Inel (topologie)

Inelul „standard”.

Dacă are o răsucire de 360 °, este întotdeauna un inel.

În matematică și mai exact în topologie , un inel este o suprafață având structura unei coroane circulare .

Inele în spațiul tridimensional

Un inel poate fi conținut în spațiul tridimensional în diferite moduri.

Construcții cu o panglică

Cea mai simplă construcție este de a uni cele două laturi opuse ale unei benzi dreptunghiulare de hârtie.

Prin acordarea unei laturi a benzii o rotație de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ grade (unde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este multiplu de 360) înainte de unire, se obține încă un inel, deși conținut în spațiu într-un mod diferit (în topologie, se spune că spațiile obținute în acest mod sunt toate homeomorfe ).

Dacă în schimb $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este multiplu de 180, dar nu de 360, cifra rezultată nu este homeomorfă pentru un inel: are o singură margine și o singură față și se numește banda Möbius .

O posibilă parametrizare a inelului „clasic” este următoarea:

x(u,v)=\cos(u)

{\ displaystyle x (u, v) = \ cos (u)}

{\ displaystyle x (u, v) = \ cos (u)}

y(u,v)=\sin(u)

{\ displaystyle y (u, v) = \ sin (u)}

{\ displaystyle y (u, v) = \ sin (u)}

z(u,v)=v

{\ displaystyle z (u, v) = v}

{\ displaystyle z (u, v) = v}

unde este $0\leq u<2\pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq u <2 \ pi}$ $0 \ leq u <2 \ pi$ Și $-1\leq v\leq 1$ ${\ displaystyle -1 \ leq v \ leq 1}$ $-1 \ leq v \ leq 1$ . În acest fel, se obține o lățime de inel 1, centrată în (0,0,0) și simetrică în raport cu reflexia de pe plan $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ . Prin modificarea parametrului u, vă deplasați de-a lungul panglicii, în timp ce prin varianta v, mergeți de la o margine la alta.

Inele în interiorul taurului

Numeroase inele se obțin prin îndepărtarea părților de suprafață din tor . În acest fel, este posibil să se creeze inelul „standard”, cele cu 2 sau mai multe răsuciri descrise mai sus și altele. Pe această pagină puteți vedea câteva inele standard (în portocaliu) și altele cu o răsucire de 360 ° (în gri). Acestea din urmă se numesc cercuri Villarceau .

Un inel de poziție non-standard ca acesta diferă de banda Mobius deoarece are două componente de margine (roșu și verde), când banda Mobius are doar una.

Proprietăți topologice

Din punct de vedere abstract topologic, inelul este definit ca produs

S^{1}\times [0,1]

{\ displaystyle S ^ {1} \ times [0,1]}

{\ displaystyle S ^ {1} \ times [0,1]}

a unui cerc cu intervalul [0, 1].

Inelul este un spațiu conectat , conectat prin arcuri și compact . Este, de asemenea, un soi topologic cu o margine de dimensiunea 2.

Grupul său fundamental este Z. Acoperirea sa universală este R × [0, 1]. Deoarece învelișul universal este contractil , grupurile de homotopie superioare ale inelului sunt toate banale.

Pe banda Möbius există un strat de 2 coli al inelului.

Prin identificarea (adică „lipirea”) celor două componente de margine ale inelului, se obține torul sau sticla Klein , în funcție de orientarea cu care sunt identificate.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică