Simplex

Tetraedrul , un simplex tridimensional.

În matematică , simplexul n-dimensional este politopul n- dimensional cu cel mai mic număr de vârfuri . Simplexul dimensional zero este un singur punct, simplexul bidimensional un triunghi și simplexul tridimensional un tetraedru . Simplexul n- dimensional are n + 1 vârfuri. La fel ca toți politopii, simplexul are fețe de toate dimensiunile: acestea sunt toate ele însele simplex. Datorită simplității sale, simplexul este în general considerat „blocul de bază” cu care să construiască spații $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - dimensiuni mai complicate printr-un proces numit triangulare .

Originea numelui

Conceptul de simplex a fost cunoscut de William Kingdon Clifford , care a scris despre aceste forme în 1886, dar numindu-le „limite primare”. Henri Poincaré , scriind în 1900 despre topologia algebrică , le-a numit „tetraedre generalizate”. În 1902 Pieter Hendrik Schoute a descris conceptul mai întâi cu superlativul latin simplicissimum („cel mai simplu”) și apoi cu același adjectiv latin în forma normală simplex („simplu”). ^[1]

Proprietate

Hipervolumul unui simplex n- dimensional al laturii l este:

l^{n}\cdot {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}

{\ displaystyle l ^ {n} \ cdot {\ frac {\ sqrt {n + 1}} {n! {\ sqrt {2 ^ {n}}}}}}

{\ displaystyle l ^ {n} \ cdot {\ frac {\ sqrt {n + 1}} {n! {\ sqrt {2 ^ {n}}}}}}

^[2]

Unghiul diedru al unui simplex n- dimensional este arccos (1 / n ) ^[3] , iar unghiul pe care îl formează centrul simplexului cu două dintre vârfurile sale este (ca supliment la cel anterior) arccos (-1 / n ).

Definiție

O definiție matematică riguroasă a simplexului se bazează pe noțiunile de înveliș convex și puncte în poziție generală .

Într-un spațiu vectorial , $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle n + 1}$ puncte $x_{1},\ldots ,x_{n+1}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}}$ sunt în poziție generală dacă vectorii

x_{2}-x_{1},x_{3}-x_{1},\ldots ,x_{n+1}-x_{1}

{\ displaystyle x_ {2} -x_ {1}, x_ {3} -x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1} -x_ {1}}

{\ displaystyle x_ {2} -x_ {1}, x_ {3} -x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1} -x_ {1}}

sunt liniar independenți . În mod similar, acestea sunt în poziție generală dacă cel mai mic subspatiu afin care le conține are dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Un simplex n- dimensional este învelișul convex al lui $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ puncte $x_{1},\ldots ,x_{n+1}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}}$ în poziție generală într-un spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ . The $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ punctele sunt vârfurile simplexului, care este adesea indicat cu

[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]

{\ displaystyle [x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}]}

{\ displaystyle [x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}]}

Spațiul euclidian are în mod necesar dimensiune $m\geq n$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ .

Exemple

Un simplex unidimensional este învelișul a două puncte, adică un segment .
Un simplex bidimensional este învelișul a trei puncte neliniate, adică un triunghi .
Un simplex tridimensional este învelișul a patru puncte non-coplanare, adică un tetraedru .
Un simplex cu 4 dimensiuni are 5 vârfuri și se numește hipertraedru .

Fețele unui simplex

De sine $x_{1},\ldots ,x_{n+1}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}}$ Și eu sunt în poziția generală $k+1$ ${\ displaystyle k + 1}$ ${\ displaystyle k + 1}$ dintre aceste puncte, luate în mod arbitrar (cu $k<n$ ${\ displaystyle k <n}$ $k <n$ ) sunt în poziție generală; simplexul $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -dimensional generat de acestea se numește față $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -dimensională a simplexului original $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. În special, vârfurile sunt fețele 0 ale simplexului.

De exemplu, între cele 4 vârfuri ale unui tetraedru putem identifica 4 subseturi diferite compuse din câte 3 vârfuri, corespunzătoare a 4 fețe triunghiulare.

În general, numărul de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -fețe într-un simplex $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional este egal cu coeficientul binomial ${\begin{pmatrix}n+1\\k+1\\\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} n + 1 \\ k + 1 \\\ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} n + 1 \\ k + 1 \\\ end {pmatrix}}}$ , adică la numărul de subseturi de $k+1$ ${\ displaystyle k + 1}$ ${\ displaystyle k + 1}$ elemente ale unui set de $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle n + 1}$ elemente.

Simplexul standard

Simplexul standard bidimensional.

Simplexul standard $\Delta ^{n}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este plicul convex

[e_{1},\ldots ,e_{n+1}]

{\ displaystyle [e_ {1}, \ ldots, e_ {n + 1}]}

{\ displaystyle [e_ {1}, \ ldots, e_ {n + 1}]}

a bazei canonice $e_{1},\ldots ,e_{n+1}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n + 1}}$ din $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ . Cu alte cuvinte,

\Delta ^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}:\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1,\ x_{i}\geq 0\,\forall i\}.

{\ displaystyle \ Delta ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} = 1, \ x_ {i} \ geq 0 \, \ forall i \}.}

{\ displaystyle \ Delta ^ {n} = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} = 1, \ x_ {i} \ geq 0 \, \ forall i \}.}

X _i se numește coordonatele barententrice ale unui punct din simplex.

Notă

^ Jeff Miller, Simplex , în cele mai vechi utilizări cunoscute ale unor cuvinte ale matematicii . Adus pe 4 februarie 2018 .
^ Paul Stein, A Note on the Volume of a Simplex , în The American Mathematical Monthly , vol. 73, nr. 3, 1966, pp. 299-301.
^ Harold R. Parks, Dean C. Wills, Un calcul elementar al unghiului diedru al n-Simplexului regulat , în The American Mathematical Monthly , vol. 109, nr. 8, octombrie 2002, pp. 756-758.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe simplex

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Jeff Miller, Simplex , în cele mai vechi utilizări cunoscute ale unor cuvinte ale matematicii . Adus pe 4 februarie 2018 .

[2] Paul Stein, A Note on the Volume of a Simplex , în The American Mathematical Monthly , vol. 73, nr. 3, 1966, pp. 299-301.

[3] Harold R. Parks, Dean C. Wills, Un calcul elementar al unghiului diedru al n-Simplexului regulat , în The American Mathematical Monthly , vol. 109, nr. 8, octombrie 2002, pp. 756-758.

[1]

[2]

[3]