Pur și simplu spațiu conectat

O posibilă deformare a unei curbe în jurul sferei bidimensionale într-un punct.

În topologie , un spațiu topologic este pur și simplu conectat dacă este conectat prin arcuri și grupul său fundamental este grupul trivial , adică dacă fiecare curbă închisă poate fi deformată până când este redusă la un singur punct. Mai intuitiv, un spațiu topologic este pur și simplu conectat dacă este „făcut dintr-o singură bucată” și „nu are găuri”.

Exemple de spații care sunt pur și simplu conectate sunt bila (cu sau fără partea interioară) și sfera , în timp ce circumferința și torul nu sunt conectate pur și simplu.

Definiție

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic conectat prin arcuri . Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un punct de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un arc (sau dantelă ) centrat în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o funcție continuă $f:[0,1]\rightarrow$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow}$ ${\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow}$ $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $f(0)=f(1)=p$ ${\ displaystyle f (0) = f (1) = p}$ ${\ displaystyle f (0) = f (1) = p}$ . Capcana este contractabilă dacă există o homotopie care o transformă într-o capcană constantă $g(t)=p$ ${\ displaystyle g (t) = p}$ ${\ displaystyle g (t) = p}$ $\forall t$ ${\ displaystyle \ forall t}$ ${\ displaystyle \ forall t}$ . Cu alte cuvinte, este contractabil dacă poate fi „contractat” continuu până când devine în mod arbitrar mic.

Spațiul topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este conectat pur și simplu dacă fiecare capcană este centrată în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este contractabil. Această definiție nu depinde de punctul ales $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Există următoarele definiții alternative:

$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este pur și simplu conectat dacă are un grup fundamental trivial.
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este pur și simplu conectat dacă, pentru orice pereche de puncte $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ iar pentru fiecare pereche de arce din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ în $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , există o homotopie care transformă primul arc în al doilea.

Exemple

Acest set nu este conectat pur și simplu, deoarece are trei găuri. Acest criteriu nu se aplică spațiilor cu dimensiuni superioare: de exemplu, o coroană sferică are o gaură, ci este pur și simplu conectată.

Mingea de dimensiuni arbitrare, linia dreaptă , planul , orice spațiu euclidian sunt pur și simplu conectate.
Un set convex de spațiu euclidian este pur și simplu conectat.
Planul R ² este conectat pur și simplu, dar R ² minus originea (0, 0) nu este. Pentru n > 2, atât R ^{n cât} și R ⁿ minus originea sunt pur și simplu conectate.
În mod similar, sfera n- dimensională este conectată pur și simplu pentru n > 1, în timp ce circumferința nu.
Torul , banda Möbius , sticla Klein nu sunt conectate pur și simplu.
Grupul ortogonal special SO ( n , R ) pur și simplu nu este conectat. În general, unele grupuri Lie sunt pur și simplu conectate, altele nu. Același lucru este valabil și pentru varietățile topologice .
Spațiul proiectiv complex este pur și simplu conectat, cel real nu.
Fiecare spațiu contractibil este pur și simplu conectat, dar inversul nu este adevărat: un exemplu este furnizat de sfera n- dimensională (pentru n > 1)

Proprietate

O suprafață este pur și simplu conectată dacă are zero sex , cu alte cuvinte dacă nu are „mânere”. În special, singura suprafață compactă și pur și simplu conectată este sfera.
Afirmația analogă din dimensiunea 3 (singura varietate diferențiată a dimensiunii 3 care este compactă și pur și simplu conectată este sfera) este cunoscută, din motive istorice, sub denumirea de Poincaré ; a fost dovedit în 2003 de matematicianul rus Grigori Perelman .
Un spațiu topologic X care nu este conectat pur și simplu, dacă este suficient de regulat, are o acoperire universală : acesta este un alt spațiu topologic conectat simplu care îl acoperă și moștenește multe dintre proprietățile lui X. (Vezi și paragraful următor .)
Un grafic conectat simplu este un copac .
Pe un set deschis pur conectat de R ⁿ fiecare formă închisă este exactă și fiecare câmp vector irotațional are un potențial .
Prin teorema hărții Riemann , fiecare deschidere simplă a planului (alta decât planul în sine) este homeomorfă pe discul deschis printr-o hartă holomorfă ; deoarece discul deschis este homeomorf pentru plan, acest lucru implică faptul că orice deschidere simplă conectată a planului este homeomorfă pentru planul însuși.

Conexiune locală simplă

Spațiul nu este conectat semilocal

Multe spații au versiuni „locale” ale proprietății simple de conectare; este adesea util să specificați această proprietate pentru a exclude cazuri excesiv de anormale din studiul spațiilor care nu sunt pur și simplu conectate.

Se spune că un spațiu topologic X este semiloc conectat simplu dacă fiecare dintre punctele sale x aparține unui vecinătate U _x astfel încât fiecare cale închisă în U _x este omotopă la o cale constantă în X. În schimb, se spune că este conectat local doar dacă fiecare dintre punctele sale are o bază de cartiere conectate simplu.

Diferența dintre cele două definiții este că, în primul caz, cerem ca traseul închis să se poată contracta în orice punct al spațiului, deci ieșind din vecinătatea U _x , în timp ce în cel de-al doilea solicităm punctul în care calea poate fi contractul aparține aceluiași în jur. A doua definiție este, prin urmare, mai puternică decât prima, în sensul că orice spațiu conectat la nivel local este, de asemenea, conectat semilocal și există spații care posedă doar prima proprietate. Un spațiu pur și simplu conectat este semilocal simplu conectat, dar nu neapărat conectat local simplu.

Aceste proprietăți sunt satisfăcute de majoritatea spațiilor topologice frecvent studiate: circumferința, torul, banda Möbius și sticla Klein sunt exemple de spații conectate local simplu (la fel ca toate varietățile topologice ), dar nu pur și simplu conectate. Pentru a avea un exemplu de spațiu topologic care nu este pur și simplu conectat local, luați în considerare următoarea construcție: sia

C(r):={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=2ry{\big \}}

{\ displaystyle C (r): = {\ big \ {} (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} | x ^ {2} + y ^ {2} = 2ry {\ big \} }}

C (r): = {\ big \ {} (x, y) \ in {\ mathbb {R}} ^ {2} | x ^ {2} + y ^ {2} = 2ry {\ big \}}

circumferința cu raza r care trece prin originea planului cartezian și centru $(0,r)$ ${\ displaystyle (0, r)}$ $(0, r)$ ; întregul

\bigcup _{n}C\left({\frac {1}{n}}\right)

{\ displaystyle \ bigcup _ {n} C \ left ({\ frac {1} {n}} \ right)}

\ bigcup _ {n} C \ left ({\ frac {1} {n}} \ right)

este uniunea cercurilor tangente infinite între ele. Are o structură spațială topologică cu topologia indusă de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ , dar nu este pur și simplu conectat local: de fapt, un vecinătate arbitrar mic de origine conține cercuri infinite, fiecare dintre ele reprezentând o cale închisă, necontractabilă. Conul de pe acest spațiu este un exemplu de spațiu conectat semilocal simplu (fiind conectat simplu), dar nu conectat local simplu, deoarece punctul de intersecție a circumferințelor nu are o bază de cartiere conectate simplu.

Importanța spațiilor conectate semilocal derivă din teoria acoperirilor : un spațiu topologic conectat prin arcade și conectat local prin arcade are de fapt o acoperire universală dacă și numai dacă este semiloc conectat simplu.

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică