Funcții eliptice Weierstrass
În matematică , funcțiile eliptice Weierstrass constituie unul dintre cele două tipuri exemplare de funcții eliptice (cealaltă fiind constituită din funcțiile eliptice ale lui Jacobi ). Ele poartă numele matematicianului german Karl Weierstrass (1815-1897).
Definiții
Ca funcție eliptică Weierstrass putem defini trei funcții strâns legate, fiecare dintre acestea având anumite avantaje. Acestea sunt trei funcții cu liste diferite de argumente pentru care este utilizat același simbol, deoarece diferențele în argumente sunt destul de vizibile. Prima funcție ia ca argument o variabilă complexă și o rețea în planul complex. Al doilea are ca argumente și două numere complexe Și care constituie un dublet de generatoare, sau perioade, pentru zăbrele. Al treilea are ca argumente și o formă , element al jumătății superioare a planului . Acest parametru se leagă de argumentele celei de-a doua funcții cu relația , dacă se presupune că cele două perioade aparțin jumătății superioare a planului. Funcțiile celui de-al treilea tip, prin setarea unei valori pentru , devin funcțiile modulare ale .
Ca o funcție având ca argumente cele două puncte Și , funcția eliptică Weierstrass este definită ca:
Rețeaua periodică este apoi definită și funcția Weierstrass a unei variabile complexe și rețeaua ca:
De sine denotă un număr complex generic al jumătății superioare a planului, stabilim:
Expresia anterioară este omogenă în grad iar acest lucru ne permite să definim funcția Weierstrass având ca argumente două perioade generice, precum:
poate fi calculat foarte rapid în ceea ce privește funcțiile theta ; deoarece acestea converg foarte repede, acesta este un mod mult mai rapid de calcul decât seria folosită pentru a o defini. Formula este:
unde este:
Există un pol de ordinul doi în fiecare punct de pe rețea (inclusiv originea). Cu aceste definiții, este o funcție uniformă și derivata sa în raport cu , , fotografii.
Ecuație diferențială
Cu această notație, funcția satisface următoarea ecuație diferențială :
în care dependența de Și .
Ecuația integrală
Funcțiile eliptice Weierstrass pot fi definite ca inversul unei integrale eliptice . Într-adevăr, fie el
unde, g 2 și g 3 sunt constante, atunci obținem
Acest lucru provine direct din integrarea ecuației diferențiale.
Bibliografie
- E. Pascal (1896): Teoria funcțiilor eliptice , U. Hoepli, capitolele 3, 4
- L. Bianchi (1901): Prelegeri despre teoria funcțiilor variabile complexe și a funcțiilor eliptice E. Spoerri capitolul 9
- ( EN ) ET Whittaker , GN Watson (1952): Un curs de analiză modernă , Cambridge University Press , capitolele 20, 21
- ( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover (Vezi capitolul 18 )
- ( EN ) Serge Lang (1973): Elliptic Functions , Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
- ( EN ) Tom M. Apostol (1976): Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor , Springer, ISBN 0-387-97127-0 (a se vedea capitolul 1)
- ( EN ) K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
- ( EN ) Tom M. Apostol , Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Ediția a doua (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (Vezi capitolul 1)
- ( EN ) Naum Illyich Akhiezer (1990): Elements of Theory of Elliptic Functions , AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 , AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2 . Traducere în limba engleză a textului rusesc publicată la Moscova în 1970.
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcțiile eliptice Weierstrass
linkuri externe
- ( EN ) ED Solomentsev, Weierstrass elliptic functions , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.