Funcțiile eliptice ale lui Jacobi

În matematică , funcțiile eliptice ale lui Jacobi alcătuiesc o familie de funcții eliptice de bază care au fost introduse de matematicianul german Carl Gustav Jakob Jacobi în jurul anului 1830 . Ei și funcțiile theta (acestea cu roluri auxiliare) au importanță istorică și prezintă multe caracteristici care contribuie la apariția unei structuri importante; în plus, au relevanță directă pentru unele aplicații, de exemplu pentru ecuațiile pendulului . Au, de asemenea, analogii utile cu funcții trigonometrice , așa cum rezultă din alegerea notării sn pentru o funcție care poate fi asociată cu funcția sin . Astăzi știm că funcțiile eliptice Jacobi nu sunt cele mai simple instrumente pentru dezvoltarea unei teorii generale, așa cum se vede și în articolul curent: cele mai bune instrumente sunt funcțiile eliptice Weierstrass . Cu toate acestea, funcțiile lui Jacobi prezintă diverse motive de interes.

Introducere

Construcția dreptunghiului auxiliar

Există douăsprezece funcții eliptice iacobiene. Fiecare dintre acestea corespunde unei săgeți trase dintr-un colț în altul din același dreptunghi. Colțurile dreptunghiului se numesc, prin convenție, s, c, d, n. Dreptunghiul se înțelege că se află pe planul complex , cu s în origine, c corespunde punctului K pe axa reală, d corespunde punctului K + iK ' și n este pe punctul iK' pe axa imaginară. Numerele K și K ' se numesc perioadele trimestriale . Cele douăsprezece funcții eliptice Jacobi sunt deci pq, unde p și q denotă una dintre literele s, c, d, n.

Funcțiile eliptice iacobiene sunt, prin urmare, singurele dublu periodice și sunt funcții meromorfe (a se vedea funcția meromorfă ) care îndeplinesc următoarele trei proprietăți:

au un zero simplu în vârful p și un pol simplu în vârful q.
distanța de la paq este egală cu jumătate din perioada funcției pq u ; cu alte cuvinte, funcția pq u este periodică în direcția pq, cu o perioadă de două ori distanța dintre p și q. Mai mult, pq u este, de asemenea, periodic în celelalte două direcții, cu o perioadă astfel încât distanța dintre p și unul dintre celelalte vârfuri este egală cu un sfert din perioadă.
dacă funcția pq u este dezvoltată față de u într-unul din vârfuri, primul termen al expansiunii are coeficientul 1. Cu alte cuvinte, primul termen al expansiunii lui pq u în vârful p este u ; primul termen al dezvoltării în vârful q este 1 / u și, în final, primul termen al dezvoltării în celelalte două vârfuri este 1.

Funcțiile eliptice iacobiene sunt, prin urmare, singurele funcții eliptice care satisfac proprietățile de mai sus.

Mai general, nu este necesar să se impună un dreptunghi; un paralelogram este suficient. Cu toate acestea, dacă K și iK ' sunt ținute respectiv pe axa reală și imaginară, atunci funcțiile eliptice Jacobi pq u iau valori reale atunci când u este real.

Definiție prin integrale eliptice

Graficul funcției Jacobi dn ( u ), cu parametrul m = √2

Funcțiile eliptice Jacobi pot fi definite într-un mod echivalent: ca inversul unei integrale eliptice incomplete de primul fel. Este:

u=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}

{\ displaystyle u = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ theta}}}

{\ displaystyle u = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ theta}}}

Apoi funcția eliptică $\operatorname {sn} \;u$ ${\ displaystyle \ operatorname {sn} \; u}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sn} \; u}$ este definit de:

\operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,

{\ displaystyle \ operatorname {sn} \; u = \ sin \ phi \,}

{\ displaystyle \ operatorname {sn} \; u = \ sin \ phi \,}

Și $\operatorname {cn} \;u$ ${\ displaystyle \ operatorname {cn} \; u}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cn} \; u}$ este definit de:

\operatorname {cn} \;u=\cos \phi

{\ displaystyle \ operatorname {cn} \; u = \ cos \ phi}

{\ displaystyle \ operatorname {cn} \; u = \ cos \ phi}

În plus:

\operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}

{\ displaystyle \ operatorname {dn} \; u = {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ phi}}}

{\ displaystyle \ operatorname {dn} \; u = {\ sqrt {1-m \ sin ^ {2} \ phi}}}

Coltul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ se numește amplitudine .

Definiție cu funcții theta

Funcțiile eliptice Jacobi pot fi definite și de funcțiile theta Jacobi . Scurtarea cu $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ functia $\vartheta (0;\tau )$ ${\ displaystyle \ vartheta (0; \ tau)}$ ${\ displaystyle \ vartheta (0; \ tau)}$ și, de asemenea, scrierea $\vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {01}, \ vartheta _ {10}, \ vartheta _ {11}}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {01}, \ vartheta _ {10}, \ vartheta _ {11}}$ in loc de $\vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (0; \ tau), \ vartheta _ {10} (0; \ tau), \ vartheta _ {11} (0; \ tau)}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (0; \ tau), \ vartheta _ {10} (0; \ tau), \ vartheta _ {11} (0; \ tau)}$ respectiv, modulul eliptic este:

k=\left({\vartheta _{10} \over \vartheta }\right)^{2}

{\ displaystyle k = \ left ({\ vartheta _ {10} \ over \ vartheta} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle k = \ left ({\ vartheta _ {10} \ over \ vartheta} \ right) ^ {2}}

Prin plasare $u=\pi \vartheta ^{2}z$ ${\ displaystyle u = \ pi \ vartheta ^ {2} z}$ ${\ displaystyle u = \ pi \ vartheta ^ {2} z}$ avem:

{\mbox{sn}}(u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}

{\ displaystyle {\ mbox {sn}} (u; k) = - {\ vartheta \ vartheta _ {11} (z; \ tau) \ over \ vartheta _ {10} \ vartheta _ {01} (z; \ tau)}}

{\ displaystyle {\ mbox {sn}} (u; k) = - {\ vartheta \ vartheta _ {11} (z; \ tau) \ over \ vartheta _ {10} \ vartheta _ {01} (z; \ tau)}}

{\mbox{cn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}

{\ displaystyle {\ mbox {cn}} (u; k) = {\ vartheta _ {01} \ vartheta _ {10} (z; \ tau) \ over \ vartheta _ {10} \ vartheta _ {01} ( z; \ tau)}}

{\ displaystyle {\ mbox {cn}} (u; k) = {\ vartheta _ {01} \ vartheta _ {10} (z; \ tau) \ over \ vartheta _ {10} \ vartheta _ {01} ( z; \ tau)}}

{\mbox{dn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}

{\ displaystyle {\ mbox {dn}} (u; k) = {\ vartheta _ {01} \ vartheta (z; \ tau) \ over \ vartheta \ vartheta _ {01} (z; \ tau)}}

{\ displaystyle {\ mbox {dn}} (u; k) = {\ vartheta _ {01} \ vartheta (z; \ tau) \ over \ vartheta \ vartheta _ {01} (z; \ tau)}}

Funcțiile Jacobi sunt definite folosind modulul eliptic $k(\tau )$ ${\ displaystyle k (\ tau)}$ ${\ displaystyle k (\ tau)}$ , așa că trebuie să-i inversați expresia și să găsiți $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ ca o funcție a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Începând de la modulul complementar $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ ${\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}$ , ca o funcție a $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ are forma:

k'(\tau )=\left({\vartheta _{01} \over \vartheta }\right)^{2}

{\ displaystyle k '(\ tau) = \ left ({\ vartheta _ {01} \ over \ vartheta} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle k '(\ tau) = \ left ({\ vartheta _ {01} \ over \ vartheta} \ right) ^ {2}}

Este:

\ell ={1 \over 2}{1-{\sqrt {k'}} \over 1+{\sqrt {k'}}}={1 \over 2}{\vartheta -\vartheta _{01} \over \vartheta +\vartheta _{01}}

{\ displaystyle \ ell = {1 \ over 2} {1 - {\ sqrt {k '}} \ over 1 + {\ sqrt {k'}}} = {1 \ over 2} {\ vartheta - \ vartheta _ {01} \ over \ vartheta + \ vartheta _ {01}}}

{\ displaystyle \ ell = {1 \ over 2} {1 - {\ sqrt {k '}} \ over 1 + {\ sqrt {k'}}} = {1 \ over 2} {\ vartheta - \ vartheta _ {01} \ over \ vartheta + \ vartheta _ {01}}}

Definire $q=\exp(\pi i\tau )$ ${\ displaystyle q = \ exp (\ pi i \ tau)}$ ${\ displaystyle q = \ exp (\ pi i \ tau)}$ și în expansiune $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ ca serie de putere în variabilă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , avem:

\ell ={q+q^{9}+q^{25}+\cdots  \over 1+2q^{4}+2q^{16}+\cdots }

{\ displaystyle \ ell = {q + q ^ {9} + q ^ {25} + \ cdots \ over 1 + 2q ^ {4} + 2q ^ {16} + \ cdots}}

{\ displaystyle \ ell = {q + q ^ {9} + q ^ {25} + \ cdots \ over 1 + 2q ^ {4} + 2q ^ {16} + \ cdots}}

Inversarea seriei:

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\cdots

{\ displaystyle q = \ ell +2 \ ell ^ {5} +15 \ ell ^ {9} +150 \ ell ^ {13} +1707 \ ell ^ {17} +20910 \ ell ^ {21} +268616 \ ell ^ {25} + \ cdots}

{\ displaystyle q = \ ell +2 \ ell ^ {5} +15 \ ell ^ {9} +150 \ ell ^ {13} +1707 \ ell ^ {17} +20910 \ ell ^ {21} +268616 \ ell ^ {25} + \ cdots}

Întrucât poate fi urmărit înapoi în cazul în care $\Im [\tau ]\geq (1/2){\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle \ Im [\ tau] \ geq (1/2) {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ Im [\ tau] \ geq (1/2) {\ sqrt {3}}}$ , putem presupune că $|q|\geq e^{(-1/2){\sqrt {3}}\pi }\sim 0.0658$ ${\ displaystyle | q | \ geq e ^ {(- 1/2) {\ sqrt {3}} \ pi} \ sim 0.0658}$ ${\ displaystyle | q | \ geq e ^ {(- 1/2) {\ sqrt {3}} \ pi} \ sim 0.0658}$ .

Bibliografie

Introducere istorică în teoria funcțiilor eliptice , G. Bellacchi (G. Barbèra, Florența, 1894)
Prelegeri despre teoria funcțiilor variabile complexe și a funcțiilor eliptice L. Bianchi (E. Spoerri, Pisa, 1916)
Teoria funcțiilor eliptice E. Pascal (U. Hoepli, Milano, 1896)
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover. (Vezi Capitolul 16. )
( EN ) Naum Illyich Akhiezer (1990): Elements of Theory of Elliptic Functions , AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 , AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2 . Traducere în limba engleză a textului rusesc publicată la Moscova în 1970.
(EN) Shanje Zhang, Janming Jin (1996): Calculul funcțiilor speciale, J.Wiley. (Vezi Capitolul 18)
( EN ) Aplicațiile funcțiilor eliptice G. Greenhill (MacMillan, Londra, 1892)
( EN ) Prelegeri despre teoria funcțiilor eliptice H. Hancock (John Wiley & Sons, New York, 1910)
( EN ) Proprietățile elementare ale funcțiilor eliptice, cu exemple AC Dixon (MacMillan, Londra, 1894)
( EN ) Funcții eliptice. Un manual elementar pentru studenții la matematică AL Baker (John Wiley & Sons, New York, 1890)
( FR ) Principii ale teoriei funcțiilor eliptice și aplicații P. Appell și E. Lacour (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
( FR ) Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (t.1) GH Halphen (Gauthier-Villars, Paris, 1886-1891)
( FR ) Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (t.2) GH Halphen (Gauthier-Villars, Paris, 1886-1891)
( FR ) Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (t. 3) GH Halphen (Gauthier-Villars, Paris, 1886-1891)
( FR ) Théorie élémentaire des fonctions elliptiques H. Laurent (Gauthier-Villars, Paris, 1882)
( FR ) Eléments de la theorie des fonctions elliptiques. Volumul I, Introducere. Calcul diferentiel. Ire partie J. Tannery și J. Molk (Gauthier-Villars, Paris, 1893-1902)
( FR ) Eléments de la theorie des fonctions elliptiques. Volumul II, Calcul diferentiel. IIe partie , J. Tannery și J. Molk (Gauthier-Villars, Paris, 1893-1902)
( FR ) Eléments de la theorie des fonctions elliptiques. Volumul III, Calcul integral. Ire partie, Théorèmes généraux. Inversion J. Tannery și J. Molk (Gauthier-Villars, Paris, 1893-1902)
( FR ) Eléments de la theorie des fonctions elliptiques. Volumul IV, Calcul integral. IIe partie, Applications J. Tannery și J. Molk (Gauthier-Villars, Paris, 1893-1902)
( FR ) Théorie des fonctions elliptiques C. Briot și JC Bouquet (Gauthier-Villars, Paris, 1875)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, Jacobi elliptic functions , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică