Teorema mingii păroase

O vizualizare grafică a teoremei mingii păroase: nu este posibil să pieptănăm mingea fără a lăsa puncte singulare.

O suprafață toroidală, pe de altă parte, poate fi complet pieptănată.

Teorema mingii păroase este un concept de topologie algebrică conform căruia nu există câmp vectorial non-zero continuu tangent la o sferă .

Exprimat în termeni euristici, se afirmă în esență că „nu este posibil să pieptene complet o bilă păroasă” sau „nu este posibil să pieptene părul unei bile de biliard”, părul pieptănat reprezentând câmpul vector continuu: nu este posibil , prin urmare, pentru a efectua o coafură pe o sferă care nu are cel puțin un păr sau o linie.

Afirmația sa formală este următoarea: dată unei sfere $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și o funcție continuă $f:S\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}$ $f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3$ care se asociază fiecărui punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a sferei un vector tridimensional tangent la sfera însăși în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , există cel puțin un punct al sferei $Q\in S$ ${\ displaystyle Q \ în S}$ $Q \ în S$ astfel încât $f(Q)=0$ ${\ displaystyle f (Q) = 0}$ $f (Q) = 0$ .

Teorema, demonstrată în 1912 de Luitzen Brouwer , poate fi văzută ca un caz particular al teoremei Poincaré-Hopf , care afirmă că suma zerourilor anumitor câmpuri vectoriale de pe o suprafață este egală cu caracteristica Euler a acelei suprafețe: din moment ce caracteristica Euler a sferei este 2, câmpul trebuie să aibă cel puțin un zero; o suprafață cu caracteristică zero, cum ar fi taurul , pe de altă parte, este „gestionabilă”. În acest context mai larg, teorema mingii păroase este un exemplu de legătură între proprietățile topologice ale unei suprafețe (caracteristica Euler) și cele analitice (câmpurile vectoriale de pe ea). Cu toate acestea, există numeroase alte dovezi, de exemplu pornind de la lema lui Sperner ^[1] ^[2] .

Aplicații

Teorema mingii păroase are aplicații nu numai în matematică, ci și în unele domenii ale fizicii și tehnologiei .

Puncte fixe și antipodale

O consecință a teoremei bilei păroase este că orice funcție continuă care mapează sfera în sine are în mod necesar un punct care se hărțește la sine ( punct fix ) sau la punctul său antipodal :

\forall f:S\rightarrow S\quad \mathrm {continua} ,\,\exists P\in S:\,f(P)=\pm P

{\ displaystyle \ forall f: S \ rightarrow S \ quad \ mathrm {continuare}, \, \ există P \ în S: \, f (P) = \ pm P}

\ forall f: S \ rightarrow S \ quad \ mathrm {continuare}, \, \ există P \ în S: \, f (P) = \ pm P

.

Dovada acestei proprietăți se obține prin asocierea unei funcții vectoriale tangente la funcția continuă în modul următor: luând un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pe sferă, proiecția stereografică a $f(P)$ ${\ displaystyle f (P)}$ $f (P)$ folosind $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ca polul proiecției și este luat ca vector tangent $\mathbf {v} (P)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (P)}$ $\ mathbf {v} (P)$ poziția vectorială a proiecției față de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Vectorii tangenți construiți astfel definesc o funcție continuă care respectă ipotezele teoremei: de aceea există un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a sferei astfel încât $\mathbf {v} (P)=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (P) = 0}$ $\ mathbf {v} (P) = 0$ ; asta presupune că $f(P)$ ${\ displaystyle f (P)}$ $f (P)$ coincide cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , sau este la antipod.

Meteorologie

Circulația atmosferică a unei planete poate fi reprezentată cu un model care atribuie fiecărui punct de pe suprafață un vector tangent la suprafața însăși și având direcția vântului ; această aproximare este echivalentă cu neglijarea componentei verticale a vântului, o condiție acceptabilă având în vedere că diametrul planetei este semnificativ mai mare decât grosimea atmosferei .

Cu excepția cazului trivial în care vântul este staționar pe întreaga planetă, câmpul vectorial astfel definit respectă ipotezele teoremei mingii păroase; rezultă că există cel puțin un punct pe suprafață în care vântul are viteză zero: aceste puncte corespund ochiului unui ciclon sau anticiclon . Prin urmare, teorema garantează că cel puțin un ciclon există întotdeauna pe suprafața unei planete cu atmosferă.

Grafică pe computer

O problemă obișnuită în grafica computerizată este generarea unui vector diferit de zero ortogonal față de un alt vector dat. Dacă considerăm vectorul de pornire poziționat pe raza unei sfere, vectorii ortogonali sunt tangenți la sfera însăși; din teorema mingii păroase rezultă că nu există o funcție continuă capabilă să rezolve problema pentru orice vector de pornire, adică pentru toate punctele sferei.

Extensii ale teoremei

Teorema poate fi extinsă la sfere cu dimensiuni superioare: se poate arăta că este valabilă pentru toți $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ - sfere, de dimensiuni uniforme. Această proprietate poate fi ușor diferențiată prin caracteristica Euler: aceasta din urmă poate fi obținută ca o sumă alternativă a numerelor Betti ale $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -sphere, care valorează 0 cu excepția dimensiunilor și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , pentru care caracteristica Euler valorează 2 dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este egal, deoarece cei doi termeni non-nuli au același semn, 0 dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ e ciudat.

Notă

^ Tyler Jarvis
^ John Milnor prezintă o dovadă bazată exclusiv pe considerații analitice; a se vedea, de asemenea, [1] pentru o prezentare și o discuție a probei.

Bibliografie

( EN ) The Hairy Ball Theorem , pe bbc.co.uk , BBC, 22 martie 2006. Accesat la 6 septembrie 2008 .
Tyler Jarvis, James Tanton, The Hairy Ball Theorem via Sperner's Lemma ( PDF ), în American Mathematical Monthly , nr. 111, 2004, pp. 599-603. Adus la 6 septembrie 2008 .
John Milnor , Dovezi analitice ale „teoremei mingii păroase” și teoremei punctului fix Brouwer , în American Mathematical Monthly , n. 85, 1978, pp. 521-524.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema Hairy Ball

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Tyler Jarvis

[2] John Milnor prezintă o dovadă bazată exclusiv pe considerații analitice; a se vedea, de asemenea, [1] pentru o prezentare și o discuție a probei.

[1]

[2]