Independență afină

În geometrie , independența afină este o relație între punctele unui spațiu afin similar cu independența liniară .

Definiție

Lasa-i sa fie $P_{0},\ldots ,P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ de puncte într-un spațiu afin de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Acestea sunt afine independente dacă cel mai mic subspatiu afin care le conține are dimensiune $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Exemple

Două puncte sunt în mod similar independente dacă și numai dacă sunt distincte.

Trei puncte sunt afin independente dacă și numai dacă nu sunt conținute într-o linie afină , adică dacă nu sunt coliniare .

Patru puncte (de exemplu în spațiul tridimensional) sunt afine independente dacă și numai dacă nu sunt conținute într-un plan afin .

Simplex

Puncte afinal independente $P_{0},\ldots ,P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ într-un spațiu afin real sunt vârfurile unui simplex , definite echivalent ca:

plicul convex al punctelor $P_{0},\ldots ,P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ;
setul de puncte având coordonate afine $x_{0}P_{0}+\ldots x_{k}P_{k}$ ${\ displaystyle x_ {0} P_ {0} + \ ldots x_ {k} P_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {0} P_ {0} + \ ldots x_ {k} P_ {k}}$ cu $x_{i}\geq 0$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ .

Proprietate

Subseturi

Orice subset al unui set de puncte afine-independente este, de asemenea, un set de puncte afine-independente. De exemplu, dacă patru puncte nu se află într-un plan afin, trei dintre ele nu sunt coliniare.

Relația cu independența liniară

Punctele $P_{0},\ldots ,P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ale unui spațiu afin sunt afin independente dacă și numai dacă vectorii

{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{n}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, \ ldots, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {n}}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, \ ldots, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {n}}}}

sunt liniar independenți . Acești vectori generează poziția subspaiului afin generat de puncte. Toate acestea rămân aceleași dacă tranzacționați cu transportatori $P_{0},\ldots ,P_{k}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, \ ldots, P_ {k}}$ .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Bollati Boringhieri, Turin, 1989, ISBN 978-88-339-5447-9

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică