Topologie diferențială

În matematică , topologia diferențială este o parte a topologiei care folosește instrumentele de calcul . Obiectul principal studiat este varietatea diferențiată , o generalizare multidimensională a curbelor și suprafețelor .

Geometria diferențială este un sector contigu și parțial suprapus, care studiază varietăți dintr-un punct de vedere mai „rigid”: în geometria diferențială, sunt introduse și studiate concepte geometrice precum unghiul, distanța , geodezica , curbura , care nu sunt prezente în topologie.

În paralel, topologia algebrică și geometria algebrică aplică instrumentele algebrei topologiei și geometriei. În multe cazuri, utilizarea algebrei și a calculului dau rezultate similare, deși exprimate cu formalisme complet diferite.

Soiuri diferențiate

O varietate diferențiată este un spațiu topologic care este local ca spațiul euclidian și toate aceste „spații euclidiene locale” sunt „lipite” împreună prin funcții diferențiabile (și nu doar continue). Această cerință tehnică permite utilizarea a numeroase rezultate de analiză pentru a demonstra multe teoreme. De exemplu, vă permite să utilizați instrumente precum Jacobianul , gradientul și teorema locală a inversibilității .

Un exemplu tipic de varietate diferențiată este o curbă sau o suprafață în spațiu tridimensional. Pentru aceste exemple, este important de reținut că, spre deosebire de geometria diferențială, ceea ce descrie obiectul este în principal forma acestuia (adică topologia ) și nu alte proprietăți legate de unghiuri și distanțe.

Funcții

Funcțiile dintre varietățile diferențiale care sunt cele mai tractabile sunt funcțiile diferențiabile . Funcțiile diferențiate nu prezintă „patologii” tipice unor funcții continue , cum ar fi curba Peano .

De exemplu, folosind diferențialitatea puteți defini concepte topologice foarte importante, cum ar fi gradul topologic . Același concept poate fi definit cu tehnici complet diferite în contextul topologiei algebrice .

Structuri

Datorită calculului infinitesimal, este posibil să se extindă la numeroase concepte de analiză valabile pentru spațiul euclidian. Extinde conceptul de tangență și definește spațiul tangent , câmpurile vectoriale , fibratele . Formele diferențiale sunt apoi definite prin pachete.

Bibliografie

Guillemin, Victor și Anton Pollack, Topologie diferențială , Prentice-Hall (1974) - ISBN 0132126052 .
Hirsch, Morris, Topologie diferențială , Springer (1997) - ISBN 0387901485 .
Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. Eseuri fundamentale pe varietăți topologice. Neteziri și triangulații , Princeton University Press (1977) - ISBN 0-691-08190-5 .
Lee, John M. Introducere în varietățile topologice , Springer-Verlag, New York (2000) - ISBN 0-387-98759-2 .
Lee, John M. Introducere în Smooth Manifolds , Springer-Verlag, New York (2003) - ISBN 0-387-95495-3 .
John Milnor , Topologie din punct de vedere diferențiat , Princeton University Press, (rev. 1997) - ISBN 0691048339 .
Michael Spivak , Calcul pe manifolduri: o abordare modernă a teoremelor clasice ale calculului avansat , Harper Collins (1965) - ISBN 0805390219 .