastampa.it . Adus la 28 decembrie 2010 .
- ^(EN) Fields Medal to Perelman
Bibliografie
- Keith Devlin , The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time , Basic Books , octombrie 2002, ISBN 0-465-01729-0 .
- Keith Devlin , Problemele Mileniului. Cele șapte puzzle-uri matematice nerezolvate din timpul nostru , Longanesi, octombrie 2004, ISBN 978-88-304-2056-4 (arhivat din original la 22 mai 2013) .
Elemente conexe
linkuri externe
- (EN) Premiul pentru acasă pe claymath.org.
