Funcții Theta

Funcția originală Jacobi Theta, θ1 cu u = iπz și cu numele q = eiπτ = 0.1e0.1iπ

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

În matematică , funcțiile theta ale lui Jacobi sunt funcții speciale utile în analiza complexă .

Funcții $\vartheta _{1}(z,q),\vartheta _{2}(z,q),\vartheta _{3}(z,q),\vartheta _{4}(z,q)$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {1} (z, q), \ vartheta _ {2} (z, q), \ vartheta _ {3} (z, q), \ vartheta _ {4} (z, q) }$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {1} (z, q), \ vartheta _ {2} (z, q), \ vartheta _ {3} (z, q), \ vartheta _ {4} (z, q) }$ au fost introduse de matematicianul german Carl Gustav Jakob Jacobi în teoria funcțiilor eliptice în 1829 . Acestea sunt definite, respectiv, cu seria :

\theta _{1}(z,q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin {\big (}(2n+1)z{\big )},

{\ displaystyle \ theta _ {1} (z, q) = 2q ^ {1/4} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n (n + 1)} \ sin {\ big (} (2n + 1) z {\ big)},}

{\ displaystyle \ theta _ {1} (z, q) = 2q ^ {1/4} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n (n + 1)} \ sin {\ big (} (2n + 1) z {\ big)},}

\theta _{2}(z,q)=\vartheta _{10}(z,q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\cos {\big (}(2n+1)z{\big )},

{\ displaystyle \ theta _ {2} (z, q) = \ vartheta _ {10} (z, q) = 2q ^ {1/4} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} q ^ { n (n + 1)} \ cos {\ big (} (2n + 1) z {\ big)},}

{\ displaystyle \ theta _ {2} (z, q) = \ vartheta _ {10} (z, q) = 2q ^ {1/4} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} q ^ { n (n + 1)} \ cos {\ big (} (2n + 1) z {\ big)},}

\theta _{3}(z,q)=\vartheta _{00}(z,q)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2nz),

{\ displaystyle \ theta _ {3} (z, q) = \ vartheta _ {00} (z, q) = 1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2 }} \ cos (2nz),}

{\ displaystyle \ theta _ {3} (z, q) = \ vartheta _ {00} (z, q) = 1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2 }} \ cos (2nz),}

\theta _{4}(z,q)=\vartheta _{01}(z,q)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos(2nz),

{\ displaystyle \ theta _ {4} (z, q) = \ vartheta _ {01} (z, q) = 1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n } q ^ {n ^ {2}} \ cos (2nz),}

{\ displaystyle \ theta _ {4} (z, q) = \ vartheta _ {01} (z, q) = 1 + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n } q ^ {n ^ {2}} \ cos (2nz),}

unde este $q=e^{\pi i\tau }$ ${\ displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}}$ ${\ displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}}$ Și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ aparținând semi-planului superior complex , adică $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este un număr complex cu o parte imaginară pozitivă și, prin urmare $|q|<1$ ${\ displaystyle | q | <1}$ ${\ displaystyle | q | <1}$ . Seria converge pe întregul plan complex , adică pentru fiecare $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ $z \ in {\ mathbb {C}}$ .

Importanța funcțiilor teta lui Jacobi în teoria funcției eliptice vine din posibilitatea de a exprima toate funcțiile eliptice Jacobi ca raportul a două funcții teta (vezi formulele Abramowitz și Stegun 16.36.3-16.36.7 și dovada lui Whittaker și Watson).

Valorile funcțiilor

Pentru $z=0,$ ${\ displaystyle z = 0,}$ ${\ displaystyle z = 0,}$ cele trei funcții theta $\vartheta _{00}(q)$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q)}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q)}$ , $\vartheta _{01}(q)$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (q)}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (q)}$ Și $\vartheta _{10}(q)$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {10} (q)}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {10} (q)}$ poate fi exprimat după cum urmează:

\vartheta _{00}(q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k^{2}},

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {k ^ {2}},}

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {k ^ {2}},}

\vartheta _{01}(q)=\vartheta _{00}(-q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{k^{2}},

{\ displaystyle \ vartheta _ {01} (q) = \ vartheta _ {00} (- q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} q ^ { k ^ {2}},}

{\ displaystyle \ vartheta _ {01} (q) = \ vartheta _ {00} (- q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} q ^ { k ^ {2}},}

\vartheta _{10}(q)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{{\big (}k+{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{2}}.

{\ displaystyle \ vartheta _ {10} (q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {{\ big (} k + {\ tfrac {1} {2}} {\ mare)} ^ {2}}.}

{\ displaystyle \ vartheta _ {10} (q) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {{\ big (} k + {\ tfrac {1} {2}} {\ mare)} ^ {2}}.}

Mai mult, urmează următoarea relație numită identitate Jacobi:

\vartheta _{00}(q)^{4}=\vartheta _{10}(q)^{4}+\vartheta _{01}(q)^{4}.

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q) ^ {4} = \ vartheta _ {10} (q) ^ {4} + \ vartheta _ {01} (q) ^ {4}.}

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q) ^ {4} = \ vartheta _ {10} (q) ^ {4} + \ vartheta _ {01} (q) ^ {4}.}

Următoarele formule exprimă relația funcțiilor theta cu funcția lambda eliptică:

\vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {w}})=\left(\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {w}})\right)^{1/2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}},

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (-a ^ {2} \ pi {\ sqrt {w}}) = \ left (\ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sech} (a \ pi {\ sqrt { w}}) \ right) ^ {1/2} = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}}},}

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (-a ^ {2} \ pi {\ sqrt {w}}) = \ left (\ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sech} (a \ pi {\ sqrt { w}}) \ right) ^ {1/2} = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}}},}

\vartheta _{10}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}=\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp \left(-(a+{\tfrac {1}{2}})^{2}\pi {\sqrt {w}}\right)=\left(\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} \left((a+{\tfrac {1}{2}})\pi {\sqrt {w}}\right)\right)^{1/2}={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(w)K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}}=2{\sqrt[{4}]{\lambda ^{*}(4w)}}{\sqrt {\pi ^{-1}K{\big (}\lambda ^{*}(4w){\big )}}},

{\ displaystyle \ vartheta _ {10} {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left (- (a + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} \ pi {\ sqrt {w}} \ right) = \ left (\ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sech} \ left ((a + {\ tfrac {1} {2}}) \ pi {\ sqrt {w}} \ right) \ right) ^ {1/2} = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} \ lambda ^ {*} (w) K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}}} = 2 {\ sqrt [{4} ] {\ lambda ^ {*} (4w)}} {\ sqrt {\ pi ^ {- 1} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (4w) {\ big)}}},}

{\ displaystyle \ vartheta _ {10} {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left (- (a + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} \ pi {\ sqrt {w}} \ right) = \ left (\ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {sech} \ left ((a + {\ tfrac {1} {2}}) \ pi {\ sqrt {w}} \ right) \ right) ^ {1/2} = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} \ lambda ^ {*} (w) K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}}} = 2 {\ sqrt [{4} ] {\ lambda ^ {*} (4w)}} {\ sqrt {\ pi ^ {- 1} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (4w) {\ big)}}},}

\vartheta _{01}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}=\sum _{a=-\infty }^{\infty }(-1)^{a}\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {w}})={\sqrt {2\pi ^{-1}\lambda ^{*}(1/w)K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}},

{\ displaystyle \ vartheta _ {01} {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} ( -1) ^ {a} \ exp (-a ^ {2} \ pi {\ sqrt {w}}) = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} \ lambda ^ {*} (1 / w) K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}}},}

{\ displaystyle \ vartheta _ {01} {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} ( -1) ^ {a} \ exp (-a ^ {2} \ pi {\ sqrt {w}}) = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} \ lambda ^ {*} (1 / w) K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}}},}

unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ indică integrala eliptică completă de primul fel și relația are:

{\frac {K\left({\sqrt {1-\lambda ^{*}(w)^{2}}}\right)}{K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )}}}={\sqrt {w}}.

{\ displaystyle {\ frac {K \ left ({\ sqrt {1- \ lambda ^ {*} (w) ^ {2}}} \ right)} {K {\ big (} \ lambda ^ {*} ( w) {\ big)}}} = {\ sqrt {w}}.}

{\ displaystyle {\ frac {K \ left ({\ sqrt {1- \ lambda ^ {*} (w) ^ {2}}} \ right)} {K {\ big (} \ lambda ^ {*} ( w) {\ big)}}} = {\ sqrt {w}}.}

Tabel de valori:

q	ϑ₁₀ (q)	ϑ₀₁ (q)	ϑ₀₀ (q)
exp (-π)	${\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {G}}}$	${\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {G}}}$	$2^{1/4}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/4} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/4} {\ sqrt {G}}}$
exp (-2π)	$2^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1}} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1}} {\ sqrt {G}}}$	$2^{1/8}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/8} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/8} {\ sqrt {G}}}$	$2^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$
exp (-3π)	$2^{-5/4}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}){\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 5/4} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} - 1}} ({\ sqrt {3}} + 1 - {\ sqrt [{ 4}] {12}}) {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 5/4} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} - 1}} ({\ sqrt {3}} + 1 - {\ sqrt [{ 4}] {12}}) {\ sqrt {G}}}$	$2^{-5/4}3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}({\sqrt {3}}+1+{\sqrt[{4}]{12}}){\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 5/4} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} - 1}} ({\ sqrt {3}} + 1 + {\ sqrt [{ 4}] {12}}) {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 5/4} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} - 1}} ({\ sqrt {3}} + 1 + {\ sqrt [{ 4}] {12}}) {\ sqrt {G}}}$	$3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$
exp (-4π)	$2^{-1}({\sqrt[{4}]{2}}-1){\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1} ({\ sqrt [{4}] {2}} - 1) {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1} ({\ sqrt [{4}] {2}} - 1) {\ sqrt {G}}}$	$2^{-3/16}{\sqrt[{4}]{{\sqrt {2}}+1}}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 3/16} {\ sqrt [{4}] {{\ sqrt {2}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 3/16} {\ sqrt [{4}] {{\ sqrt {2}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$	$2^{-1}({\sqrt[{4}]{2}}+1){\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1} ({\ sqrt [{4}] {2}} + 1) {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 1} ({\ sqrt [{4}] {2}} + 1) {\ sqrt {G}}}$
exp (-5π)	$2^{-3/2}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 3/2} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}} ({\ sqrt [{4}] {5}} - 1) ^ {2} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 3/2} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}} ({\ sqrt [{4}] {5}} - 1) ^ {2} {\ sqrt {G}}}$	$2^{-3/2}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{2}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 3/2} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}} ({\ sqrt [{4}] {5}} + 1) ^ {2} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {- 3/2} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}} ({\ sqrt [{4}] {5}} + 1) ^ {2} {\ sqrt {G}}}$	$2^{1/4}5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}{\sqrt {G}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/4} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} + 2}} {\ sqrt {G}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/4} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} + 2}} {\ sqrt {G}}}$

unde este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ indică constanta Gauss și această constantă este reciprocă a mediei aritmetico-geometrice între 1 și ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ .

Alte relații importante pentru aritmetică:

\vartheta _{10}(q)^{2}=2\vartheta _{10}(q^{2})\vartheta _{00}(q^{2});

{\ displaystyle \ vartheta _ {10} (q) ^ {2} = 2 \ vartheta _ {10} (q ^ {2}) \ vartheta _ {00} (q ^ {2});}

{\ displaystyle \ vartheta _ {10} (q) ^ {2} = 2 \ vartheta _ {10} (q ^ {2}) \ vartheta _ {00} (q ^ {2});}

\vartheta _{00}(q)+\vartheta _{01}(q)=2\vartheta _{00}(q^{4});

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q) + \ vartheta _ {01} (q) = 2 \ vartheta _ {00} (q ^ {4});}

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q) + \ vartheta _ {01} (q) = 2 \ vartheta _ {00} (q ^ {4});}

\vartheta _{00}(q^{4})+\vartheta _{10}(q^{4})=\vartheta _{00}(q);

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q ^ {4}) + \ vartheta _ {10} (q ^ {4}) = \ vartheta _ {00} (q);}

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} (q ^ {4}) + \ vartheta _ {10} (q ^ {4}) = \ vartheta _ {00} (q);}

\vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi /y){\big )}={\sqrt {y}}\,\vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi y){\big )};

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (- \ pi / y) {\ big)} = {\ sqrt {y}} \, \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (- \ pi y) {\ big)};}

{\ displaystyle \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (- \ pi / y) {\ big)} = {\ sqrt {y}} \, \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (- \ pi y) {\ big)};}

{\frac {n\vartheta _{00}{\big (}\exp(-n\pi {\sqrt {w}}){\big )}^{2}}{\vartheta _{00}{\big (}\exp(-\pi {\sqrt {w}}){\big )}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2k}{n}}K{\big (}\lambda ^{*}(w){\big )};\lambda ^{*}(w)\right).

{\ displaystyle {\ frac {n \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (-n \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} ^ {2}} {\ vartheta _ {00 } {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} ^ {2}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {dn} \ left ({\ frac {2k} {n}} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}; \ lambda ^ {*} (w) \ right).}

{\ displaystyle {\ frac {n \ vartheta _ {00} {\ big (} \ exp (-n \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} ^ {2}} {\ vartheta _ {00 } {\ big (} \ exp (- \ pi {\ sqrt {w}}) {\ big)} ^ {2}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {dn} \ left ({\ frac {2k} {n}} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (w) {\ big)}; \ lambda ^ {*} (w) \ right).}

Abrevierea $\operatorname {dn}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dn}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dn}}$ reprezintă funcția eliptică Jacobi Delta Amplitudinis.

Sume infinite

Sumă infinită a valorilor reciproce ale numerelor Fibonacci în locuri impare:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\Phi ^{2n-1}}{\Phi ^{4n-2}+1}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sech} {\big (}(n-{\tfrac {1}{2}})\operatorname {arcosh} ({\tfrac {3}{2}}){\big )}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}(16\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2})}}K{\big (}\lambda ^{*}(16\pi ^{-2}\ln(\Phi )^{2}){\big )}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2n-1}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{ \ sqrt {5}} \ Phi ^ {2n-1}} {\ Phi ^ {4n-2} +1}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ operatorname {sech} {\ big (} (n - {\ tfrac {1} {2}}) \ operatorname {arcosh} ({\ tfrac {3} {2}}) {\ big )} = {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ vartheta _ {10} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {5}} {\ pi }} {\ sqrt {\ lambda ^ {*} (16 \ pi ^ {- 2} \ ln (\ Phi) ^ {2})}} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (16 \ pi ^ {- 2} \ ln (\ Phi) ^ {2}) {\ big)}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2n-1}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{ \ sqrt {5}} \ Phi ^ {2n-1}} {\ Phi ^ {4n-2} +1}} = {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ operatorname {sech} {\ big (} (n - {\ tfrac {1} {2}}) \ operatorname {arcosh} ({\ tfrac {3} {2}}) {\ big )} = {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ vartheta _ {10} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {5}} {\ pi }} {\ sqrt {\ lambda ^ {*} (16 \ pi ^ {- 2} \ ln (\ Phi) ^ {2})}} K {\ big (} \ lambda ^ {*} (16 \ pi ^ {- 2} \ ln (\ Phi) ^ {2}) {\ big)}.}

Suma infinită a valorilor reciproce ale pătratelor numerelor Fibonacci:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{12}}\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{4}-{\frac {5}{24}}\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}+{\frac {5}{24}}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {5} {12}} \ vartheta _ {10} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {4} - {\ frac {5} {24}} \ vartheta _ {00} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {4} + {\ frac {5} {24}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {5} {12}} \ vartheta _ {10} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {4} - {\ frac {5} {24}} \ vartheta _ {00} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {4} + {\ frac {5} {24}}.}

Bibliografie

( DE ) CGJ Jacobi Gesammelte Werke ^{[ link rupt ]} (Berlin: G. Reimer, 1881-1891)
E. Pascal Teoria funcțiilor eliptice (Milano: U. Hoepli 1896) (capitolul 1)
( EN ) H. Hancock Lectures on theory of elliptic functions (New York: J. Wiley & sons, 1910) (capitolul 10)
( EN ) ET Whittaker și GN Watson Un curs de analiză modernă (Cambridge University Press, 1915) (capitolele 21 și 22).
( EN ) M. Abramowitz și I. Stegun Manual de funcții matematice (Dover, 1972) p. 576

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00572911

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică