Complex simplificat

Acesta este un complex simplicial.

Acesta nu este un complex simplicial: simplele se intersectează rău.

În matematică și topologie, un complex simplicial este o agregare ordonată a simplexelor , adică o unire a unui anumit număr de simple care se intersectează numai pe fețele comune.

Un complex simplicial definește, prin urmare, un spațiu topologic , care poate fi descris prin mai multe complexe simpliciale diferite, fiecare dintre ele numindu-se triangularea spațiului. Această descriere combinatorie permite un calcul ușor al multor proprietăți ale spațiului, cum ar fi grupul fundamental și mai presus de toate omologia . Prin urmare, complexele simple sunt un ingredient fundamental al topologiei algebrice .

Cu toate acestea, nu toate spațiile topologice sunt realizabile ca complexe simpliciale.

Definiție

Un complex simplicial este un întreg $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de simplexuri în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ astfel încât:

Fiecare față a unui simplex în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un element al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .
Intersecția a două simplexuri este goală sau este o față a ambelor.
Întregul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este local finit: orice set mărginit de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ intersectează un număr finit de elemente ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Întregul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu este neapărat terminat. Dimensiunea sa este slabă $(K)$ ${\ displaystyle (K)}$ ${\ displaystyle (K)}$ este dimensiunea maximă a unui simplex în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , și nu poate fi mai mare decât $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Unirea simplexelor este suportul sau suportul complexului și este indicat cu $|K|$ ${\ displaystyle | K |}$ ${\ displaystyle | K |}$ . Ca subspatiu al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ , este un spațiu metric și un spațiu topologic .

Închidere, stea și conexiune

Fie K un complex simplicial și S să fie o colecție de simple în K.

Închiderea lui S (notată Cl S ) este cel mai mic subcomplex simplicial al lui K care conține fiecare simplex în S. Cl S se obține adăugând în mod repetat la S fiecare față a fiecărui simplex din S.

Steaua lui S (notată St S ) este ansamblul tuturor simplexelor din K care au orice față în S. (Rețineți că steaua în sine nu este în general un complex simplicial).

Conexiunea lui S (notată Lk S ) este echivalentă cu Cl St S - St Cl S. Este steaua închisă a lui S minus stelele tuturor fețelor lui S.

Triunghiuri

Politopi

O triangulare a unui politop $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ este un complex simplicial $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ al cărui sprijin este $|K|=P$ ${\ displaystyle | K | = P}$ ${\ displaystyle | K | = P}$ . De exemplu, o triangulare a unui poligon este o subdiviziune a acestuia în triunghiuri .

Spații topologice

O triangulare a unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un complex simplicial $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este homeomorf a $|K|$ ${\ displaystyle | K |}$ ${\ displaystyle | K |}$ .

Un spațiu topologic care admite o triangulare se numește triangolabil . Acest lucru este neapărat al lui Hausdorff și metrizabil . Cu toate acestea, nu toate aceste spații au triangulații: există varietăți topologice în dimensiunea 4 sau mai mare care nu au. Acest lucru nu se întâmplă în dimensiunile inferioare: toate soiurile dimensiunii 1, 2 și 3 sunt triunghiabile. Prin urmare, triangulabilitatea este un factor important în topologia cu dimensiuni reduse .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din complexul simplicial

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 32731 · NDL (RO, JA) 00563652

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică