Funcția eliptică

În matematică și în special în analiza complexă , prin funcție eliptică se înțelege o funcție definită pe planul complex care este periodică în două direcții. Funcțiile eliptice pot fi considerate ca o generalizare a funcțiilor trigonometrice ca funcții periodice cu o singură perioadă. Funcțiile istorice eliptice au fost descoperite ca funcții inverse ale integralelor eliptice care, la rândul lor, au fost studiate în legătură cu problema lungimii arcului elipsei (de unde și numele lor).

Caracteristici

În mod formal, o funcție eliptică este o funcție meromorfă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ unde există două numere complexe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât:

a\neq 0,b\neq 0

{\ displaystyle a \ neq 0, b \ neq 0}

{\ displaystyle a \ neq 0, b \ neq 0}

f(z+a)=f(z+b)=f(z)

{\ displaystyle f (z + a) = f (z + b) = f (z)}

{\ displaystyle f (z + a) = f (z + b) = f (z)}

pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ și astfel încât ${\frac {a}{b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ frac {a} {b}}$ nu este un real . Din aceasta rezultă că

f(z+ma+nb)=f(z)

{\ displaystyle f (z + ma + nb) = f (z)}

{\ displaystyle f (z + ma + nb) = f (z)}

pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ și pentru fiecare $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întreg .

Matematicienii moderni, în dezvoltarea teoriei funcțiilor eliptice, îl urmăresc în cea mai mare parte pe Karl Weierstrass : notația Weierstrass a funcțiilor eliptice pe baza lui $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ -funcția este convenabilă și orice funcție eliptică poate fi exprimată în acești termeni. Weierstrass a devenit interesat de astfel de funcții în timp ce era student al lui Christoph Gudermann , el însuși student al lui Carl Friedrich Gauss . Funcțiile eliptice introduse de Carl Jacobi și funcția theta auxiliară (care nu este dublu periodică), sunt mai complexe, dar importante atât pentru istoria matematicii, cât și pentru teoria generală. Principala diferență dintre aceste două teorii este că funcțiile Weierstrass au poli de ordin mai mare localizați la colțurile rețelei periodice, în timp ce funcția Jacobi are poli simpli. Dezvoltarea teoriei Weierstrass este mai ușor de dovedit și de înțeles, deoarece există mai puține complicații.

Mai general, studiul funcțiilor eliptice este strâns legat de studiul funcțiilor modulare și a formelor modulare : exemple de astfel de funcții includ funcția j-invariantă , seria Eisenstein și funcția eta a lui Dedekind .

Definiție și proprietăți

Orice număr complex $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ astfel încât

f(z+\omega )=f(z)

{\ displaystyle f (z + \ omega) = f (z)}

{\ displaystyle f (z + \ omega) = f (z)}

pentru fiecare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ se numește o perioadă de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Dacă cele două perioade $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt astfel încât orice altă perioadă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ poate fi scris ca $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ - combinație liniară de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , acesta este $\omega =ma+nb$ ${\ displaystyle \ omega = ma + nb}$ ${\ displaystyle \ omega = ma + nb}$ cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întreg , atunci $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numite o pereche de perioade fundamentale . Fiecare funcție eliptică are o pereche de perioade fundamentale, dar acea pereche nu este unică, așa cum este descris mai jos.

De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt perioade fundamentale care descriu o rețea , atunci același rețea poate fi obținut din perioadele fundamentale ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ Și $b^{'}$ ${\ displaystyle b '}$ ${\ displaystyle b '}$ , unde este $a'=pa+qb$ ${\ displaystyle a '= pa + qb}$ ${\ displaystyle a '= pa + qb}$ Și $b'=ra+sb$ ${\ displaystyle b '= ra + sb}$ ${\ displaystyle b '= ra + sb}$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ sunt numere întregi care satisfac relația $ps-qr=1$ ${\ displaystyle ps-qr = 1}$ ${\ displaystyle ps-qr = 1}$ . Ca și cum ar spune, matricea ${\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p & q \\ r & s \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p & q \\ r & s \ end {pmatrix}}}$ are determinant $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și, prin urmare, aparține grupului modular . Cu alte cuvinte, dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt perioade fundamentale ale unei funcții eliptice, atunci sunt și ele ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ Și $b^{'}$ ${\ displaystyle b '}$ ${\ displaystyle b '}$ .

De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt perioade fundamentale, apoi orice paralelogram cu vârfuri $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , $z+a$ ${\ displaystyle z + a}$ ${\ displaystyle z + a}$ , $z+b$ ${\ displaystyle z + b}$ ${\ displaystyle z + b}$ , $z+a+b$ ${\ displaystyle z + a + b}$ ${\ displaystyle z + a + b}$ se numește paralelogram fundamental . Traducerea acestui paralelogram prin multipli întregi ai $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ produce o copie a paralelogramului și a funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se comportă identic în toate aceste copii, datorită periodicității.

Numărul de poli ai fiecărui paralelogram fundamental este finit (și este același pentru fiecare paralelogram fundamental). Dacă funcția eliptică nu este funcția constantă, fiecare paralelogram fundamental are cel puțin un pol, ca o consecință a teoremei lui Liouville .

Suma ordinelor polilor fiecărui paralelogram fundamental se numește ordinea funcției eliptice . Suma reziduurilor polilor este egală cu zero, deci în special nicio funcție eliptică nu poate avea ordinea unu.

Numărul de zerouri (numărate cu multiplicități) din fiecare paralelogram fundamental este egal cu ordinea funcției eliptice.

Derivata unei funcții eliptice este încă o funcție eliptică, cu aceleași perioade. Setul de funcții eliptice cu aceleași perioade fundamentale formează un câmp .

Funcția eliptică Weierstrass $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ este prototipul unei funcții eliptice și, de fapt, câmpul funcțiilor eliptice în raport cu o rețea dată este generat de $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ și derivatul său $\wp '$ ${\ displaystyle \ wp '}$ ${\ displaystyle \ wp '}$ .

Bibliografie

( EN ) ET Whittaker, GN Watson (1952): Un curs de analiză modernă , Cambridge University Press
(EN) Albert Eagle (1958): Funcțiile eliptice așa cum ar trebui să fie, Galloway și Porter, Cambridge, Anglia
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover. (Vezi Capitolul 16.)
( EN ) Tom M. Apostol (1976): Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor , Springer, ISBN 0-387-97127-0 . (Vezi capitolul 1.)
( EN ) Naum Illyich Akhiezer (1990): Elements of Theory of Elliptic Functions , AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 , AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2 . Traducere în limba engleză a textului rusesc publicată la Moscova în 1970.
(EN) Shanje Zhang, Janming Jin (1996): Calculul funcțiilor speciale, J.Wiley (capitolul 18).

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcțiile eliptice

linkuri externe

( EN ) Funcția eliptică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Istoria funcțiilor eliptice și abeliene de la origine până în prima jumătate a secolului trecut ( Universitatea din Ferrara )
( EN ) Elliptic Functions (scurtă istorie a teoriei funcțiilor eliptice de la Euler la Weierstrass cu bibliografie; Universitatea Kyoto )

Controlul autorității	Tezaur BNCF 33734 · LCCN (EN) sh85052336 · BNF (FR) cb13319234b (data) · NDL (EN, JA) 00.561.186

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică