Soi paralelizabil

În matematică , o varietate M diferențiată de dimensiune n se spune că este paralelizabilă dacă admite un set de n câmpuri vectoriale liniar independente , definite global pe întregul varietate M.

Definiție

Având în vedere o varietate diferențiată M de dimensiunea n , o paralelizare a lui M este o mulțime $\scriptstyle {\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ {X_ {1}, \ dots, X_ {n} \}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ {X_ {1}, \ dots, X_ {n} \}}}$ a n câmpuri vectoriale definite pe întregul distribuitor $\scriptstyle M\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ astfel încât pentru fiecare punct $\scriptstyle {p\in M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {p \ în M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {p \ în M} \,}$ întregul $\scriptstyle {\{X_{1}(p),\dots ,X_{n}(p)\}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ {X_ {1} (p), \ dots, X_ {n} (p) \}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ {X_ {1} (p), \ dots, X_ {n} (p) \}}}$ rezultă o bază de $\scriptstyle {T_{p}M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {T_ {p} M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {T_ {p} M} \,}$ , unde este $\scriptstyle {T_{p}M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {T_ {p} M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {T_ {p} M} \,}$ denotă fibra de deasupra p a pachetului tangent $\scriptstyle {TM}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {TM} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {TM} \,}$ .

În aceste ipoteze se spune că M este o varietate paralelizabilă , deoarece admite o paralelizare . ^[1]

Exemple

Fiecare grup Lie este o varietate paralelizabilă.
Produsul a două sau mai multe soiuri paralelizabile este încă un soi paralelizabil.
Orice spațiu afin , considerat ca o varietate diferențiată, este paralelizabil.

Proprietate

Propunere . O varietate $\scriptstyle M\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ poate fi paralelizat dacă și numai dacă există un difeomorfism $\scriptstyle {\phi \colon TM\longrightarrow M\times {\mathbb {R} ^{n}}}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ phi \ colon TM \ longrightarrow M \ times {\ mathbb {R} ^ {n}}} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ phi \ colon TM \ longrightarrow M \ times {\ mathbb {R} ^ {n}}} \,}$ astfel încât prima proiecție a $\scriptstyle {\phi }\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ phi} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ phi} \,}$ este $\scriptstyle {\tau _{M}\colon TM\longrightarrow M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau _ {M} \ colon TM \ longrightarrow M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau _ {M} \ colon TM \ longrightarrow M} \,}$ și pentru fiecare $\scriptstyle {p\in M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {p \ în M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {p \ în M} \,}$ al doilea factor - limitat la $\scriptstyle {T_{p}M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {T_ {p} M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {T_ {p} M} \,}$ - este o aplicație liniară $\scriptstyle {\phi _{p}\colon T_{p}M\rightarrow {\mathbb {R} ^{n}}}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ phi _ {p} \ colon T_ {p} M \ rightarrow {\ mathbb {R} ^ {n}}} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ phi _ {p} \ colon T_ {p} M \ rightarrow {\ mathbb {R} ^ {n}}} \,}$ .

Cu alte cuvinte, $\scriptstyle M\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ este paralelizabil dacă și numai $\scriptstyle {\tau _{M}\colon TM\longrightarrow M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau _ {M} \ colon TM \ longrightarrow M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau _ {M} \ colon TM \ longrightarrow M} \,}$ este un pachet vector trivial. De exemplu, să fie $\scriptstyle M\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M \,}$ un subset deschis de $\scriptstyle {\mathbb {R} ^{n}}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {n}} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {n}} \,}$ , adică o sub-varietate deschisă de $\scriptstyle {\mathbb {R} ^{n}}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {n}} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {n}} \,}$ . Apoi pachetul tangent $\scriptstyle {TM}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {TM} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {TM} \,}$ este difeomorf la $\scriptstyle {M\times {\mathbb {R} ^{n}}}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {M \ times {\ mathbb {R} ^ {n}}} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {M \ times {\ mathbb {R} ^ {n}}} \,}$ , și varietate $\scriptstyle {M}\,$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {M} \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {M} \,}$ este evident paralelizabil. ^[2]

Notă

^(EN) RL Bishop, SI Goldberg,Tensor Analysis on Manifolds , First Dover in 1980, The Macmillan Company, 1968, p. 160, ISBN 0-486-64039-6 .
^ JW Milnor, JD Stasheff , p. 18 .

Bibliografie

( EN ) RL Bishop, SI Goldberg,Tensor Analysis on Manifolds , First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6 .
( EN ) JW Milnor, JD Stasheff, Clase caracteristice , Princeton University Press, 1974.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) RL Bishop, SI Goldberg,Tensor Analysis on Manifolds , First Dover in 1980, The Macmillan Company, 1968, p. 160, ISBN 0-486-64039-6 .

[2] JW Milnor, JD Stasheff , p. 18 .

[1]

[2]