Spațiul lui Tihonov

În topologie , spațiile Tychonoff și spațiile complet regulate sunt spații topologice care îndeplinesc unele condiții de regularitate, incluse printre axiomele de separare . Aceste condiții sunt necesare pentru demonstrarea mai multor teoreme și sunt caracteristice majorității spațiilor topologice utilizate în mod obișnuit în analiză. Spațiile Tychonoff poartă numele matematicianului rus Andrei Nikolaevich Tikhonov .

În cele ce urmează sunt descrise atât proprietățile spațiilor complet regulate, cât și spațiile Tychonoff. Trebuie remarcat faptul că unii autori folosesc definiții diferite de cele date sau consideră un termen ca sinonim al celuilalt sau chiar cu semnificații inversate față de cele indicate.

Definiție formală

Un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se spune că este complet regulat dacă și numai dacă i se oferă un set închis $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care nu aparține $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , există o funcție continuă din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la linia reală astfel încât să fie 0 pe $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ( $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ ) și 1 pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ( $f(y)=1,\,\forall y\in F$ ${\ displaystyle f (y) = 1, \, \ forall y \ în F}$ ${\ displaystyle f (y) = 1, \, \ forall y \ în F}$ ). Se mai spune că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ sunt separate de o funcție.

Un spațiu se numește Tychonoff dacă este complet regulat și Hausdorff . Spațiile Tychonoff sunt denumite și spații T _3½ , spații T _π sau spații T ₃ complet.

Exemple

Printre spațiile complet regulate este posibil să se includă grupurile topologice , în timp ce toate spațiile metrice și varietățile topologice sunt spații Tychonoff.

Avionul lui Moore este un spațiu Tychonoff, dar nu este un spațiu normal .

Proprietăți de conservare

Una dintre cele mai utile caracteristici ale spațiilor complet regulate și Tychonoff este aceea că structura lor este păstrată din cele mai frecvente operații topologice; de exemplu, fiecare subspatiu al unui Tychonoff (sau complet regulată) spațiu este încă Tychonoff (sau complet regulate), așa cum este lor spațiu de produs . Proprietatea inversă deține și: dacă un spațiu de produs este al lui Tychonoff (complet regulat), fiecare factor este la fel.

La fel ca toate axiomele de separare, structura acestor spații nu este păstrată de operația coeficientului .

Spații complet regulate și funcții continue

Topologia unui spațiu complet regulat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este complet determinată de întreg $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ a funcțiilor continue pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și din ansamblu $C^{\star }(X)$ ${\ displaystyle C ^ {\ star} (X)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ star} (X)}$ a funcțiilor continue mărginite $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; regularitatea completă a unui spațiu [X] este de fapt echivalentă cu fiecare dintre următoarele proprietăți:

$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ are topologia indusă de $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ sau $C^{\star }(X)$ ${\ displaystyle C ^ {\ star} (X)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ star} (X)}$ ;
fiecare set închis de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ poate fi scris ca intersecția familiilor de seturi zero de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (adică seturile zero formează o bază pentru cele închise ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ );
seturile cozero ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt o bază pentru topologia $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Având în vedere un spațiu topologic $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ , este posibil să îi asociați un spațiu complet regulat într-un mod canonic $(X,\rho )$ ${\ displaystyle (X, \ rho)}$ ${\ displaystyle (X, \ rho)}$ , folosind topologia $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ generat de seturi cozero în $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ . Cu această construcție, fiecare funcție continuă $f:(X,\tau )\rightarrow Y$ ${\ displaystyle f: (X, \ tau) \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle f: (X, \ tau) \ rightarrow Y}$ continuă $(X,\rho )$ ${\ displaystyle (X, \ rho)}$ ${\ displaystyle (X, \ rho)}$ . În plus, setul de funcții continue este același în ambele topologii: $C_{\tau }(X)=C_{\rho }(X)$ ${\ displaystyle C _ {\ tau} (X) = C _ {\ rho} (X)}$ ${\ displaystyle C _ {\ tau} (X) = C _ {\ rho} (X)}$ ; acest lucru implică faptul că este suficient să studiați inelele $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ Și $C^{\star }(X)$ ${\ displaystyle C ^ {\ star} (X)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ star} (X)}$ numai pe spații complet regulate.

Spații complet regulate și spații uniforme

Regularitatea completă este o condiție necesară pentru ca un spațiu să posede o structură uniformă (adică se pot defini o serie de proprietăți legate de continuitatea uniformă a funcțiilor); în plus, fiecare spațiu complet regulat poate fi uniformat.

Spații Tychonoff și scufundări

Fiecare spațiu Tychonoff poate fi scufundat într-un spațiu compact Hausdorff; în special, este posibilă scufundarea spațiului Tychonoff într-un cub Tychonoff (adică un produs, posibil infinit, cu intervale de unitate [0,1]); deoarece fiecare cub este, de asemenea, un spațiu Tychonoff, se menține următoarea caracterizare:

un spațiu este al lui Tychonoff dacă și numai dacă este posibil să-l scufundați într-un cub.

Un caz deosebit de interesant de imersiune apare atunci când spațiul Tychonoff $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este scufundat într-un spațiu compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ; în acest caz închiderea $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o compactificare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Cea mai generală compactificare posibilă este cea a lui Stone - Čech , caracterizată prin proprietatea că fiecare funcție continuă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ într-un compact Hausdorff $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este extensibil în mod unic la compactificarea Pietrei - Čech $\beta X$ ${\ displaystyle \ beta X}$ ${\ displaystyle \ beta X}$ .

Bibliografie

(EN) Stephen Willard, Topologie generală, Reading, Editura Addison-Wesley, 1970.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică