Independența algebrică

În algebra abstractă , un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a unui câmp $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ se spune că este independent algebric pe un subcâmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dacă elementele de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ nu satisfac nicio ecuație polinomială non-banală cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Aceasta înseamnă pentru fiecare secvență terminată $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}}$ a elementelor distincte ale $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și pentru orice expresie polinomială $P(x_{1},...,x_{n})$ ${\ displaystyle P (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ ${\ displaystyle P (x_ {1}, ..., x_ {n})}$ un coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , avem: $P(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\neq 0$ ${\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle P (\ alpha _ {1}, ..., \ alpha _ {n}) \ neq 0}$ .

În special, un singur element $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este independent algebric de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dacă și numai dacă este transcendent în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . În general, toate elementele unui set algebric independent $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ele sunt neapărat transcendente $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ chiar dacă aceasta nu este în niciun caz o condiție suficientă.

De exemplu: subsetul numerelor reale $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}}, 2 \ pi +1 \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {\ pi}}, 2 \ pi +1 \}}$ nu este independent algebric pe platou $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a raționalelor de la expresia polinomială $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ ${\ displaystyle P (x_ {1}, x_ {2}) = 2x_ {1} ^ {2} -x_ {2} +1}$ ${\ displaystyle P (x_ {1}, x_ {2}) = 2x_ {1} ^ {2} -x_ {2} +1}$ este zero dacă alegeți $x_{1}={\sqrt {\pi }}$ ${\ displaystyle x_ {1} = {\ sqrt {\ pi}}}$ ${\ displaystyle x_ {1} = {\ sqrt {\ pi}}}$ Și $x_{2}=2\pi +1$ ${\ displaystyle x_ {2} = 2 \ pi +1}$ ${\ displaystyle x_ {2} = 2 \ pi +1}$ .

Nu se știe dacă mulțimea { π , e } este algebric independentă de $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

În 1996 Yu Nesterenko a dovedit independența algebrică a $\{\pi ,e^{\pi },\Gamma (1/4)\}$ ${\ displaystyle \ {\ pi, e ^ {\ pi}, \ Gamma (1/4) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ pi, e ^ {\ pi}, \ Gamma (1/4) \}}$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

Având în vedere o extensie de câmpuri $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ , putem folosi lema lui Zorn pentru a demonstra că există întotdeauna un subset maxim de $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ independent algebric pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . În plus, toate subseturile maxime independente algebric au aceeași cardinalitate cunoscută sub numele de gradul de transcendență a extensiei.

Bibliografie

Yu. V. Nesterenko, Independența algebrică a π și e ^π , Teoria numerelor și aplicațiile sale , Proc. 1996 conf. Ankara, Ed. CY Yildirim și SA Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k: 11113

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică