Constanta Gauss

Constanta Gauss
Simbol	G.
Valoare	0.8346268416740731862814297327990468 ... (secvența A014549 a OEIS )
Originea numelui	Carl Friedrich Gauss
Fracție continuă	[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...] (secvența A053002 a OEIS)
Împreună	numere transcendente

În matematică , constanta Gauss , notată cu litera $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , este definit ca reciproc al mediei aritmetico-geometrice între 1 și ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ :

G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0,8346268\dots

{\ displaystyle G = {\ frac {1} {\ mathrm {agm} (1, {\ sqrt {2}})}} = 0,8346268 \ dots}

{\ displaystyle G = {\ frac {1} {\ mathrm {agm} (1, {\ sqrt {2}})}} = 0,8346268 \ dots}

Constanta poartă numele matematicianului german Carl Friedrich Gauss , care a descoperit la 30 mai 1799 că:

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

{\ displaystyle G = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {4}}}}}

G = \ frac {2} {\ pi} \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {\ sqrt {1 - x ^ 4}}

prin urmare:

G={\frac {1}{2\pi }}\beta \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)

{\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ beta \ left ({\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ beta \ left ({\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}

unde este $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ indică funcția beta a lui Euler .

Constanta Gaussiană nu trebuie confundată cu constanta gravitațională Gaussiană .

Relațiile cu alte constante

Constanta Gauss poate fi utilizată pentru a exprima funcția gamma cu 1/4:

\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

{\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {4}}) = {\ sqrt {2G {\ sqrt {2 \ pi ^ {3}}}}}}

\ Gamma (\ tfrac {1} {4}) = \ sqrt {2G \ sqrt {2 \ pi ^ 3}}

și, având în vedere acest lucru $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Și $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {4}})}$ ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {4}})}$ sunt algebric independente , cu $\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$ ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {4}})}$ ${\ displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {4}})}$ irațional , constanta Gauss este în mod necesar un număr transcendent .